1、46中学数学研究2023 年第 9 期(上)2023 年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛第 12 题探究及拓展安徽省合肥一六八中学(230601)王中学2023 年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛第 12 题是一道圆锥曲线中的定点问题,考查了椭圆的基本性质,也考查了分析问题、解决问题的能力尤其是运算求解能力;本文对其进行探究,并给出一般性的结论1.一、试题呈现题目已知点 B1,B2分别为椭圆 C:x28+y24=1 的下顶点、上顶点,过点A(0,22)的直线 l 交椭圆 C 于 P,Q 两 点(异 于B1,B2).(1)若 tanB1PB2=图 12tanB1QB2,求直线 l 的方程;(2)
2、设 R 为直线 B1P、B2Q 的交点,求 AR B1B2的值.解 析(1)略.(2)B1(0,2),B2(0,2),显 然 直 线 l的 斜 率 存 在,设 直 线 l 的 方 程 为:y=kx 22.将其与椭圆方程联立得(1+2k2)x2 82kx+8=0.=(82k)2 4 (1+2k2)8 0,得 k212.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=82k1+2k2,x1x2=81+2k2.(1)直线 B1P 方程为:y=y1+2x1x 2,直线 B2Q 方程为:y=y2 2x2x+2,两直线方程联立得:y+2y 2=(y1+2)x2(y2 2)x1=(kx1 22+2)x2
3、(kx2 22 2)x1.所以y=4kx1x2+42(x1+x2)+4(x1 x2)22(x2 x1)2(x1+x2)=2 kx1x22(x1+x2)+(x1 x2)2(x2 x1)(x1+x2).将(1)式代入化简得:y=28k1+2k2+(x1 x2)28k1+2k2+(x1 x2)=2,即直线 B1P、B2Q 的交点 R 落在定直线 y=2上.设 R(t,2),则 AR=(t,2),又 B1B2=(0,4),因此,AR B1B2=42.二、推广探究经过探究可得到如下结论:直线AM:y=y1x1+2(x+2),直线BN:y=y2x2+2(x2),二者联立得,x=2(2x1x2 3x1+x2
4、)x1+3x2 4.这是非对称韦达形式,怎么处理呢?解法 1(策略一:配凑半代换)原式=22x1x2 3(x1+x2)+4x2(x1+x2)+2x2 4=22 4k2 123+4k2 3 8k23+4k2+4x28k23+4k2+2x2 4=2(16k2 243+4k2+4x2)8k2 123+4k2+2x2=4(8k2 123+4k2+2x2)8k2 123+4k2+2x2=4,故直线 AM 与直线 BN 交点在定直线 x=4 上.解法 2(策略二:和积转换)分离常数得:x+x2=8k23+4k2=263+4k2,x1x2=4k2123+4k2=1153+4k2,则有 x1x2=52(x1+
5、x2)4,代入得x=2(2x1x23x1+x2)x1+3x24=25(x1+x2)83x1+x2x1+3x24=4.点评 本题若采用反设直线 x=ty+1,计算量可能会更小一些,能够比较轻松看出 y1+y2和 y1y2之间的关系,从而进行代入消元,求得定值,此处不再赘述.参考文献1 张国川,任晓红.圆锥曲线中非对称韦达式的处理策略一道考查数学运算素养的高三试题分析 J.中学数学研究,2023(07):60-61.2 周国强,周运柳.非对称韦达结构问题的求解策略一道解析几何高考题的多彩解法赏析 J.高中数学教与学,2022(23):19-20+4.3 张小丹.椭圆曲线中“非对称”韦达定理的处理技
6、巧 J.数学教学,2022(02):32-36.4 金荣杰.一类非对称圆锥曲线问题的解法研究.中学数学研究(华南师范大学版),2022(12):24-25.2023 年第 9 期(上)中学数学研究47结论 1已知点 B1,B2分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的下顶点、上顶点,过点 A(0,m)(|m|b)的直线 l 交椭圆 C 于 P,Q 两点(异于 B1,B2),则直线 B1P、B2Q的交点 R 在定直线 y=b2m上.证明参照图 1,B1(0,b),B2(0,b),显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为:y=kx+m.将其与椭圆方程联立得(b2+a2k2)x2+
7、2mka2x+a2m2 a2b2=0.=(2mka2)2 4 (b2+a2k2)(a2m2 a2b2)0,得k2m2 b2a2.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2mka2b2+a2k2,x1x2=a2m2 a2b2b2+a2k2,(2)直线 B1P 方程为:y=y1+bx1x b,直线 B2Q 方程为:y=y2 bx2x+b,两直线方程联立得:y+by b=(y1+b)x2(y2 b)x1=(kx1+m+b)x2(kx2+m b)x1,所以y=2bkx1x2 bm(x1+x2)+b2(x1 x2)m(x1 x2)b(x1+x2),将(2)式代入化简得:y=b22a2bkb
8、2+a2k2+(x1 x2)m2a2bkb2+a2k2+(x1 x2)=b2m,即直线 B1P、B2Q 的交点 R 落在定直线 y=b2m上.此时,当m=a 时,直线 B1P、B2Q 的交点 R 落在定直线 y=b2a上,即为原题中的定直线 y=2.若取直线 y=b2m上任一点 R(xR=0),B1,B2分别为椭圆的下顶点、上顶点,连接 B1R,B2R 分别与椭圆交于P,Q 两点,则直线 PQ 是否过定点?经过探究可得到如下结果:推论1 已知点B1,B2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的下顶点、上顶点,R(xR=0)为直线y=m(|m|a),则可得到:推论 2已知点 A1,A
9、2分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左顶点、右顶点,过点 B(0,m)(|m|a)的直线 l 交椭圆 C 于 P,Q 两点(异于 A1,A2),则直线 A1P、A2Q 的交点 R 在定直线 x=a2m上.推论3 已知点A1,A2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左顶点、右顶点,R(yR=0)为直线x=m(|m|0,b 0)的左顶点、右顶点,过点 B(0,m)(|m|0,b 0)的左顶点、右顶点,R(yR=0)为直线x=m(|m|a)上任一点,直线 A1R,A2R 分别与双曲线交于 P,Q 两点,则直线 PQ 过定点(a2m,0).推论 2 4 以及结论 2 皆可仿照结论 1 给出证明,不再赘述.结语 对题目的拓展、引申和探究,是一名数学教师必备的专业素养,平时要重视对典型问题的深入研究,探研规律,并适当拓展,只有对问题做了深入的思考,才能体会到数学的奥妙及神奇,才会有惊喜和收获,才会在学习中提升数学品质和数学素养.参考文献1 王中学.追根溯源求本质反思感悟探新知 J.数学通讯,2021(2):35-36.2 王中学.2021 年高中数学联赛一试(A1)卷第 11 题探究 J.中学数学研究(华南师大),2022(01):48-50.
