1、第八章 二元一次方程（组）8.3 二元一次方程（组）的解法加减法（能力提升）【要点梳理】知识点一、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)
2、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解要点二、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元【典型例题】类型一、加减法解二元一次方程组例1. 用加减消元法解方程组【思路点拨】先将原方程写成方程组的形式后，再求解.【答案与解析】解：此式可化为：由(1)：3x+4y=18 (1)由(2)：6x+5y=27 (2)(1)2：6x+8y=36 (3)(3)(2)：3y=9 y=3代入(1)：3x+12=1
3、8 3x=6 x=2【总结升华】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c的形式再消元.举一反三：【变式】方程组的解为： .【答案】例2.若关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于x、y的方程组的解【思路点拨】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把2x+y，x-y看作一个整体，则两个方程同解【答案与解析】 解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(2x+y)与(x-y)分别看成一个整体当作未知数，可得 解得：【总结升华】本例采用了类比的方法，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法举一
4、反三：【变式】三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是： 【答案】解：由方程组的解是，得，上式可写成，与比较，可得：类型二、用适当方法解二元一次方程组例3. 解方程组【思路点拨】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单.【答案与解析】解：设，则原方程组可化为解得即 ，所以解得所以原方程组的解为【总结升华】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根
5、据方程组的特点选择最简便的求解方法.举一反三：【变式】【答案】解：去分母，整理化简得，32得，即，将代入得，即，所以原方程组的解为.例4. 试求方程组的解【答案与解析】解：，整理得 ，13y0，即y13，当时，可化为，解得；当时，可化为，无解.将代入，得，解得.综上可得，原方程组的解为：或.【总结升华】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解.举一反三：【变式】若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值【答案】解：方程组，3+得：11x=22，解得：x=2，将x=2代入得：6y=7，解得：y=1，方程组的解为，将代入y=kx+9得：k=5，则当
6、k=5时，（k+1）2=16【巩固练习】一、选择题1如果x:y3:2，并且x+3y27，则x与y中较小的值是（ ）. A3 B6 C9 D122方程组的解是（）A B C D3已知方程组中，x、y的值相等，则m等于（ ）. A1或-1 B1 C5 D-54.如果的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）. = + = - Aa 5小明在解关于x、y的二元一次方程组时得到了正确结果后来发现、处被墨水污损了，请你帮他计算出、处的值分别是（ ）. A1、1 B2、1 C1、2 D2、26. 已知方程组有无数多个解，则a、b 的值等于（ ）. Aa=-3,b=-14 B. a=3,b=-7 C. a=-
7、1,b=9 D.a=-3,b=14 二、填空题7若是二元一次方程，则a_，b_ 8已知等腰三角形的周长是18，腰长比底边大3，则这个三角形的腰长_，底边长_9已知是关于x、y的二元一次方程，则m_，n_；在自然数范围内，该方程的解是_10若|x-y-5|与|2x+3y-15|互为相反数，则x+y_11定义运算“”，规定xy=，其中a，b为常数，且12=5，21=6，则23= 12. 已知方程组的解满足x+y=3，则k的值为 三、解答题13解下列方程组：（1） （2） 14.解关于x、y的二元一次方程组时，小虎同学把c看错而得到，而正确的解是，试求a+b+c的值15阅读下列解方程组的方法，然后解
8、决有关问题解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是非常麻烦的，而采用下面的解法则是轻而易举的.，得2x+2y2，所以x+y116，得16x+16y16 ，得x-1，从而y2所以原方程组的解是请你用上述方法解方程组，并猜测关于x、y的方程组的解是什么？并加以验证【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B； 【解析】，解得，所以较小的数为6.2. 【答案】B3. 【答案】B； 【解析】解方程组得解为，因为x、y的值相等，所以，解得.4. 【答案】C； 5. 【答案】B；【解析】将代入得，解之得.6. 【答案】A；【解析】方程组有无穷多解，说明方程组中的方程对应项的系数成比例.二、填空题7. 【答案】
9、1， 0； 【解析】 由二元一次方程的定义得，解得.8. 【答案】7，4；【解析】设等腰三角形的底边长为，则腰长为，所以，解得.9. 【答案】1， 2， ；10【答案】7；11.【答案】10；【解析】根据新运算的定义可得，根据题意得：，解得：，则23=4+6=1012.【答案】8【解析】解方程组，得：x=2，把x=2代入得：2+y=3，解得：y=5则方程组的解是：，代入x+2y=k得：2+10=k，则k=8.三、解答题13.【解析】解：（1）将“”看作整体:由得， 将代入得 ，即， 将代入，化简得，即， 将代入得，所以原方程组的解为 .（2）由得， 将代入，整理得，解得，将代入得，所以原方程组的解为.14.【解析】解：方程组的正确解为，把代入方程cx7y=8，可得3c+14=8，解得c=2；把小虎求得的解和正确解分别代入方程ax+by=2，可得，解得，a+b+c=10+112=1915.【解析】解：，得2x+2y2，即x+y1 2005，得2005x+2005y2005 ，得x-1，把x-1代入得y2所以原方程组的解是，可以猜测关于x，y的方程组的解是验证如下：将x-1，y2，代入方程(a+2)x+(a+1)ya中满足方程左、右两边的值相等，将x-1，y2，代入方程(b+2)x+(b+1)yb中满足方程左、右两边的值相等，所以是方程组的解
