1、第 50 卷第 4 期化 工 自 动 化 及 仪 表作者简介院刘佳伟渊1996-冤袁硕士研究生袁从事先进控制技术与自动化系统集成方面的研究遥通讯作者院曹玉波渊1971-冤袁教授袁从事先进控制技术与自动化系统集成方面的研究袁遥引用本文院刘佳伟袁宋楠袁董文琦袁等.倒立摆控制系统优化与实时仿真咱J暂.化工自动化及仪表袁2023袁50渊4冤院453-458.倒立摆系统作为一类经典的非最小相位系统具有机械构造简单尧占用空间小及使用范围广等优点袁非常适合在经费与科研条件都有限的实验室中进行控制实验咱1暂遥其本身所具有的非线性尧强耦合性及不稳定性咱2暂等工程中十分普遍的特性袁使其具备着一般非线性不稳定系统中
2、非常重要的动态性能咱3暂遥在控制领域袁许多经典和现代的控制方法以及复杂系统的物理模型都可以近似到倒立摆系统中咱4暂袁各种经典控制理论和新颖的控制策略也可通过倒立摆进行验证咱5暂袁并且控制效果可以通过摆杆和小车的状态直观地体现出来袁其相关控制算法已应用于军工尧航天及机器人等诸多领域咱6袁7暂遥 因此袁对倒立摆系统的实现与优化不仅能将理论具体应用到实际设备袁同时也为探索尧论证新理论的正确与否提供实验平台和实践基础遥1倒立摆机理模型直线倒立摆是经典的倒立摆模型袁针对直线倒立摆的实验能够直观体现许多控制性能袁如系统的能控能观性尧稳定性及抗干扰性等咱8暂遥本次设计根据经典控制理论利用牛顿第二运动定律对倒
3、立摆系统进行力学分析袁在忽略空气阻力和摩擦力后袁可以将其抽象为由小车和匀质摆杆组成的刚性系统袁如图1所示遥图1直线一阶倒立摆直线一阶倒立摆简化模型中的参数袁均取自图1a所示的实验室倒立摆装置说明书中提供的设备参数值袁具体数据见表1遥表1直线一阶倒立摆模型参数参数FMml含义加在小车上面的力小车的质量摆杆的质量摆杆转轴到质心的长度数值10.227 50.092 30.185兹摆杆偏离的角度-J摆杆的转动惯量0.004 212b小车的摩擦系数0.1单位Nkgkgmradkg 窑 m2N 窑 m-1窑 s-1DOI:10.20030/ki.1000鄄3932.202304009倒立摆控制系统优化与实
4、时仿真刘佳伟a宋楠b董文琦a曹玉波a渊吉林化工学院 a.信息与控制工程学院曰b.石油化工学院冤摘要以一阶直线倒立摆为研究对象袁基于牛顿第二运动定律袁在惯性坐标系内分析和建立倒立摆状态空间表达式数学模型袁设计并实现了基于经典PID控制器尧状态反馈控制器和全维状态观测器的状态反馈控制器的倒立摆控制系统遥通过MATLAB脚本语言实现了倒立摆实时仿真与控制系统袁结果表明院优化后的全维状态观测器的状态反馈控制器运行效果更优袁仿真结果与实际设备运行状态基本吻合遥关键词一阶倒立摆全维状态观测器状态反馈控制器PID控制器脚本编程实时仿真中图分类号TP273文献标识码A文章编号1000鄄3932渊2023冤04
5、鄄0453鄄064532023 年化 工 自 动 化 及 仪 表分别对摆杆和小车进行受力分析袁在惯性坐标系内建立小车在水平位置和摆杆在垂直位置上的动力学方程院Mx咬+bx窑+P=FP=mx咬+ml兹咬cos 兹-ml兹窑2sin 兹扇墒设设设设缮设设设设渊1冤其中袁P为水平方向的相对作用力袁x为小车的位移遥对式 渊1冤 进行合理的线性化和拉普拉斯变换袁可以得到系统的传递函数袁最后转化为状态空间形式的倒立摆系统动力学方程遥 由于篇幅所限袁这里只展示推导的最终结果院x窑=Ax+Buy=Cx嗓渊2冤其中的4个状态变量分别为小车的位置和速度以及摆杆的角度和角速度曰 输出y则包含了小车位置和摆杆角度遥
6、倒立摆模型状态方程的系数矩阵具体如下院A=0 1 0 00 -渊J+ml2冤bJ渊M+m冤+Mml2 m2gl2J渊M+m冤+Mml2 00 0 0 10 -mlbJ渊M+m冤Mml2 mgl渊M+m冤J渊M+m冤+Mml2 0杉删山山山山山山山山山山山山山山山山山山山山山山山山煽闪衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫B=0J+ml2J渊M+m冤+Mml20mlJ渊M+m冤+Mml2杉删山山山山山山山山山山山山山山山山山山山山山山煽闪衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫C=1 0 0 00 0 1 0蓘蓡根据推导得到的直线一阶倒立摆模型的状态方程袁 将其离散化并将表1倒立摆
7、设备的参数代入其中袁固定采样时间Ts为100 ms袁得到离散后的状态空间模型如下院x窑渊k+1冤=Ax渊k冤+Bu渊k冤y渊k冤=Cx渊k冤嗓渊3冤代入设备参数后的系数矩阵具体值为院A=1 0.01 0.000 1 00 0.996 4 0.013 8 0.000 10 0 1.001 6 0.010 -0.008 3 0.259 1 1.001杉删山山山山山山山山山山山山山山山山煽闪衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫B=0.000 10.035 60.000 40.082 5杉删山山山山山山山山山山山山山山山山煽闪衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫衫C=1 0 000 0 1 0蓘蓡2系统控制方案
8、2.1经典PID控制PID作为最经典的控制方法具有通俗易懂尧简单有效等优点袁能够很好地解决单输入单输出控制问题袁 通常适用于对线性定常系统的研究遥由第1节推导的倒立摆模型状态方程可知袁 直线一阶倒立摆是一个单输入双输出系统袁 因此袁需要在直立控制的基础上添加正反馈以控制位置袁形成双闭环控制系统袁具体系统框图如图2所示遥图2双闭环控制系统结构示意图u要要要控制量曰椎要要要闭环传递函数曰C渊s冤要要要PID反馈控制器曰C1渊s冤要要要正反馈控制器曰ppend渊s冤要要要拆分得到的位置相关方程曰pcart渊s冤要要要拆分得到的角度相关方程此时的控制系统结构与标准控制略有不同遥在初始扰动后袁摆杆应回到
9、垂直位置袁所以跟踪的参考信号应该为零袁这种情况通常被称为调节器问题遥 施加到小车上的外力可以视作脉冲干扰遥 通过调整系统结构袁即以脉冲干扰作为系统输入可以使分析和设计该系统更容易遥双闭环PID控制器的实时仿真曲线如图3所示遥 在开始运行后施加1 N的力袁并设置小车停靠位置在0.2 m处曰待稳定后再次施加0.8 N的干扰力454第 50 卷第 4 期化 工 自 动 化 及 仪 表并重新将小车的停靠位置设置在0.3 m处遥可以看到袁通过调整比例系数和微分时间袁该方案虽可以完成控制过程袁但系统的响应时间和对位置的精确控制都有待改善袁且小车的位置向相反方向移动袁因此需要引入现代控制方法遥图3倒立摆双闭
10、环PID控制实时仿真曲线2.2状态反馈控制器控制通过状态空间法袁把高阶常微分方程转化为一阶微分方程组描述系统动态过程袁这样可以解决多输入多输出问题袁同时适用于研究线性定常系统和非线性时变系统咱9暂遥 状态反馈控制系统的原理如图4所示袁 其中输入r为小车位置的步进命令袁K为控制增益的矩阵遥 与经典控制不同的是袁状态反馈控制器是反馈系统的所有状态袁而不是使用系统的输出来反馈遥图4状态反馈控制系统原理在设计状态反馈控制器之前袁首先验证系统的可控性咱10暂遥 如果系统的可控标准型矩阵是满秩的袁则证明系统是可控的遥 系统的可控标准型矩阵公式如下院C=咱BABA2B噎An-1B暂渊4冤设计状态反馈控制器的
11、前提是倒立摆模型的4个状态变量是可测量的咱11暂遥 这里假设它们都可测量袁然后使用线性二次调节确定状态反馈控制增益矩阵K袁公式如下院K=lqr渊A袁B袁Q袁R冤渊5冤其中袁加权矩阵Q和R是用来平衡状态变量和输入向量的权重曰Q是半正定矩阵曰R是正定矩阵遥假设R为单位矩阵尧Q=C忆C曰此时袁与之相对应的成本函数即可平衡作为输出的控制变量和状态变量渊摆杆的角度和小车的位置冤遥 最后袁通过调整矩阵Q中的非零元素来获得理想的响应曲线遥状态反馈控制系统的实时仿真曲线如图5所示遥 在实时仿真过程中施加与PID控制中相同的控制条件袁从实时仿真曲线中可以看到状态反馈控制使得摆杆和小车曲线的上升时间和稳定时间均有
12、所减少袁 虽然相对PID控制器在小车位置的控制中稳定性更好袁但是它对于小车的位置控制仍然不够精准且小车仍然向反方向移动遥 因此袁控制器仍需进一步优化遥图5倒立摆状态反馈控制实时仿真曲线2.3基于全维状态观测器的状态反馈控制在状态反馈控制器的设计中袁假设了状态变量都可测量袁然而在实际控制过程中并不是所有的状态变量都是可测量袁并且状态反馈控制只能4552023 年化 工 自 动 化 及 仪 表满足瞬态要求袁没有考虑稳态误差咱11暂遥 为了解决以上问题袁必须利用可以观测的量渊输入尧输出量冤通过一个模型重新构造系统状态以对所有状态变量进行估计袁该模型即状态观测器咱12暂遥 带有全维状态观测器的状态反馈
13、控制的原理如图6所示袁其中x尧y分别为x尧y的估计值遥图6带有全维状态观测器的状态反馈控制原理与状态反馈控制器设计类似的是袁 在设计状态观测器之前需要判断系统的可观测性遥 可观测性的性质决定了能否根据系统的测量输出来估计系统的状态遥 如果系统的可观测性矩阵是满秩的袁则系统是可观测的遥 可观测性矩阵O定义如下院O=咱ACACA2噎CAn-1暂T渊6冤根据分离定理袁当被控制对象是线性系统且能控尧能观时袁基于状态观测器的反馈控制器设计过程中不需要考虑状态反馈部分和观测器部分之间的联系袁可以独立进行设计遥基于图6袁状态观测器模型如下院x窑=Ax+Bu+L渊y-y冤渊7冤与闭环控制的性质类似袁式渊7冤的
14、最后一项是基于反馈的校正遥 具体来说袁最后一项是基于实际输出y和预估输出y之间的差异来校正的遥 那么误差状态方程即可表示为院e窑=x窑-x窑=渊Ax+Bu冤-咱Ax+Bu+L渊Cx-Cx冤暂渊8冤其中袁e为系统的状态估计误差遥经过推导袁式渊8冤可转化为院e窑=渊A-LC冤e渊9冤其中袁渊A-LC冤 称为状态观测器的系统矩阵遥可得到误差状态方程的解为院e窑渊t冤=e渊A-LC冤t咱x窑渊0冤-x窑渊0冤暂渊10冤显然袁当系统矩阵渊A-LC冤的特征值都位于s平面左半部袁即有负实部袁则无论x窑渊0冤是否等于x窑渊0冤袁状态估计误差e窑渊t冤都将随着时间t趋近于无穷而衰减至零袁观测器为渐进稳定的遥 因
15、此袁只要选择合适的观测器增益L袁使得系统矩阵渊A-LC冤具有负实部根袁就可以用x估计x遥由于使用状态估计值x作为控制器的输入袁所以需要x比整个闭环系统所期望的更快地收敛袁一般选择观测器的极点是最小的控制器极点的410倍遥 最后袁将状态反馈控制器与状态观测器结合袁得到完整的补偿器遥 由此产生的闭环系统的矩阵方程可表示为院x窑e窑蓘 蓡=A-BK BK0 A-LC蓘蓡 xe蓘 蓡+B0蓘 蓡 ry=咱C0暂xe蓘 蓡+咱0暂r扇墒设设设设设设缮设设设设设设渊11冤实时仿真曲线如图7所示遥 与状态反馈控制器相比袁基于全维状态观测器的状态反馈控制器使小车和摆杆的稳定性得到有效提高袁响应时间减小袁 小车
16、的最终位置与预设的位置完全相同袁证明了所设计的控制器对控制系统的优化是有效的袁使用全维状态观测器估计的状态值代替系统的真实状态后所得到的闭环系统仍具有原系统的渐进稳定特性和良好的动态性能遥图7倒立摆全维状态观测器控制实时仿真曲线456第 50 卷第 4 期化 工 自 动 化 及 仪 表3倒立摆实时仿真实验平台设计本次设计选用MATLAB/GUI进行倒立摆仿真实验平台的开发咱13暂遥 利用GUI中的用户图形界面工具袁 在MATLAB/GUI自动生成的.m文件中编写倒立摆模型程序尧 控制器程序和实时仿真程序遥设计了模型参数设置尧 控制算法选择及参数整定尧实时仿真曲线及图形动态显示等界面袁使用户能够在仿真之前自由填写模型参数袁在仿真过程中直观地看到倒立摆的控制效果袁并且仿真结束后可再次施加轻微扰动袁观察控制效果袁使仿真过程更加贴合实际控制效果遥倒立摆仿真实验平台的实时仿真效果如图8所示袁左侧为倒立摆模型参数设计界面袁用户可以设置不同倒立摆的参数袁系统会自动计算参数并生成倒立摆模型曰在仿真设置中袁用户可以选择不同的控制算法袁包括经典PID控制算法尧LQR控制算法渊状态反馈控制器冤和基于全维状态
