1、第 卷 第 期 年 月江西师范大学学报（自然科学版）（）收稿日期：基金项目：国家自然科学基金（）和贵州省科学技术基金（）资助项目通信作者：章 超（），男，湖北宜昌人，教授，博士，主要从事基础数学（代数学）研究：张梦蝶，刘雨喆，章超 代数的矩阵模型及其整体维数 江西师范大学学报（自然科学版），（）：，（），（）：文章编号：（）代数的矩阵模型及其整体维数张梦蝶，刘雨喆，章 超（贵州大学数学与统计学院，贵州 贵阳；南京大学数学系，江苏 南京）摘要：该文利用 代数的矩阵模型刻画了 代数上的单模和投射模，给出了单模的投射分解的矩阵表示 由此指出 代数的整体维数可以由它的矩阵模型所诱导的一类特殊子矩阵序列
2、进行刻画 并进一步指出这一类特殊子矩阵序列对应于 代数的箭图上的极大非平凡 路，从而得到 代数的整体维数等于它的箭图上的极大非平凡 路的长度关键词：投射模；投射分解；同调维数；矩阵表示；箭图表示中图分类号：；文献标志码：引言 代数由文献引入，最初用于研究?型代数上的倾斜代数，并建立相应的导出等价分类 代数与许多重要代数有着密切联系，如双列代数（）、特殊双列代数（）、弦代数（）、代数等 早在 年，等就利用箭图表示对双列代数进行了分类，等在年利用箭图表示进一步地分类了弦代数上的不可分解模 代数上的不可分解模之间的态射的研究则分别由文献给出 由此 代数的模范畴可以通过箭图表示完全刻画 代数的模范畴的
3、几何刻画由文献给出，其将 代数上的不可分解模对应为曲面上的（），不可分解模之间的不可约态射对应为曲线的旋转（）等在此基础上进一步刻画了 代数的几何模型，并将 倾斜模刻画为曲面的剖分 等给出了 代数和 代数的矩阵表示，并给出了投射复形范畴的不可分解对象的分类 由此可见，对许多代数问题，代数可以有效地提供算例或者反例对代数的研究可归结于对定义在此代数上的模的研究，并用特殊模类直接反映代数的性质 如通过特殊模定义代数的同调维数（），并用同调维数对代数进行分类 其中整体维数可以反映给定代数到遗传代数的距离，自内射维数可以反映代数的 同调性质 文献利用几何模型给出了 代数的整体维数的曲面刻画，本文将利用
4、矩阵模型给出 代数的整体维数的矩阵刻画本文约定：是代数闭域 对任意有限维 代数，总假设 是 代数，因此根据 图化定理，唯一存在箭图（），使得 ，其中 是可许理想（）本文所考虑的模均是有限维 代数 上的有限生成右 模，并用记号（）表示 的有限生成右 模范畴 代数 代数及其定义本节将介绍 代数的箭图表示和矩阵表示 这里箭图指 元组 （，），其中 和 是集合（者的元素分别被称为顶点（）和箭向（），和 是映射，且，（）和（）分别被称为 的起点和终点 箭图 上的一条路（）指有序的箭向序列，其中（）（）（），称 为 的长度（），记作（）注意每一个箭向（或顶点）可以看作长度（或）的路因此，和 分别表示所有长
5、度为 的路和长度为 的路的集合定义 箭图 （，）的路代数（）是满足下述条件的 代数：）是以 为基底的 向量空间；）若（）（），则，定义 ；否则取 称路代数 的理想 为可许理想，若使得，其中记号 表示 中所有长度 的路生成的理想 下面给出 代数的箭图定义，该定义由文献，给出定义 称有限维代数 是 代数，若 满足：），以 为起点或终点的箭向至多 个；），至多存在 个 满足（）（）（）（），使得（）；），至多存在 个 满足（）（）（）（），使得（）；）由长度为 的路生成为了刻画 代数的整体维数在其箭图上的表示，需要引入 路的概念 路是文献引入的，包括平凡和非平凡 类 与之对偶的概念是 路 路和 路可
6、以决定 代数的 导出不变量，进而研究 代数在导出等价下的分类 这里只需要非平凡 路 代数 上的一条非平凡 路 是长度 的路 ，使得（，）特别地，称 为极大的，如果使得（）（）（）（），总有（）接下来，给出 代数的矩阵定义，并利用矩阵刻画 代数上的单模定义 ，定义 表示域 上的下三角矩阵代数：（），恒有 定义 称代数 为 代数，若 （，），（，）（，），其中 （，）（），且“”是定义在（）（，），上的 元映射，即：（）（），满足：）对一些（，）（），唯一存在（，）（，）有（，）（，）；）同时，对其余的（，）（），（，）（），（，）（，）特别地，称 为 代数 的标准化（）代数例 假设 代数 （，）
7、，其中 （，），（）（，），（，），（，），（，），（，），且（，）（，）按定义，（，）（，）且在同构意义下，可写成分块对角矩阵的形式 标准化代数（，）的笛卡儿积的因子项 和 分别对应上述分块对角矩阵的 个子块 此外，由定义 有 ，其中Q4a3cbI=（ab）.2，1，=（，）（），用记号（，）（，）表示 中的元素满足下述条件的矩阵（，）：，其他进一步地，定义（，）（，）（，）（，）（，）引理 设 （其中 （，）（）是 代数，并记（）（，）（，）（，），（，）（），（）（，）（，）（，）（，），则（）（）（）是 的完全本原正交幂等元集证 首先证，（），有 需验证 个情形：（）（）且（）；（），
8、（）；（），（）只证明（），对于（）和（）的证明类似 任取 （，）（），（，）（，）（），有（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）第 期张梦蝶，等：代数的矩阵模型及其整体维数注意（，）（，），否则（，）（，）（，）与（）的定义矛盾，故由矩阵乘法知（，）（，）同理，（，）（，）所以 （，）（，）（，）类似可证 其次，易见（）中的每个元素都是本原的对于（）中的任意元素，设 （，）（，），有唯一的加法分解 （，）（，）注意（，）（，），因此由 代数的定义可知（，）且（，）故该加法分解不是代数 上的分解，即 在 上本原最后，（），由矩阵乘法直接得到 故（）是 的完全本原正交幂等元集记（）表示 上的
9、全体单模在同构意义下构成的集合 引理 已经给出了 的完全本原正交幂等元集，由此立刻得到下面结论推论 沿用引理 中的记号，则（）（）（）（）注 在推论 中，若 （，）（），则有右 模同构（，）（，），其中，其他注意这时有关于矩阵的等式（，）（，），为简便起见，记作（，）易验证该矩阵是一个有限生成右 模 若 （，）（，）（），则有如下右 模同构：（，）（，）（，）（，）记作=（，）（，）注意，虽然（，）（，）是右 模，但是（，）和（，）都不是右 模 进一步地，（，）（，），其中，其他为方便起见，用（，）（其中，）表示 的子集（，），使得除 （其中，）外，其余位置取 则（，）（，（）由此得到单模在
10、线性同构下的矩阵表示：（，）（，）（，（）（，）（其中（，）（）；（，）（，）（，）（，）（，（）（，（）（，）（，），其中（，）（，）（），这里表示 向量空间的同构例 取 是例 给定的 代数，则（）（，），（，）（，），（，），（，）因此，在同构意义下，上有 个不可分解投射模：（，）|，（，）（，）|，（，）|，（，）|其中在（，）（，）的 中所在位置元素取值相同，并且（，），（，）（，）|，（，）|，（，）进一步，可以得到 个单模的矩阵表示：（，）|，（，）（，）|，（，）|，（，）|投射模与投射分解设 是有限维 代数 众所周知，对任意右 模（），总存在正合列使得 有 投射 称上述正合列是
11、 的一个预投射分解 特别地，若 使得 且江西师范大学学报（自然科学版）年（），则称 是此预投射分解的长度 可以有不同的预投射分解，本文称 的长度最短的预投射分解为其极小预投射分解或者简称为投射分解此时，投射模 或者满同态：被称为 的投射覆盖，且每个投射模 或者满同态 （）：（）都是（）的投射覆盖；（）被称为 的（）阶合冲，记作 （）定义（投射维数与整体维数）设 是有限维 代数 称（）的投射维数（），若 （）（等价地，（）等于 的投射分解的长度）特别地，定义 的整体维数（）是全部有限生成右 模的投射维数的上确界，即（）（）（）注 通常地，对任意环，称右 模（左 模）的右（左）投射维数（）（），若
12、 有右（左）预投射分解：因此，定义 的右（左）整体维数（）（）是全部有限生成右（左）模的投射维数的上确界 一般来说，（）（），文献给出了左、右整体维数不同的环；文献证明了，（），都存在环 使得（）（）；文献将上述结果进一步推广至 范畴，当 是有限维 代数时，则有（）（）在同构意义下，记（）是 上的全体右 投射模构成的集合 沿用引理 中的记号，根据文献，有下述推论推论 （）（）（）单模的非零合冲及其矩阵表示注意代数的整体维数可以通过单模的投射维数来计算，即（）（）（）为此，需要对单模的合冲进行刻画 为方便起见，始终假设 是 代数，其标准化代数为，这里 （，）（），并且 元映射：（）（），总事先给
13、定 单模的 阶合冲下面引理给出了单模的投射覆盖的矩阵表示，进一步可得单模的 阶合冲的矩阵表示引理 （，）（，）（）（）（），有 向量空间同构：（，（）：（，）（，）（，）（，），其中 是典范投射，即对任意属于（，）（，）的矩阵，（）将 处于主对角线以外的元素映射为，主对角线上的元素保持不变证若（），则（，）（，）（）使得 （，）（，）首先（）：（）既是（）的投射覆盖，也是典范满同态（）：（）根据注 可知，（，）（，），（）（，）（，）由此易见（）（，）（，），（，）（，）保持 的主对角线上的元素不变，并将 的其余元素映射为 （是任意给定的属于（，）（，）的矩阵）于是，存在 向量空间的典范嵌入：
14、（，（）另外，（，（）（），且由有限维代数上的单模（）总是 维的 向量空间可知（）也 是 维 的，于 是 有 向 量 空 间 同 构（，（）故 是 线性同构 对于（）的情形，证明类似注 沿用引理 中的记号 对矩阵 （，），用记号表示交换的第 行和第 行 则引理 给出了投射覆盖（）（）（）的矩阵刻画 进一步地，）若 （，）（），则有右 同构（）（）（，）（，（）若 （，）（，）（），则有右 同构（）（）（，）（，）注意）所 给 的 右 同 构 进 一 步 指 出 当（）作为 向量空间时，同构于：（），若（，）（，），（，）（），且（，）（，），（，）（）；（）（，），若（，）（，），且（，）（，
15、），（，）（）；（）（，），若（，）（，），（，）（），且（，）（，）；（）（，）（，）第 期张梦蝶，等：代数的矩阵模型及其整体维数），若（，）（，）且（，）（，）其中 （，（），（，（），（，）（，），（，）（，），表示作为向量空间的直和，并且上式第 个情形下的 向量空间同构，同时也是右 模同构推论 设，则 （，（）不可分解投射当且仅当（，）（）有（，）（，）证 注意（，（）是右 模由注 易知它是（，）的直和项 则（，（）（，（）（，（）即（，（）（，）此时，若（，）（）都有（，）（，），则由引理 得（，）（），故（，）是不可分解投射模反之，若（，）（）有（，）（，），则由引理 得（，）（）
16、（此 时（，）（，）（），因此由注 可知（，）（）非投射，矛盾 单模的高阶合冲类似引理，下面命题给出了单模的任意阶合冲的投射覆盖的矩阵表示，由此，类似于注，该命题也给出了单模的任意阶合冲的矩阵表示命题 设 （，）（，）（）是 的本原幂等元 若（）（，（）（，）（或者（），这里，（，（）（，），），其中（，）（，）（或者（，）（，），则有向量空间同构（，（）：（，）（，）（，（）（，）（或者（，）：（，）（，）（，（）（，），其中（或 者）是 按 像 空 间 作 为 原 像 空 间（，）（，）（或者（，）（，）子空间所诱导的典范投射证设（）（，（）（，）注意这时（，）（，）（）（，）（，），所以，（）（，（）作为 线性映射的意义下与 同构 因此，有 向量空间的典范嵌入：（，）（，）（，（）（，）（，（）注意有右 模同构（，（）（），进而有 向量空间的同构（，（）（，（）（，）（，）（，）（，（）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）即（，（）是 维 向量空间，所以 是 线性同构 对于（）的情形的证明类似注 沿用命题 中的记号，类似于注，有（）（）（），其中（），（，）（，），（，）（
