1、“求锐角的三角比”类问题的教学设计与策略探索 上海市尚文中学管敏琦摘要:笔者执教了“求锐角的三角比”初三专项在线复习课,通过优化教学设计,探索此类问题的教学策略,提升课堂教学的实效,进一步发展学生的数学思维品质关键词:求锐角的三角比;教学设计;策略探索学习数学的本质在于提升学生的数学思维品质数学思维品质可以理解为在面对实际问题时,利用相关数学知识,以储备知识与现有认知为起点,借助联想、建模、推理、演算等行为解决问题,从而在真实情境中探寻问题解决方案,提升分析问题、思考问题的能力,发展数学学科核心素养笔者以“求锐角的三角比”初三专项在线复习课为例,对其教学设计与教学策略展开探究,旨在提升学生的数
2、学思维品质问题引领:内容与目标呈现在较为复杂的几何图形中求锐角的三角比这类问题,既是沪教版 数学 教材九年级上册第二十五章“锐角的三角比”的章节重点,又是学生应用知识解决问题时的难点和软肋如何基于此类问题,突破教学重难点,优化教学设计,形成解决策略?在问题的引领下,引申出本章内容的要点:对锐角的三角比的意义、求锐角的三角比的值、解直角三角形等内容的复习此类问题同时是中考必须掌握的知识点,其解题方法多样、综合性强,鉴于学生在一模中面对这类问题有不同程度失分,且又是后续高中学习三角比、三角函数等知识的基础,因此,问题引领下该内容的复习必要且重要围绕这类问题的解决,为达成有效的在线复习,呈现本课复习
3、目标如下()聚合开放问题的解决,加深对锐角三角比意义的理解,归纳“求锐角的三角比”的要点()在图形运动变换的情境中,通过把解一般三角形的问题转化为解直角三角形的问题,发展推理论证能力和数学表达能力,进一步体会化归的数学思想,提高画图、识图、析图能力,提升思维品质策略构建:基于教学设计的实践探索 框架梳理,聚合开放问题形成逻辑体系基于上述内容与目标,为将该问题引申的知识板块梳理清晰,笔者聚合开放问题,学生经历解决问题的过程,答案不唯一,在不断补充完善之中,构建越来越完整的锐角三角比的知识结构网络图,从而形成严密递进的框架体系,即逻辑体系具体实施如下自主复习环节,学生课前通过制作锐角三角比的单元小
4、报,上传至“钉钉”平台,复习锐角三角比的相关知识在一份份个性化的单元复习小报中,笔者选择各具特色的作品,从知识点、单元结构联系、思想方法等角度进行点评已有学生在小报中呈现了框架梳理的方法,教师再聚合得到如下开放问题在R t A B C中,C ,A B,A B C的其他元素是否确定?如果不确定,请添加一个条件,并提出一个与求锐角三角比有关的问题图设计意图:复习巩固锐角三角比的概念及解直角三角形的相关知识,梳理知识要点及框架,形成知识板块内在逻辑体系在线课堂上,生成也精彩学生畅所欲言:已知一锐角、一斜边;已知一直角边、一斜边锐角既可以是 、这样的的特殊角,也可以是一般角也有学生提出过点C作C DA
5、 B(如图所示),构造子母型相似后,通过转换的直角三角形找边角关系由这些举例,水到渠成,学生归纳直角三角形的边角关系,由锐角为特殊角的举例,得到锐角与锐角三角比的转换,再推广到一般角,总结获得解直角三角形的通用方法,由易到难,由特殊到一般,形成蕴含内在逻辑关系的知识结构体系(如图所示)图上海中学数学 年第期框架梳理是复习课中常用的教学策略,但其呈现需由学生自主获得才有效通过“聚合开放问题形成逻辑体系”的策略来设计本节课的自主复习环节,无论是从学生理解角度,还是从课堂实效角度,都起到事半功倍的作用在设计自主复习环节时,笔者曾在第一个教学班精选典型题组进行复习巩固,该方法实施效果不佳,学生按部就班
6、,缺乏自主探究,思维受限于是,笔者在第二个教学班另辟蹊径,通过“聚合开放性问题分类在线课堂生成挖掘背后蕴含知识梳理知识框架结构归纳形成逻辑体系”的教学策略,强调自主探究,激发学生参与课堂的热情,由具体实例到抽象提炼,在脑海中完善知识网络结构图,达到了提升思维品质的第一境界 重视知识梳理 转换构造,从一般到特殊中总结方法在该类问题解决中,要求任意一般三角形中的一个锐角的三角比的情况比较多,常规思路是作高构建直角三角形,如果直角三角形中含有特殊角,那进一步得出是含有 或 特殊角的直角三角形该操作过程体现了数学中将一般转化为特殊的方法,即数学中的“转换构造”化归思想,它能将学生不熟悉的解一般三角形的
7、问题转换为熟悉的解直角三角形的问题,从而获得解决一般问题的规律、通法巩固运用环节中,设计了以下例题来实现该策略的有效实施例题如图,在A B C中,A C,A B,t a nA,你能否求出剩下的边、角(或锐角的三角比)?图图设计意图:通过例题的解决,把解一般三角形转化为解直角三角形的问题,归纳完善“求锐角三角比”的方法,即找直角三角形、换直角三角形、构直角三角形、解直角三角形在课堂反馈中,学生过点C作C DA B,转换为两个直角三角形后,求出了B C的长、B、A的三角比等,从而板书总结求锐角三角比的通用方法(如图所示)几个行为动词循环往复,是对解直角三角形的深入剖析理解;通过找等角来换直角三角形
8、(如图所示,子母型相似)或者作高构直角三角形,落实操作细节,是对常规方法的总结与实践继续沿用开放问题,本例题具备起点较低、结论多样、互动性强等优点,本环节采用的教学策略是以题论法,将解一般三角形转化为解直角三角形的问题,基于“转换构造”化归思想,从一般到特殊中总结方法,提炼思考路径,达到了提升思维品质的第二境界 乐于凝炼方法 由表及里,变与不变中形成辩证统一能力提升环节力求突破本课重难点,教师进一步提问:上述例题中,可以分割出两个直角三角形,你能将这两个直角三角形进行平移、翻折、旋转,构造出一个新的图形,并提出一个有关求三角比的数学问题吗?生成的新图形形式丰富多彩,但变式渐欲迷人眼由上述提问明
9、确教学策略,由表及里,几何图形在运动后形式发生改变,在较为复杂的图形中抓住问题本质,求锐角三角比的原则不变,从而形成辩证统一由上述提问,立足学情学生在课前进行了问题设计,并上传至“钉钉”平台,教师精选其中的典型问题,后续变式都是来源于学生设计的问题,使学生真正感受发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程变式如图,在A B C中,C DA B,A C,A B,t a nA,将B C D沿C D翻折,使得点B落到点E处,求s i n A C E的值变式如图,将A C D绕着点D顺时针旋转 ,使得点A落到点F处,点C落到点G处,联结E F,求s i n E F G的值变式如图,将E C D沿边D
10、 F向上平移后,使得点C与点F重合,点D和点E的对应点分别为点P和点Q,求s i n G F Q的值图图图设计意图:图形变换中,直击教学重难点,将较上海中学数学 年第期为复杂的解三角形问题转化为解直角三角形的问题,通过找直角三角形、换直角三角形、构直角三角形、解直角三角形的方法,运用不同策略确定直角三角形中的边角元素,求得锐角三角比,从而发展学生的推理论证能力和数学表达能力学生在问题解决中体会化归的数学思想,提高画图、识图、析图能力在线课堂上,以视频、几何画板等形式呈现了三位出题者对图形进行运动变换的过程,无论如何变换,解决问题的策略是不变的学生总结出能通过等积法、相似三角形对应边成比例、同角
11、的三角比等策略来求高变式的课堂生成也是多变的,图中,既可以延长Q P交F G,利用A字型求出相关线段后再利用通法解决;也可以延长F Q与G D,使其相交于点N,再过点G作GHF Q,构造等腰R t NHG;它们均利用巧法使计算优化简便通法与巧法各有千秋那么通过这些多变的解题策略与方法,能否探寻核心问题中的不变规律,找到多变的问题形式与问题本质不变性的平衡点,形成统一,从而突破重难点,达到能力提升的效果呢?一题多变中,图形运动后的复杂程度、三角形的类型、选定解哪个三角形、作哪条高构造直角三角形的情况,看似一直在变,但只要选择适当的方法求锐角三角比,在变化中抓住不变的本质,形成辩证统一,就能有效达
12、成教学目标,获得良好的课堂反馈课后,如图,继续探究其他运动拼接的方案,拓展讨论在解决图形运动背景下求锐角三角比问题时,有效策略是由表及里,在变与不变中形成辩证统一,透过现象抓住本质万变不离其宗,达到了提升思维品质的第三境界 聚焦问题本质图 个性分层,从基本图形发散指向融合创新本课作业设计为体现因材施教的个性化理念,既编制了与课堂内容相匹配的基本图形背景下的问题,也设计了立足基础问题、结合已学习的单元知识、发散指向融合创新的综合性问题专项复习的作业环节,需关注形式多样、夯实重难点、布局与难度、个性分层等基于上述方面,本课作业包括两道选择题、四道填空题、三道解答题、一道探究题以如下探究题为例,阐明
13、创编后指向融合创新的实践如图,已知在A B C中,A C B ,点D为A B的中点,且D CA C,你能求什么?图笔者认为,理想的作业检测效果是学生能将知识与方法融会贯通、创新思维、分析实践、解决问题、体验成就本题的设计意图便在于实现该理念本题从构建直角三角形基础图形出发,融合中点问题作辅助线的方法,发散创新,形成A字型、八字型等新图形,综合性强、体现分层、促进思维如图,解决方法是多样的,既可以作B C的中点E,或作C DD E,利用中位线和锐角三角比解决问题,也可以延长C D,作B FC D,利用八字型或倍长中线、锐角三角比等解决问题图 作业设计能体现反馈中的多元策略、检测输出,结合中点,联
14、系创新,本题蕴含的几何基本图形是丰富的,教师需抓牢本探究问题从基本图形发散指向融合创新,从而实现个性分层在较为复杂的图形中策略性地解决锐角三角比问题,实施实践方案,具备有效的评价检测功能,达到了提升思维品质的第四境界 融合创新实践学生本位:教学设计及策略的落脚点是学生教学设计及策略探究的落脚点是学生,脱离学生的教学无法扎根,教学成效也最终体现在学生身上,因此要一切以“学生本位”为重为达到提升思维品质的四重境界,要交给学生三个权利 将消化整理、在线互动的主动权交给学生发展思维品质的起点在于学生主动参与在线课堂,因此教师要想方设法提高在线教学课堂的有效互动,使学生自主把握主动权不可否认,线上互动会
15、受时空限制,但事在人为,笔者通过制作单元小报、聚合开放性问题、学生自主设计提问、各抒己见解决方案、作业实践与交流等互动方法策略,既满足了不同层次学生个性化的互动需求,又让学生获得成为课堂主人翁的成就体验,加强表达、树立自信、发展思维 将发现问题、解决问题的探究权交给学生发展思维品质的重点在于学生发现问题的思辨敏锐度和解决问题的探究行动力,因此,掌握探究权即获得打开思维之门的钥匙为突破教学重难点,第三环节要求学生使例题中分割的两个直角三角形进行运动,构造新图形,并提出一个有关求三上海中学数学 年第期角比的数学问题此任务也作为课前准备布置给全班学生,部分学生的发现与设计让人惊叹,解决变式问题的课堂
16、绽放着“思维之花”变式的反馈既运用了之前总结的通法策略,又呈现了构造等腰直角三角形的巧法,一题多变中体现出变与不变、优化方法、自主探究 将一题多解、举一反三的思考权交给学生发展思维品质的本质在于学生面对真实情境或实际问题时,解题思路、应变方案的具体实施,因此还要解放学生一题多解、举一反三的思考权在能力提升环节的三个变式中,作高构造直角三角形,求高的策略综合多样,可选择等积法、相似三角形、同角的三角比等多种路径处理问题,通法巧法相辅相成,为多元思考提供载体作业探究题中添加中点的条件,丰富图形形式,不仅能作中位线构造“A字型”图形,也能利用倍长中线构造“八字型”图形,可从不同角度切入在分析实践中激发学生思考,提升思维品质(上接第页)投掷的是凹形,还有三维图形,如正四面体、正六面体等将平行线改为“筛子”形状,例如,平面上画有两组互相垂直的等距离平行线,它们把平面划分成边长为a,b的长方形,向平面投掷一长为l的针,计算针与平行线相交的概率如果平行线不是等距的,例如它们之间距离交替为a,a(la,a),那么针与平行线相交的概率为l(aa)参考文献赵华坤,任文清用电子计算机模拟设计试验J数学通报,
