1、一类上临界带移民分枝过程的下偏差估计*谢春艳张梅（北京师范大学数学科学学院，数学与复杂系统教育部重点实验室，100875，北京）(Zn)cnkn kn=o(cn)knP(Zn=kn)ZnEZ1lnZ1=ZnZn摘要对于一类带移民的上临界分枝过程，存在一列正常数可以用来描述过程的增长速度.任取一列满足和的正常数，的渐近行为即为的下偏差.假设：1）证明了过程的一个局部极限定理；2）给出了在Schrder 和 Bttcher 情形下的下偏差估计，补充并完善了已有文献的结果.关键词上临界；带移民；分枝过程；下偏差中图分类号60J80;60F10DOI：10.12202/j.0476-0301.2021
2、2680引言(Zn)设是 一 个 带 移 民 的 Galton-Watson（G-W）过程，它可由如下关系递归定义，即Zn=Zn1i=1X(n)i+n,n1,（1）X(n)in1in(X(n)i,n,i1)f(s)=i=0pisinnn,n1h(s)=i=0hisi(X(n)i,n,i1)n,n1i0pi,hi 1i=0ipim1 m 01Z0=1式中：表示第代的第 个个体，在第 代产生的后代数，且是独立同分布的（independentandidenticallydistributed，IID），具有共同的母函数;表示第 代进入系统的移民数量，且（）也 是 IID 的，具 有 相 同 的 母
3、函 数.此外，假设分枝和移民（）相互独立，为避免平凡的情况，对于任意的，假定，记后代分布的期望=.考虑上临界情形，即.不失一般性，本文假定.假定 是非周期函数，即集合的最大公约数为.如无特别声明，总假设过程从一个粒子出发，即.n 0(Zn)(Z0n)(cn,n0)在式（1）中，当时，退化为一般的 G-W 过程，用来表示.Heyde1证明了存在一列正常数，使得Wn:=Z0ncna.s.W,n （2）WP(W 0)=1 P(W )=成立，并且随机变量满足：；1(cn,n0)2.特别地，规范化序列可选择具有如下性质的常数列：c0=1,cn 0.（4）nZnn1n1Zn换个角度来考虑 G-W 过程的第
4、 代总人口数（）.当时，由式（1）定义的具有分解形式Zn=Z0n+Yn,（5）Yn=U(1)n+U(n)nU(i)n(1in)inZ0nnZ0nYnU(i)n(1in)式中：，表示第 代到来的移民在第 代的后代总数；是初始粒子在第 代时所有的后代个数.由假设可知，式（5）的和仍是独立的.显然，也是彼此独立的.n 0j=1(pjjln j)=(cn)n V当，时，Seneta3已经证明：对已知规范化因子，当时，存在非负随机变量，使得Vn:=Zncna.s.V,In:=U(1)n+U(n)ncna.s.I=V W.（6）j=1hjln j P(I )=P(V )=V(0,)Imh0 0.（7）Vv
5、如果记 的密度函数为，则由式（6），得v(x)=x0w(t)w1(xt)dt,x 0,（8）v=ww1即，表示卷积.(Zn)f(s)=i=0pisip0+p1 0p0+p1=0定义定义 1（Schrder 和 Bttcher 情形）对于上临界的 G-W 分枝过程，其后代分布的母函数.若，则 称 之 为 Schrder 情 形；若，则称之为 Bttcher 情形.在 Schrder 情形，定义 Schrder 常数为:=lnp1/lnm.h0 0当时，定义:=lnh0/lnm.ZnP(Zn=kn)(Zn)knkn=o(cn)(n )1 m Z0nZn对于分枝过程，称的渐近行为是的“下偏差”，这里
6、是一列满足的正数.假设，Fleischmann 等6研究了 Schrder和 Bttcher 情形下，上临界 G-W 过程的下偏差.对于带移民的模型，假设j=1(pjjln j),j=1jhj,（9）ZnSun 等5研究了在 Schrder 和 Bttcher2 种情形下的下偏差.对文献 5 的有关结果加以扩展，本文将在条件j=1(pjjln j)=,j=1jhj 0Znp0=0p1h0 0p0=p1=h0=0成立下展开研究，分别获得了在 Schrder 和 Bttcher情形时，上临界 G-W 过程的下偏差概率的渐近行为.技术路线源自文献 5 和 6.注意到文献 5 中的局部极限定理只证明了
7、，的情形.对此，本文给出了过程在，和2 种情形下的局部极限定理（见定理 3），推广并完善了文献 5 中的定理 2、3.以下是主要结论.p0=0p1 0定理定理 1（Schrder 情形）假设、和式（10）成立.h0 0mh0 1k1ak:=minl1:clkknnkn1）如 果，对 于，定 义.设序列满足：当时，且kncn，则有limnsupknkcn|P(Zn=k)/(m(nak)c1akv(kmnakcak)1|=0,（11）以及limnsupknkcn|P(0 0式中.p0=p1=0knnkn kn=o(cn):=minj2:pj 0:=minj0:hj 0bn:=min1ln:clnl
8、2knA1A2knn+n11kn定理定理 2（Bttcher 情形）假设和式（10）成 立.设 序 列满 足 当时，且.定义，以及，则存在 2 个正常数和使得对于满足的任意序列，有A1limninf bnnln(cnP(Zn=kn)limnsup bnnln(cnP(Zn=kn)A2.（14）f(x)g(x)x 0+0 c1 0limnsupf(n)/g(n)M用（）表 示，存 在 2 个 常 数，使 得；用（）表示，；用（）表 示，存 在 常 数，使 得.1预备知识和几个引理gn(s,l)(Zn)l1Z0=lg0(s,l)=E(sZ0)=slE()n1令是分枝过程的母函数，其中，且该过程始于
9、，有，表示数学期望，下同.对于任意的，有gn(s,l)=E(sZn|Z0=l)=(fn(s)ln1i=0h(fi(s),s 0,1,（15）Z0=1特别地，当时，gn(s):=gn(s,1)=fn(s)n1i=0h(fi(s),n1,s 0,1.（16）在获得主要定理之前，先引入一些有关母函数的重要性质.p1h0 0命题命题 17（Schrder 情形）假定，定义2北京师范大学学报（自然科学版）第 59 卷Sn(s):=n1i=0h(fi(s)hn0,Qn(s)=fn(s)pn1.n 当时，n(s):=gn(s,l)(pl1h0)n=Sn(s)Qln(s)S(s)Ql(s)=:(s),（17）
10、s 0,1)S(s)Q(s)对于是一致的.式（17）中和满足泛函方程：h(s)S(f(s)=h0S(s),0s 1,S(0)=1,S(1)=；（18）Q(f(s)=p1Q(s),0s1,Q(0)=0,Q(1)=.（19）S(s)Q(s)此外，和均可展开成幂级数形式，即S(s)=i=0aisi,Q(s)=i=0bisi.gn(s,l)(l1)命题 2 可给出各种情形下的上界估计.l1 (0,1)s (0,0 C(s),0 N命题命题 27如果，则对于任意的以及固定的，存在常数和，使得对于，有gn(s,l)C(s)|n,p1=h0=0(Bttcher 情形),hn0n,p1=0,h0 0(Bttc
11、her 情形),pnl1(n1)2,p1 0,h0=0(Schrder 情形),（20）:=minj2:pj 0式中.借助命题 2，孙琪8得到如下命题.J1,JnA 0 (0,1)h0、t Jj1jn命题命题 3（母函数在上的估计）8存在常数、，使得对于、，有|gn(eh/cn+it,l)|lnj+1,p1=h0=0(Bttcher 情形),lnj+1,p1=0,h0 0(Bttcher 情形),Ap1(nj+1)l,p1 0,h0=0(Schrder 情形),A(pl1h0)nj+1,p10,h00(Schrder 情形),（21）:=minj2:pj 0 Jj:=t R:c0/cj|t|c
12、0/cj1式中：；.WVIWVI引入拉普拉斯变换的工具和一些已知结论.假定、和 如式（2）、（6）中所定义的.、和 的拉普拉斯变换分别为W(u):=EeuW,V(u):=EeuV,I(u):=EeuI.（22）由分枝和移民的独立性可知：V(u)=W(u)I(u),（23）W并且对于 G-W 过程，满足 Abel 方程9W(mu)=f(W(u),u R.（24）G-W 过程推广的泛函方程5为V(mju)=I(u)gj(W(u),u R,j=1,2,（25）WVI式中、和的定义同式（22）.显然，在过程退化为无移民时，式（25）转变为式（24）.C引理引理 1存在 2 个常数 和，使得cnP(Zn
13、=k|Z0=l)Cell1/2ek/cn,n,k1,ll0:=1/+mn证明证明参考文献 5 中引理 1、2 的证明过程，以代替可得.C 00V(x)|12|i Jk(i=1,2)命题命题 410存在常数以及在 处缓变的函数，使得对任意满足的，有|fk1(ei1)fk1(ei2)|Cck1V(ck1),（26）k1 Jk:=t R：c0/ck|t|c0/ck1式中：；.给定记号T(s)=lnEesI,K(s)=lnEesW,r(s)=lnEes1,s0.命题命题 5T(ms)=T(s)+r(K(s),（27）lims0+K(ms)K(s)=m.（28）s 0+F:=lims0T(s)K(s)T
14、(s)FsV1(s)V1(s)0引理引理 2当时，存在，且，其中是在 处缓变的函数.证明证明由命题 5 可得T(ms)K(ms)K(ms)K(s)=T(s)K(s)+r(K(s)K(s).（29）s 0+P(W 0a 0C()0 y a，0 z 00 a b l0引理引理 4（Schrder 情形）假设，.在式（10）条件下，对于，有第 1 期谢春艳等：一类上临界带移民分枝过程的下偏差估计3limn12cncngn(ei/cn,l)eitd=wlw1(t),（31）t a,b式（31）收敛在闭区间是一致的.cnmn证明证明证明与文献 5 的引理 6 思路类似（以替代），只陈述本证明的不同之处.
15、令kn(,t):=gn(ei/cn,l)eit,l0.定义Ik,n(t):=12(ckck+1kn(,t)d+ck+1ckkn(,t)d).（32）|Ik,n(t)|分 2 种情况说明是可和的.0 p1h0m ksupta,b|Ik,n(t)|00 a 0首先估计.文献 6 的引理 8 取，对于以及，为复平面上的一个紧子集（，因此，对于某一常数，由命题3 可得|gnk+1(fk1(ei1),l)|C(pl1h0)nk+1,l0.（35）根据文献 5 的引理 6，当式（9）成立时，有lims0+1EesIs=EI=EWm1 0至此，由式（33）以及的定义，对于，有12|ck+1ckkn(,t)d
16、|12|t|supJnk|gn(ei,l)|+ck+1ck4M(k).M(k):=sup|gn(ei1,l)gn(ei2,l)|:1,2 Jnk；|12|t|1c1nAC 0|t|0式 中：.由命题 3 和式（38）可知，存在正常数、，以及任意给定的常数，使得当时，有12|ck+1ckkn(,t)d|A2|t|(pl1h0)k+1+Cck+1ck4(pl1h0)k+1|t|1c1ncnk1V1(|t|1c1ncnk1)A2|t|(pl1h0)k+1+Cmk+1L(mk+1)4|t|(pl1h0)k+1mnk1L(mnk1)mnL(mn)V1(|t|mnk1L(mnk1)mnL(mn)A2|t|(pl1h0)k+1+C()(pl1h0)k+1m(k+1),0.（39）V1pl1h0mksup|t|Ik,n(t)|.其他证明类似文献 5 中引理 6 的讨论.定理证毕.再将引理推广至 Bttcher 情形.p0=p1=h0=00 a bl0引理引理 5（Bttcher 情形）在式（10）下，并假设.对于、，limn12cncngn(ei/cn,l)eitd=wlw1(t),（40）t a,b
