1、第04章 重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算考点体系考点1：与线段有关的计数问题典例：（2018内蒙古宁城初一期末）探究归纳题： (1)试验分析：如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作_条；同样，经过B点与A、C两点分别作直线，可以作_条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作_条.通过以上分析和总结，图1共有_条直线.（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有_条直线；图3共有_条直线；(3)探索归纳：如果平面上有n(n3)个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有_条直线(用含n的式子表示)(4)解决问题：中职篮（CBA）20172018赛季作出重大改革，比
2、赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？【答案】（1）2 2 2 3 （2）6 10 （3） （4）190 【解析】（1）2；2；2；3；（2）6；10；（3）（4）当n=20时，=（场）.故一共进行了190场比赛.方法或规律点拨本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律巩固练习1（2019河南许昌）观察表格：1条直线0个交点平面分成（1+1）块2条直线1个交点平面分成（1+1+2）块3条直线（1+2）个交点平面分成（1+1+2+3）块4条直线（1+2+3）个交点平面分成（1+1+2+3+4
3、）块根据表格中的规律解答问题：（1）5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；（2）n条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到 块饼【答案】（1）10，16；（2）n(n1)；1+n(n+1)；（3）56【解析】解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；故答案为：10，16；（2）2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+23个交点；4条直线相交有1+2+36个交点；5条直线相交有1+2+3+410个交点；6条直线相交有1+2+3+4+515个交点；n条直线相交有1+2+3+4+(n1)n(n1)；
4、平面被分成1+1+2+3+4+(n+1)1+n(n+1)；故答案为：n(n1)；1+n(n+1)；（3）当n10时，（块），故答案为：562（2019全国）平面内5条相交直线最多可以有几个交点？条直线呢？【答案】10个交点；个.【解析】解：平面内2条直线相交有1个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得123个交点，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1236个交点，第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得123410个交点；第n条直线和前n1条直线都相交，增加了n1个交点，得123n1，其和为：123n1个交点3（2018浙江全国初一课时练习）观察图形找出规
5、律，并解答问题 (1)5条直线相交，最多有_个交点，平面最多被分成_块；(2)n条直线相交，最多有_个交点，平面最多被分成_块【答案】(1)10,16;(2),1【解析】如图，（1）任意画2条直线，它们最多有1个交点；（2）任意画3条直线，它们最多有3个交点；（3）任意画4条直线（只画交点个数最多的情况），最多有6个交点；（4）5条直线最多有10个交点；n条直线最多有n（n-1）个交点一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了
6、4部分，n条时比原来多了n部分因为n=1，a1=1+1，n=2，a2=a1+2，n=3，a3=a2+3，n=4，a4=a3+4，n=n，an=an-1+n，以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+n=1+当n=5时，1+=164（2019全国初一）往返于A、B两地的客车,途中要停靠C、D两个车站,如图所示. 则需要设定几种不同的票价?需要准备多少种车票?【答案】设定6种，准备12种车票.【解析】总线段条数为3+2+1=6,所以需要设定6种不同的票价.因为同一段路,往返时起点和终点正好相反,所以需要准备12种车票.5（2019全国初一课时练习）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请
7、分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.【答案】（1）6；（2） ；（3）28【解析】解：(1)以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，共有3+2+1=6条线段；(2) 理由：设线段上有m个点，
8、该线段上共有线段x条，则x=(m1)+(m2)+(m3)+3+2+1，倒序排列有x=1+2+3+(m3)+(m2)+(m1)，2x=m+m+m,(m1)个m, (3)把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行场比赛.考点2：线段作图与计算的综合题典例：（2020恩施市崔坝镇民族中学初一期末）如图，平面上有射线AP和点B，C，请用尺规按下列要求作图：（1）连接AB，并在射线AP上截取ADAB；（2）连接BC、BD，并延长BC到E，使BEBD（3）在（2）的基础上，取BE中点F，若BD6，BC4，求CF的值【答
9、案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF的值为1【解析】解：如图所示，（1）连接AB，并在射线AP上截取ADAB；（2）连接BC、BD，并延长BC到E，使BEBD（3）在（2）的基础上，BEBD6，BC4，CEBEBC2F是BE的中点，BF3CFBCBF431答：CF的值为1方法或规律点拨本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图巩固练习1（2020全国单元测试）如图所示，已知线段的长为（1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点在线段的延长线上，且；（2）在上题中，如果在线段上有一点，且线段、长度之比为，求线段的长【答案】（1）见解析；（2）3.5cm或1.4xcm【解析】（1）
10、反向延长BA，以点A为圆心，AB为半径作圆交BA的延长线于点C，则线段AC即为所求;（2）当在线段上时，,，.，当在线段上时，.，2（2020福建宁化初一期末）如图，已知线段a和线段AB，（1）延长线段AB到C，使BCa（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB5，BC3，点O是线段AC的中点，求线段OB的长【答案】（1）见解析；（2） OB长为1【解析】解：（1）如图：延长线段AB，在AB的延长线上截取BCa（2）AB5，BC3，AC8，点O是线段AC的中点，AOCO4，BOABAO541，OB长为13（2020河北涞源初一期末）已知：如图，线段AB.（1）根据下列
11、语句顺次画图. 延长线段AB至C，使BC=3AB， 画出线段AC的中点D.（2）请回答： 图中有几条线段； 写出图中所有相等的线段.【答案】（1）画出图形，如图所示见解析；（2） 6； .【解析】解：(1)画出图形，如图所示. (2)图中的线段有：AB、BD、DC、AD、BC、AC，共6条；相等的线段有：AB=BD，AD=CD.故答案为：(1)画图见解析；(2)6；AB=BD，AD=CD.4（2019广西防城港初一期末）如图，已知线段a和射线OA，射线OA上有点B（1）用圆规和直尺在射线OA上作线段CD，使点B为CD的中点，点C在点B的左边，且BC=a（不用写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）
12、的基础上，若OB=12cm，OC=5cm，求线段OD的长【答案】（1）详见解析；（2）19cm【解析】解：（1）如图所示：以B为圆心，a的长为半径画弧，交OA于C、D两点 （2）OB=12cm，OC = 5cm， BC= OB -OC =12-5 =7cm， B为CD的中点， BC =BD = 7cm， OD = OB +BD =12+7 = 19cm5（2019江苏沛县初一期末）如图，已知四点A、B、C、D（1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形：画直线AB画射线DC延长线段DA至点E，使(保留作图痕迹)画一点P，使点P既在直线AB上，又在线段CE上（2）在（1）中所画图形中，若c
13、m，cm，点F为线段DE的中点，求AF的长【答案】（1）见解析；（2）0.5cm【解析】解：（1）如图，该图为所求，(2)AB=2cm，AB=AE，AE=2cm，AD=1cm，点F为DE的中点，EF=DE=cm，AF=AE-EF=2-=cm；AF=0.5cm.6（2019广东龙华初一期末）如图，已知不在同一条直线上的三点、，其中，且（1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹）作射线；在线段上截取；在线段上截取恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”像这样点就称为线段的“黄金分割点”（2）阅读下面材料，并完成相关问题；黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分
14、的长约是全长的0618倍，则称这个点为黄金分割点如图，为线段上一点，如果，那么点为线段的黄金分割点已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台上的两个黄金分割点和处，如图，则这两位主持人之间的距离约为_米【答案】（1）见解析；（2）7.08【解析】解：（1）如图1，点E就称为线段AB的“黄金分割点”；（2）点Q是MN的黄金分割点，MQ0.618MN18.54，QNMNMQ11.46，点P是MN的黄金分割点，NP0.618MN18.54，PQNPQN18.5411.467.08（米），故答案为：7.087（2019闽清县教育局初一期末）如图，已知线段a，b，用尺规作图（不用写作法，保
15、留作图痕迹），并填空（1）作线段AB，使得ABab；（2）在直线AB外任取一点C，连接AC，BC，可得ACBC AB（填“”或“”号），理由是 【答案】（1）图见解析； （2）；两点之间线段最短【解析】（1）如图所示：（2）由题意，得ACBCAB理由是两点之间线段最短.考点3：动点有关的线段问题典例：（2020江西东湖期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM4cm，当点C、D运动了2s，此时AC ，DM ；（直接填空）（2）当点C、D运动
16、了2s，求AC+MD的值（3）若点C、D运动时，总有MD2AC，则AM （填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且ANBNMN，求的值【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）或1【解析】（1）根据题意知，CM2cm，BD4cm，AB12cm，AM4cm，BM8cm，ACAMCM2cm，DMBMBD4cm，故答案为：2cm，4cm；（2）当点C、D运动了2 s时，CM2 cm，BD4 cmAB12 cm，CM2 cm，BD4 cmAC+MDAMCM+BMBDABCMBD12246 cm；（3）根据C、D的运动速度知：BD2MC，MD2AC，BD+MD2（MC+AC），即
17、MB2AM，AM+BMAB，AM+2AMAB，AMAB4，故答案为：4；（4）当点N在线段AB上时，如图1，ANBNMN，又ANAMMNBNAM4MNABAMBN12444；当点N在线段AB的延长线上时，如图2，ANBNMN，又ANBNABMNAB12；综上所述或1故答案为或1方法或规律点拨本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键巩固练习1（2020浙江镇海期末）已知数轴上，点为原点，点对应的数为9，点对应的数为，点在点右侧，长度为2个单位的线段在数轴上移动（1）当线段在、两点之间移动到某一位置时恰好满足，求此时的值（2）当线段在射线上沿
18、方向移动到某一位置时恰好满足，求此时的值【答案】（1）b=3.5；（2）或5【解析】解：（1）线段AC可以表示为，根据AC=OB，列式，解得；（2）当B在O点右侧（或O点）时，解得 ，当B在O点左侧时，解得 ，b的值为或2（2021重庆开学考试）如图，是线段上任意一点，两点分别从点开始，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为（1）若求运动后，的长；当点在线段上运动时，试说明（2）如果，试探索的长【答案】（1）3cm；见解析；（2）9或11【解析】解：（1）由题可知：（2）当时，当点在的右边时，如图所示：由于当点在的左边时，如图所示：综上所述，或113（2020全国初一课时练
19、习）已知，两点在数轴上表示的数为和，均为数轴上的点，且（1）若，的位置如图所示，试化简：；（2）如图，若，求图中以，这5个点为端点的所有线段（无重复）长度的和；（3）如图，为中点，为中点，且，若点为数轴上一点，且，试求点所对应的数【答案】（1）b-a；（2）41.6；（3）或3【解析】（1）由已知得，；（2），又，；（3），为的中点，为的中点，又，所以，解得，当点在点的左边时，点在原点的左边，故点所对应的数为；当点在点的右边时，点在原点的右边，故点所对应的数为3综上，点所对应的数为或34（2020河南太康初一期末）(1)如图，已知点C在线段AB上，AC6 cm，且BC4 cm，M，N分别是AC
20、，BC的中点，求线段MN的长度；(2)在(1)题中，如果ACa cm，BCb cm，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律；(3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC6 cm，BC4 cm，点C在直线AB上，M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度”结果会有变化吗？如果有，求出结果【答案】(1)5 cm;(2)MNcm.MN的长度为线段AC，BC长度和的二分之一(3)有变化当AB在点C同侧时，MN1 cm.【解析】解：(1)AC=6cm，BC=4cm，点M，N分别是AC，BC的中点， (2) 直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；(3)
21、如图，有变化，会出现两种情况：当点C在线段AB上时, 当点C在AB或BA的延长线上时, 5（2020深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQBQ=PQ，求PQ的长.【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm
22、【解析】解：(1) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm).因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm).故BD=2PC.因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.因为AB=12cm，所以(cm).(2) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm).因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm).故BD=2PC.因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+A
23、C)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.因为AB=12cm，所以(cm).(3) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm).因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm).故BD=2PC.因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.因为AB=12cm，所以(cm).(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.(i) 点Q在线段AB上(如图).因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.因为，所以.故.因为AB=1
24、2cm，所以(cm).(ii) 点Q不在线段AB上，则点Q在线段AB的延长线上(如图).因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.因为，所以.故.因为AB=12cm，所以(cm).综上所述，PQ的长为4cm或12cm.6（2020山东崂山初一期末）如图，已知线段AB、a、b（1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）延长线段AB到C，使BCa；反向延长线段AB到D，使ADb（2）在（1）的条件下，如果AB8cm，a6m，b10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度【答案】（1）见解析；见解析；（2）AE2cm【解析】（1）如图所示
25、，线段BC即为所求，如图所示，线段AD即为所求；（2）AB8cm，a6m，b10cm，CD8+6+1024cm，点E为CD的中点，DEDC12cm，AEDEAD12102cm7（2019河北初三二模）如图，已知数轴上有两点，它们的对应数分别是，其中（1）在左侧作线段，在的右侧作线段（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若点对应的数是，点对应的数是，且，求的值（3）在（2）的条件下，设点是的中点，是数轴上一点，且，请直接写出的长【答案】（1）见解析；（2）c=-68；d=92；（3）28或【解析】（1）解：如图，线段为所求的线段（2）因为；（3）分情况讨论：点N在线段CD上，由（2）得C
26、D92（68）160，点B对应的数为124028，BD92（28）120，点M是BD的中点，点M对应的数为926032，CN4DN，DNCD32，点N对应的数为9232=60，MN603228；点N在线段CD的延长线上，CN4DN，DNCD，点N对应的数为92，MN32故的长为28或8（2019江西贵溪初一期末）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停
27、止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：的值不变；的值不变可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论的值不变正确，.【解析】解：（1）设运动时间为t秒，则，由得，即，即所以点P在线段AB的处；（2）如图，当点Q在线段AB上时，由可知， 如图，当点Q在线段AB的延长线上时， 综合上述，的值为或；（3）的值不变. 由点、运动5秒可得， 如图，当点M、N在点P同侧时，点停止运动时，点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；如图，当点M、N在点P异侧时，点停止运动时，点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；所以的值不变正确，.考点4：静态图形中的角度计算与证明典例：（2020江西东湖期末）若的度数是的度数的k倍，则规定是的k倍角.（1）若M=2117，则M的5倍角的度数为 ；（2）如图1，OB是A
