1、第 41 卷 第 3 期2023 年 5 月 广西师范大学学报(自然科学版)Journal of Guangxi Normal University(Natural Science Edition)Vol.41 No.3May 2023DOI:10.16088/j.issn.1001-6600.2022041401http:赵婷婷,杨凤莲.Laplace 方程柯西问题的 B 样条方法J.广西师范大学学报(自然科学版),2023,41(3):118-129.ZHAO T T,YANG FL.B-spline method for the Cauchy problem of the Laplace
2、 equationJ.Journal of Guangxi Normal University(Natural Science Edition),2023,41(3):118-129.Laplace 方程柯西问题的 B 样条方法赵婷婷,杨凤莲(河海大学 理学院,江苏 南京 210000)摘 要:Laplace 方程柯西问题极其不适定,需要有效的数值算法进行求解,本文提出一种 B 样条方法求解此问题。首先在三次 B 样条函数生成的平移不变空间中给出柯西问题逼近解的表达形式;然后借助 B 样条基函数导数可用低阶样条基函数表示及方程的性质,写出问题的变分形式;接着,为了降低噪音的影响,提出 Tikh
3、onov 正则化方法,以获得稳定的数值解;最后分别对矩形区域和含非光滑边界的区域进行数值实验,证明此方法的有效性。关键词:柯西问题;Laplace 方程;平移不变空间;三次 B 样条函数;正则化中图分类号:O241.82 文献标志码:A 文章编号:1001-6600(2023)03-0118-12反问题存在于科学和工程技术的各个领域中,如图像处理、无损检测、地质勘探和医学成像等,拉普拉斯(Laplace)方程柯西问题是一类经典的反问题1。通常在实际情况中,给定的边界数据不完整,在不可获得的边界发生腐蚀,即部分边界数据未知。Hadamard 指出拉普拉斯方程柯西问题是极其不适定的2,其解不连续地
4、依赖于已知的边界数据,即测量数据中出现的细小误差极可能会导致数值解中的巨大误差。Bukhgeim 等3证明柯西问题在一定先验假设下未知 Lipschitz 边界对数型的条件稳定性;Alessandrini等4提供了柯西问题基本最优的稳定性结果。目前对于拉普拉斯方程反问题的求解已有一些有效的数值算法,常用方法主要分为网格方法和无网格方法。网格法包括有限差分法5、边界元法6、有限元法7等,相对而言,边界元法更适于求解 Laplace方程柯西问题,因为在求解中只需要部分边界的信息,但此方法在复杂几何体的网格生成和奇异积分计算上存在一些弊端8。无网格方法的发展为这一问题的解决带来新的方向,Liu 等9
5、利用傅里叶级数展开的技巧来解决二维矩形区域中热传导方程的反几何问题;Sun 等10通过单层势函数来逼近椭圆算子柯西问题的解。近年来,基本解法8,11被广泛应用于求解 Laplace 方程柯西问题,Wang 等8用一种新的局部基本解方法来精确稳定地求解复杂几何中二维拉普拉斯柯西反问题;Wu 等12在无网格方法中引入小波,可以减少计算量,提高算法的精度;Zhang 等13通过正则化 B 样条小波方法在不规则区域内来求解拉普拉斯方程柯西问题。无网格方法的本质是寻找方程解的逼近函数,根据相应的偏微分方程和已知边界条件,将问题转化为一组线性代数方程的解。因此,寻找合适的逼近函数是求解拉普拉斯方程柯西问题
6、的关键。考虑如下平移不变空间Vh()=Zda()xh-():a()l2(Zd),式中:L2(Rd)为紧支撑函数;h 为伸缩尺度参数;为平移尺度参数。当紧支撑函数为 B 样条函数时,此平移不变空间称为 B 样条平移不变空间。此空间结构简单,具有平移不变性,且紧支撑函数的特殊选择会为足够光滑的函数提供良好的逼近阶14,同时紧支撑性也会产生稀疏的系统矩阵,为计算提供很大便利。该类空间通常被用作信号和图像空间模型,在小波分析、有限元分析、信号处理等领域被广泛应收稿日期:2022-04-14 修回日期:2022-05-25基金项目:国家自然科学基金(11771120,12271140);河海大学中央高校
7、基本科研业务费(B220202081)通信作者:杨凤莲(1982),女,福建三明人,河海大学副教授,博士。E-mail:http:用15-16。特别是当紧支撑函数取 B 样条函数时,Aldroubi 等17研究了样条平移不变空间中的信号重构问题;Yang 等15在样条平移不变空间中建立了基于小波帧的图像恢复模型,并研究其解的收敛性;覃潇潇等18利用四阶样条函数来近似计算目标函数的希尔伯特变换。本文在平移不变空间中求解拉普拉斯方程柯西问题,取紧支撑函数为三次 B 样条函数,即在由三次 B样条函数为基函数张成的平移不变空间中求解近似柯西问题的解。根据控制方程及已给的边界条件,将柯西问题转化为对线性
8、代数方程组的求解。因柯西问题的不适定性,通过 Tikhonov 正则化方法对得到的方程组进行求解,利用具体的数值例子对此方法进行验证。1 拉普拉斯方程柯西问题设 0,10,1为有界域,其边界为=1234,1=(x,y)|y=0,0 x1,3=(x,y)|y=(x),0 x1,2=(x,y)|x=0,0y(0),4=(x,y)|x=1,0y(1),yx011y=(x)图 1 拉普拉斯方程柯西问题的求解域Fig.1 Solution domain of Cauchy problemof Laplace equation式中 1为已知光滑边界,其余边界均未知,具体求解域如图 1所示。在区域 上的拉普
9、拉斯方程柯西问题定义为u=0,(x,y),u(x,0)=f(x),0 x1,u(x,0)y=g(x),0 x1,(1)式中:u=2ux2+2uy2为拉普拉斯算子;f(x)、g(x)均为一元函数。柯西问题为给定已知边界 1上的狄利克雷边界条件和黎曼边界条件,即 f(x)、g(x)的信息,在全部区域或剩余部分边界上求拉普拉斯方程的解,即 u 的值。2 B 样条平移不变空间定义 115 对紧支撑函数 Lp(Rd),如果存在常数 c1、c20,使得所有序列 al2(Zd)满足c1a2Zda()(-)2 c2a2,(2)则称 的平移是稳定的。本文考虑紧支撑函数 L2(Rd),由文献15可知,为 B 样条
10、基函数时平移是 L2稳定的。样条函数是指一类分段光滑,且在每段的交接处也存在一定光滑性的函数。对于样条函数,目前最常用的为de Boor-Cox递推公式,具体定义如下。定义 219 给定实数轴上的一个剖分=xjj=-(xjxj+1,j=,-1,0,1,),其中 xj为节点,由下列递推公式所定义的函数 Bq,j(x)称为关于剖分 的 q 阶(q-1 次)B-样条基函数Bq,j(x)=1,x xj,xj+1),0,其他,q=1,Bq,j(x)=x-xjxj+q-1-xjBq-1,j(x)+xj+q-xxj+q-xj+1Bq-1,j+1(x),q2,(3)式(3)称为 de Boor-Cox 公式。
11、若不强调 j,则函数 Bq(x)是指上述任意一个函数 Bq,j(x)。注:规定 00=0;911广西师范大学学报(自然科学版),2023,41(3)后文中出现的 B 样条函数均有以下特征,即当 q 为奇数时,样条函数 Bq(x)的对称轴为 x=12;当 q为偶数时,样条函数 Bq(x)的对称轴为 x=0。性质 119 B 样条函数具有以下重要性质。局部支撑性:若 xxj,xj+q),则 Bq,j(x)=0,区间xj,xj+q)称为 Bq,j(x)的支集。在任意给定的区间xj,xj+1)内,最多有 q 个样条函数 Bq,j(x)是非零的,分别是 Bq,j-q+1(x),Bq,j(x)。非负性:对
12、q、j、x,有 Bq,j(x)0。平移性:当节点序列为均匀节点时,同次数的 B 样条函数可以通过其中任意一个样条函数进行平移得到。可微性:在节点区间内部,样条函数是无限次可微的,且高阶样条函数的导数可用低阶样条函数线性表示,具体表示方法为ddxBq=Bq-1(x)-Bq-1(x-1),q 为奇数,Bq-1(x+1)-Bq-1(x),q 为偶数。(4)因此由递推公式可得,当 xj=j,q=4,即三次 B 样条函数的显式表达式为B4(x)=(x+2)36,x-2,-1),-3(x+2)3+12(x+2)2-12(x+2)+46,x-1,0),3(x+2)3-24(x+2)2+60(x+2)-446
13、,x0,1),(2-x)36,x1,2),0,其他。(5)定义 3 若紧支撑函数为 B 样条函数 Bq(x),则称Sh(Bq)=Za()Bq(h-):a()l2(Z),(6)为一元 B 样条平移不变空间,式中:h 为伸缩尺度参数;为平移尺度参数。若 w(x)Sh(Bq),x0,1,取三次 B 样条函数为紧支撑函数,则w(x)=Za()B4xh-(),(7)而三次样条函数 B4(x)的紧支撑集为-2,2,所以 B4xh-()的紧支撑集为h(-2+),h(2+),因此,在0,1上,当 -1,1h+1且 Z 时,B4xh-()=0,故w(x)=m+1=-1a()B4xh-(),m=1h。(8)下面给
14、出二元 B 样条平移不变空间的定义。定义 4 设紧支撑函数由 B 样条函数的张量积组成,即(x)=Bq(x1)Bq(x2),其中 x=(x1,x2)R2,则称Sh()=Z2a()xh-()a()l2(Z2),=1,2()=Z2a()Bqx1h-1()Bqx2h-2()a()l2(Z2),=(1,2)(9)021http:为二元 B 样条平移不变空间。3 B 样条方法设拉普拉斯方程柯西问题的真实解为 u(x,y),方程解在 B 样条平移不变空间下的近似解为u(x,y)。因方程中含有二阶导数信息,由式(5)知三次样条函数的二阶导数非零,所以取三次样条函数为样条基函数,能更好重构方程的解。根据式(8
15、)、(9)知,在0,10,1上方程的解可近似为u(x,y)u(x,y)=2Z1Z(1,2)xh-1,yh-2()=m+12=-1m+11=-1(1,2)B4xh-1()B4yh-2(),(10)式中:1、2分别为三次 B 样条函数在 x,y 方向上平移尺度参数;h 为伸缩尺度参数;m=1h。由 B 样条函数的紧支撑性,当 1、2-1,m+1且 1,2Z 时,B4xh-1()=0,B4xh-2()=0。因此下文默认当 1、2-1,m+1,且 1,2Z 时,(1,2)=0,此设置对近似过程并无任何影响。将近似解写成矩阵的形式,令Bm1,m2(x,y)=B-1,-1m1,m2(x,y)Bm+1,-1
16、m1,m2(x,y)B-1,m+1m1,m2(x,y)Bm+1,m+1m1,m2(x,y),X=(-1,-1)(m+1,-1)(-1,m+1)(m+1,m+1)T,式中 B(1,2)m1,m2(x,y)=Bm1xh-1()Bm2yh-2(),则有u(x,y)=B4,4(x,y)X,(11)根据式(4)可得B4xh-()=1hB3xh-(-1)()-B3xh-(),B3xh-()=1hB2xh-()-B2xh-(+1)(),(12)从而有B4xh-()=1h2B2xh-(-1)()-2B2xh-()+B2xh-(+1)()。(13)根据 B 样条函数的定义可知,0,1上的二次样条基函数有 m+2 个,其平移尺度参数为=-1,0,m,一次样条基函数有 m+1 个,其平移尺度参数=0,m,在其余平移尺度参数下的样条基函数的取值为零。因此,一阶偏导数可表示为ux=1hm+12=-1m+11=-1(1,2)B3xh-(1-1)()-B3xh-1()()B4yh-2()=1hm+12=-1m1=-2(1+1,2)B3xh-1()-m+11=-1(1,2)B3xh-1()B4yh-2()=1hm+1
