1、外外汇汇欧欧式式期期权权在在分分形形市市场场下下的的混混合合对对冲冲策策略略侯婷婷，李志民，程鹏翔，何瑞彬（安徽工程大学数理与金融学院，安徽 芜湖）摘 要基于分形市场，采用离散交易的方式推导外汇欧式期权的混合对冲策略通过实证模拟从对冲频率、风险偏好和执行价三个方面综合考察该策略，验证了混合对冲策略在外汇分形市场下既能降低误差水平，又能稳定误差波动，同时得到一个优于 对冲策略的风险偏好区间，充分发挥对冲效益关键词混合对冲策略；分形市场；外汇欧式期权；对冲策略中图分类号 文献标志码 文章编号（）引言外汇具备支付和投融资功能，在资产配置中愈发受到关注 年“”汇改以来，国家相关部门多次释放人民币汇率市
2、场化改革和人民币国际化信号，人民币汇率弹性逐渐增加随着外汇市场参与者不断丰富，各方力量博弈使得人民币汇率波动常态化，并将贯穿于未来整体趋势人民币汇率市场的波动，给外汇衍生产品带来广阔发展空间其中，人民币外汇欧式期权从 年推出以来，其交易量逐年攀升，产品结构也在不断丰富和完善，如今已经是外汇市场的重要组成部分期权本身具有套期保值和风险管理的作用，此外，对于做市商来说，人民币外汇期权既可以用来对冲自身外汇风险敞口并提高汇率收益，还可以利用其杠杆性赚取超额利润一般而言，做市商卖出波动率赚取期权费，但是做市商在仅仅期权费的获利基础上，却要承担更大的汇率风险在波动的外汇市场，做市商要达到管理期权组合风险
3、目的，确保赚取期权费这个基础收益，一般采用复制期权，但如何灵活采用风险对冲策略，有效降低对冲误差减少对冲损失，就需要更深入地探讨和研究如今，外汇期权定价和风险对冲及其误差分析是金融学研究的核心问题之一目前受到广泛实际应用的期权对冲策略当属 对冲策略，它是基于 期权定价公式推出的最简单的经典对冲方式相较于国外完善的衍生品市场，我国现还处于发展阶段，因此针对 对冲研究主要是模型优化改进、对冲应用及应用优化、风险分析而国外针对 研究多为优化对冲策略、最佳对冲频率抉择和数值模拟等如通过优化波动率提高 的精确度，进而加强对冲效果在应用方面，主要侧重于在套期保值、套利、产品结构化设计中的运用等但是相关研究
4、发现即便在 中性下，选择不同的对冲策略，资产组合仍然会暴露、等其他风险因此，很多学者针对 对冲策略进行改进，最早将交易费用考虑进去，提出一个与交易成本成比例的调整因子，调整波动率优化了 对冲 等则同时考虑交易成本和投资者的风险厌恶水平，通过检验发现当交易成本越小，结果越接近 模型中的，而且交易间隔与投资者风险偏好呈反比 认为提高调仓频率影响了交易成本，可能反而收稿日期基金项目国家自然科学基金面上项目“基于半马尔科夫链的随机耦合竞争合作多智能体系统的协同控制研究”（）；安徽高校省级自然科学研究重大项目“基于时序数据的复杂网络拓扑结构及动力学行为研究”（）。作者简介侯婷婷，女，硕士研究生，从事金融
5、风险管理研究。通信作者李志民，男，教授，博士，从事金融风险管理研究。增加了对冲误差，因此修正 模型来达到消除调仓频率对对冲误差的影响假设标的资产服从对数正态分布和跳扩散，研究了香草型期权的 对冲策略，研究得出策略的损益近似服从卡方分布，他进而设定投资者风险容忍度，通过方差分析的方法寻找最优对冲频率魏洁运用同一指数的股指期权与股指期货组成多种动态套期保值组合，分析股指期货的风险对冲策略，得出所构造的组合都能为股指期货提供有效的套期保值，而且保护性策略的风险控制能力更强 等同样研究了股票期权的混合对冲策略，基于离散交易的不完备市场，该混合策略可以进一步降低 策略对冲中的误差，充分发挥对冲效益 在
6、模型基础上构建 模型，该模型假定汇率服从几何布朗运动，求解出了相应的外汇期权定价公式，由此将股票期权的研究拓展到外汇期权领域但许多针对实际市场的研究表明，几何布朗运动难以对其进行反映，而分数布朗运动是高斯过程的一种，可以有效描述资产收益的这种长期相关性分数布朗运动既不是马尔科夫过程也不是半鞅，一般的随机计算理论不能用来研究汇率价格变化 等在 积分的基础上引入了分形积分来计算分数布朗运动，并进行外汇期权定价目前，针对分形市场下的外汇欧式期权的 对冲策略优化方面的研究还较少 对冲策略理论上是通过逼近无限对冲频率使对冲成本接近 公式推导出的期权价格在不完备市场中，交易时间不可能连续，基础资产对数收益
7、分布通常表现出自相似性、厚尾性、自相关和互相关性以及波动性聚类因此在实际的离散交易下无法完全对冲掉期权风险，即在期权到期日时，复制期权的投资组合价值与期权价值之间产生一定的误差通过不断改进外汇期权对冲策略等方法来有效降低误差，并减少对冲损失将具有一定的研究意义本文试图将能够充分发挥对冲效益的混合对冲策略从股票市场引入外汇市场为了能够充分描述资产收益率的长期相关性，将基于分形市场，采用离散交易的方式研究外汇欧式期权的对冲策略，并通过实证模拟来检验混合对冲策略在外汇市场下的表现情况 分形市场下外汇欧式期权的混合对冲策略假设市场中存在可买卖的金融产品：本国货币，外国货币为简单起见，暂不考虑交易费用分
8、形市场下的外汇汇率为（），（）其中，（），为分数布朗运动，（，）为 值，为期望收益率，为汇率波动率，本国货币的价值为，（）其中，为本币无风险利率，采用离散对冲交易，在连续时间段，中均等选择 个时刻，在每个时刻点 上进行一次对冲交易，满足 ，其中，则本币价值在时间间隔 后的变化量为（）外汇汇率在时间间隔 后的变化量为（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）由分数布朗运动性质可知 （，（），得如下结果：（）（）（）（）（）根据布朗运动性质：（）（）（）结合式（）和式（）得到外汇汇率变化量的期望为（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）另一方面，利用布朗运动性质，结合式（），并进行
9、级数展开得到外汇汇率变化量的期望值为（）（）（）（）（）（）（），（）结合式（）和式（）可得到（）（）（）同理，利用 级数展开得到（）：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）！（）（）（）（）（）（）！）（）（）（）（）（）（）（）（）（）！（）（）！）（）（）（）（）（）其中，（）（）（）（）（）（）（）！（）（）！）（）通过式（）并结合式（）得到（）的期望值为 （）（）（）（）（）（）（）（）（）同样，另一方面利用布朗运动性质并结合式（），进行 级数展开，得到（）的期望值为（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）结合式（）和式（
10、）得到（）（）（）令 （，），是指在 时刻以外汇汇率为标的的外汇欧式期权的价值，为期权到期日时的执行价，则在期权到期日 时，期权价值为（，）（）构建一个复制期权的投资组合，由（）单位的外币和（）单位的本币组成由于复制期权的目的是希望投资组合价值能够与期权价值一致，该投资组合的价值为 ，（）在时间间隔 后，投资组合价值的变化量为（）（）（）假设 （，）有连续的二阶偏导，期权价值进行 级数展开：（）（），（）其中，（）（）结合式（）和式（）得到 （）（）（）（）（）即 ，（），（）（）将式（）的 和式（）的（）代入（）可得 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）其中，（）（）（
11、）（）（）（），并且（）（）复制期权是为了使投资组合价值变化量与期权价值变化量一致，实现套期保值，并且尽可能缩小对冲产生的误差因此有（），（）且得到 （）由于，（）（）（）（）（）（）（）且（），所以，（）又由于（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）则有（）（）（）（）（）即（）（）故得到 （）根据式（）整理得到（）（）将式（）（）（）代入（）得到 （）（）整理得到 （）（）外汇期权价格所满足的分形 偏微分方程为（）（）其中，（）由于，（，）（，）（）（）（）其中，（）（）（），另外，当 趋于 时，则 （），那么，（）（）（）（），实证模拟根据前文推导出的外汇欧式期权的混合对冲策略以及分
12、形市场下的外汇期权定价公式，下面将构建复制期权采用该混合对冲策略在离散状态下进行对冲交易，并与一般的 对冲策略进行比较此外，选择不同的对冲频率和风险偏好，来检验混合对冲策略的优势从做市商角度，假设卖出 份欧式外汇看涨期权，用获得的期权费来构建投资组合 在时间段，上有 个对冲时间点，若采用一般的 策略，调仓并保持在 时刻的投资组合持有（）单位外币；若采用混合对冲策略进行对冲，调仓并保持在 时刻的投资组合持有（）单位外币由于是在不完备市场环境下进行交易，意味着对冲时将会产生一定的对冲误差其中，累计成本表示根据不同策略调整外币数量时付出的成本累计若到期时，期权被执行，则累计成本与执行价之间的差值就是
13、对冲成本，即实值期权（）时有“对冲成本（）累计成本（）执行价（）”；若执行价比市场价高，期权将不被执行，即虚值期权（）时有“对冲成本累计成本”此外，将对冲成本贴现至期初，其与期权价值之间的差值称为有效成本，即“有效成本对冲成本贴现值期权价值”最终通过有效成本与期权价值的比值得到对冲误差，即“对冲误差有效成本 期权价值”通过蒙特卡洛模拟出美元兑人民币的汇率序列，分别采用两种对冲策略 对冲策略和混合对冲策略，进行每日、每周、每两周、每月对冲，比较不同策略下的对冲误差值设定年期望收益率为，年波动率为，值为，执行价为，人民币无风险年利率为，美元无风险年利率为，一年总交易日数为 采用 策略进行每日对冲，
14、结果如表 所示表 策略的对冲结果天数美元对人民币汇率（）外币调整份额外币调整成本 元包含利息的累计成本 元期权价格 元 由表 可以看出，份期权的期初价格为 ，对冲成本为 ，对冲成本贴现值为 ，对冲误差率为 设定年期望收益率为，年波动率为，值为，执行价为.，人民币无风险年利率为，美元无风险年利率为，一年总交易日数为 采用混合策略进行每日对冲，结果如表 所示表 混合对冲策略的对冲结果天数美元对人民币汇率（）外币调整份额外币调整成本 元包含利息的累计成本 元期权价格 元 由表 可以看出，份期权的期初价格为 ，对冲成本为 ，对冲成本贴现值为 ，对冲误差率为 对比表 和表，采用混合对冲策略最终产生的对冲
15、误差率，比采用 策略最终产生的对冲误差率略低，这意味着相较于 策略，混合对冲策略更充分发挥了对冲效益，可以更加有效地降低风险损失理论上，对冲策略是通过逼近无限对冲频率使对冲成本接近 公式推导出的期权价格我们改变对冲策略，检验混合对冲策略的有效性设定年期望收益率为，年波动率为，值为，执行价为，人民币无风险年利率为，美元无风险年利率为，一年总交易日数为 选择不同的对冲频率：每日（）、每周（）、每两周（）、每月（），并采用不同的对冲策略的对冲结果如表 所示表 不同对冲频率下的对冲结果对冲频率（）（）对冲成本 元有效成本 元对冲误差率对冲成本 元有效成本 元对冲误差率每天 每周 每两周 每月 通过不同
16、对冲频率下的对冲结果可以看出，采用混合对冲策略产生的对冲误差率绝对值都普遍比采用 对冲策略的小，说明改变对冲频率的情况下，混合对冲策略仍能够充分发挥对冲效益另外，无论采用哪种策略，从每月、每两周、每周到每日，随着对冲频率的提高，对冲误差绝对值逐渐减小，在每日对冲时达到最小对冲误差率这与理论上 对冲策略是通过逼近无限对冲频率，使对冲成本接近 公式推导出的期权价格这一结论完全符合接下来，将采用每日对冲来比较不同执行价和期望收益下的对冲误差众所周知，收益与风险呈正相关，即期望收益越大，风险越大通过期望收益大小来反映投资者对风险的偏好，检验不同风险偏好下混合对冲策略的有效性设定年波动率为，值为，执行价为，人民币无风险年利率为，美元无风险年利率为，一年总交易日数为 选择不同的年期望收益率，分别采用不同的风险偏好进行每日对冲，结果如表 所示表 不同风险偏好下的对冲结果风险偏好（）（）对冲成本 元有效成本 元对冲误差率对冲成本 元有效成本 元对冲误差率 由实验结果可见，一方面，当采用 对冲策略对冲时，尽管改变不同的风险偏好，但产生的对冲误差都是，说明风险偏好对最终产生的对冲误差并没有影响另一方面，当
