1、高校应用数学学报2023,38(1):85-98双曲调和函数与Clifford M obius变换刘月,杜晓静,杨佳玲,谢永红(河北师范大学 数学科学学院,河北石家庄 050024)摘要:首先给出两类双曲调和函数的重要性质,其次分别证明了两类双曲调和函数与Clifford M obius变换的复合是加权的双曲调和函数.关键词:实Clifford分析;双曲调和函数;Clifford M obius变换中图分类号:O174.5文献标识码:A文章编号:1000-4424(2023)01-0085-141引言1878年,Clifford1创建了一种可结合不可交换的代数结构,称之为Clifford代数.
2、1902年,Vahlen2最早利用实Clifford数矩阵来表示Rn中的M obius变换.1982年,Brackx,Delanghe和So-mmen3将单变量的全纯函数理论推广到了高维空间.M obius变换是数论中的一种重要变换,近些年来,Clifford分析中M obius变换理论的研究逐渐成为热门.二十世纪八十年代,Ahlfors4-6研究了Clifford数与M obius变换的相关问题.1993年,Waterman7给出了CliffordM obius变换的重要性质.2001年,Eriksson与Leutwiler8研究了超正则函数和M obius变换的复合问题.2004年,Eri
3、ksson9研究了几类函数与M obius变换的复合问题.2016年,谢永红等10研究了取值于Cln+1,0(R)中的Clifford M obius变换,将Cl0,n1(R)中有关Clifford M obius变换的理论推广到Cln+1,0(R)中.2017年,Giardino11研究了全纯四元数与M obius变换的相关问题.2021年,杜晓静12研究了双hypergenic函数与Clifford M obius变换的有关问题.在以上工作的基础上,本文首先介绍了Clifford M obius变换与双曲调和函数的相关定义和引理,然后分别研究了两类双曲调和函数与Clifford M obi
4、us变换的复合问题,推广了文献8-10,12的一些结果.2预备知识见文献8,设Cl0,n(R)是由e1,en生成的2n维实Clifford代数,单位元是e0=1,其基元素是e1,e2,en;e1e2,en1en;e1en且eiej+ejei=2ij(i,j=1,2,n),其中ij是Kronecker符号.收稿日期:2021-11-30修回日期:2022-03-20*通讯作者,E-mail:基金项目:国家自然科学基金(11871191);河北省自然科学基金(A2019106037;A2022208007);河北省研究生创新资助项目(CXZZBS2022066)DOI:10.13299/ki.am
5、jcu.00225186高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期见文献3,a Cl0,n(R)有a=AaAeA,其中aA R,A=1,2,h,1 12 h n,或A=,eA=e1e2eh或e=e0=1.定义a的模为|a|=(A|aA|2)12,对任意的a=AaAeA,b=BbBeB Cl0,n(R),定义a与b的内积(a,b)=AaAbA.定定定义义义2.18对a Cl0,n(R),定义a0=AaAe0A,a=AaAeA,a=(a0)=(a)0=AaAeA,其中aA R,e0A=(1)|A|eA,eA=(1)|A|(|A|1)2eA,eA=(1)|A|(|A|+1)2eA,|A|表示A中元
6、素个数.易知对a,b Cl0,n(R),有(ab)0=a0b0,(ab)=ba,ab=ba.见文献8,称x=x0e0+x1e1+xnen(xi R,i=0,1,n)是Cl0,n(R)中的向量,Cl0,n(R)中所有向量构成的集合记作Vn+1,Vn+1中所有有限个非零向量的乘积都是可逆的,在乘法运算下构成了Clifford群,记为n,对于任意的x,y Vn+1,有(x,y)=12(xy0+yx0),|x|2=xx0.设Cl0,n1(R)是由e1,en1生成的2n1维实Clifford代数,单位元是e0=1,其基元素是e1,e2,en1;e1e2,en2en1;e1en1.称x=x0e0+x1e1
7、+xn1en1(xi R,i=0,1,n 1)是Cl0,n1(R)中的向量,Cl0,n1(R)中所有向量构成的集合记作Vn,Vn中所有有限个非零向量的乘积都是可逆的,在乘法运算下构成了Clifford群,记为n1.见文献8,任意的元素a Cl0,n(R)可唯一分解为a=b+cen,其中b,c Cl0,n1(R);定义两个映射P:Cl0,n(R)Cl0,n1(R)和Q:Cl0,n(R)Cl0,n1(R),使得Pa=b和Qa=c成立,其中b,c分别称为a的P部和Q部,将(Pa)0和(Qa)0分别简记为P0a和Q0a.引引引理理理2.18对于任意的a,b Cl0,n(R),有P(a0)=(Pa)0,
8、Q(a0)=(Qa)0,P(ab)=(Pa)Pb+(Qa)Q(b0),P(ab)=ab+2PaPb aPb (Pa)b,Q(ab)=aQb+(Qa)b0,Q(ab)=(Pa)Qb+(Qa)P(b0).定定定义义义2.28称矩阵T=(abcd)属于集合GL(n1),若满足条件(1)a,b,c,d n10;(2)(T)=ad bc R0;(3)ab,cd,ca,db Rn.引引引理理理2.28设T=(abcd)GL(n1).(1)若c=0,则T(x)=1axa+bd1;(2)若c=0,则T(x)=ac1(c)1(x+c1d)1c1.刘月等:双曲调和函数与Clifford M obius变换87在本
9、文中设是Rn+1中的非空连通开集,f:Cl0,n(R)可表示成f(x)=AfA(x)eA,其中fA是实值函数.函数f:Cl0,n(R)在上连续是指f的每个分量函数fA在上连续.用Cr(,Cl0,n(R)表示定义在上取值于Cl0,n(R)中的具有r次连续偏导的函数全体(r 1),记作Cr(,Cl0,n(R)=f|f:Cl0,n(R),f(x)=AfA(x)eA,其中fA在上有r次的连续偏导数,r 1.对于任意的f C1(,Cl0,n(R),引入Dirac算子,其中Df=ni=0eifxi,Df=ni=0eifxi,fD=ni=0fxiei,fD=ni=0fxiei.引引引理理理2.33若f,g
10、C1(,Cl0,n(R),则D(fg)=(Df)g+nj=0ejfgxj,D(fg)=(Df)g+nj=0ejfgxj,(fg)D=nj=0fxjgej+f(gD),(fg)D=nj=0fxjgej+f(gD).在本文中设1是Rn+1(x0,x1,xn):xn=0,xi R(i=0,1,n 1)中的非空连通开集,对于任意的f C1(1,Cl0,n(R),引入修正的Dirac算子M,其中Mf=Df+n 1xnQ0f,Mf=Df n 1xnQ0f,fM=fD+n 1xnQf,fM=fD n 1xnQf.定定定义义义2.38若f C1(1,Cl0,n(R)在1上满足Mf=0,则称f为1上的(左)超正
11、则函数;若f C1(1,Cl0,n(R)在1上满足fM=0,则称f为1上的右超正则函数.定定定义义义2.412若f C1(1,Cl0,n(R)在1上满足Mf=0,fM=0,则称f为1上的双超正则函数.引引引理理理2.413设f C2(1,Cl0,n(R),则MMf=MMf.定定定义义义2.513若f C2(1,Cl0,n(R)在1上满足MMf=0,则称f为1上的双曲调和函数.引引引理理理2.58设2=x|x 1,是一个非零实常数.(1)若f在2上连续可微,则M(f(x)=(Mf)(x).(2)若f是2上的超正则函数,则f(x)是1上的超正则函数.引引引理理理2.68设3=axa|x 1,其中a
12、 n1.(1)若f在3上连续可微,则D(af(axa)=|a|2a(Df)(axa),M(af(axa)=|a|2a(Mf)(axa).(2)若f是3上的超正则函数,则af(axa)是在1上的超正则函数.引引引理理理2.78设4=x1|x 1.88高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期(1)若f在4上连续可微,则D(x1f(x1)=x|x|4(Df)(x1)+n 1|x|2f(x1),M(x1f(x1)=x|x|4(Mf)(x1).(2)若f是4上的超正则函数,则x1f(x1)是1上的超正则函数.引引引理理理2.812设3=axa|x 1,其中a n1.(1)若f在3上连续可微,且f(a
13、xa)Rn+1,则D(af(axa)a)=|a|2a(Df)(axa)a,M(af(axa)a)=|a|2a(Mf)(axa)a,(af(axa)a)D=|a|2a(fD)(axa)a,(af(axa)a)M=|a|2a(fM)(axa)a.(2)若f是3上的双超正则函数,且f(axa)Rn+1,则af(axa)a是1上的双超正则函数.引引引理理理2.912设4=x1|x 1.(1)若f在4上连续可微,且f(x1)Rn+1,则D(x1f(x1)x1)=x|x|4(Df)(x1)x1+n 1|x|2f(x1)x1+n 1|x|2(x1)0f0(x1),M(x1f(x1)x1)=x|x|4(Mf)
14、(x1)x1,(x1f(x1)x1)D=x1(fD)(x1)x|x|4+n 1|x|2x1f(x1)+n 1|x|2f0(x1)(x1)0,(x1f(x1)x1)M=x1(fM)(x1)x|x|4.(2)若f是4上的双超正则函数,且f(x1)Rn+1,则x1f(x1)x1是1上的双超正则函数.引引引理理理2.109设4=x1|x 1.(1)若f为4上连续可微的实函数,则D(f(x1)=x1(Df)(x1)x1.(2)若f是4上的实双曲调和函数,则f(x1)是1上的双曲调和函数.3 双曲调和函数I与Clifford M obius变换的复合定定定理理理3.1设2=x|x 1,是一个非零实常数.若
15、函数f C1(2,Cl0,n(R),则D(f(x)=(Df)(x).定定定理理理3.2设2=x|x 1,是一个非零实常数.(1)若函数f C2(2,Cl0,n(R),则MM(f(x)=MM(f(x)=2(MMf)(x).(3.1)(2)若f C2(2,Cl0,n(R)是2上的双曲调和函数,则f(x)是1上的双曲调和函数.证证证(1)由引理2.5和定理3.1可知MM(f(x)=M(Mf)(x)=D(Mf)(x)n 1xn(Q(Mf)(x)0=2(D(Mf)(x)n 1(x)n(Q(Mf)(x)0)=2(MMf)(x).刘月等:双曲调和函数与Clifford M obius变换89(2)由(3.1
16、)式易知结论成立.定定定理理理3.3设3=axa|x 1,其中a n1,若函数f C1(3,Cl0,n(R),则D(af(axa)=|a|2a(Df)(axa).证证证由a n1可设a=a1am,其中ah=ah0+ah1e1+ahn1en1,令ahn=0,h=1,2,m,易知ah=ah(h=1,2,m),且由ahxah=2(ah,x)ah|ah|2x知ej(h)ahej(h)=2ej(h)2ahj(h)ej(h)ah(h=1,2,m;j=0,1,n).记yi=aixai,i=1,2,m;yi=aiyi+1ai,i=1,2,m 1.当m=1时,a=a1,a=a1,a=a1;y1=a1xa1,则D(af(axa)=D(a1f(a1xa1)=ni=0eia1f(a1xa1)xi=ni=0eia1nj(1)=0fy1j(1)(y1)y1j(1)xi=ni=0eia1nj(1)=0fy1j(1)(y1)(2e2ia1ia1j(1)|a1|2ij(1)e2i)=ni=0nj(1)=0eia1fy1j(1)(y1)2e2ia1ia1j(1)nj(1)=0|a1|2ej(1)a1e2j(1)fy1j(
