1、第九章 不等式与不等式（组）9.5 不等式与不等式组章末复习（能力提升）【要点梳理】知识点一、不等式1.不等式：用符号“”(或“”)，“”（或“”），连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，那么acbc不等式的
2、基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)要点二、一元一次不等式1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b0或ax+b0(a0)叫做一元一次不等式的标准形式2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边
3、界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式
4、组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用： 根据题意构建不等式组，解这个不等式组；由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案【典型例题】类型一、不等式例1. 判断以下各题的结论是否正确（对的打“”，错的打“”）（1）若 b3a0，则b3a； （2）如果5x20，那
5、么x4； （3）若ab，则 ac2bc2； （4）若ac2bc2，则ab； （5）若ab，则 a（c2+1）b（c2+1） （6）若ab0，则 【答案与解析】解：（1）若由b3a0，移项即可得到b3a，故正确；（2）如果5x20，两边同除以5不等号方向改变，故错误； （3）若ab，当c=0时则 ac2bc2错误，故错误； （4）由ac2bc2得c20，故正确； （5）若ab，根据c2+1，则 a（c2+1）b（c2+1）正确 （6）若ab0，如a=2，b=1，则正确故答案为：、【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变例2. 设xy，试比较代数式-(8
6、-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。【答案与解析】解：可利用作差比较法比较大小 -(8-l0x)- -(8-l0y) =-8+10x+8-10y =10x -10y xy，10x10y，10x -10y0 -(8-l0x)-(8-l0y) 按题意-(8-l0x)0，则10x8 x的最小正整数值是1【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断：举一反三：【变式】己知：x0.5，比较2-4x和18x-9的大小.【答案】解：2-4x-（18x-9）=11-22x而又x-
7、11即11-22x02-4x18x-9类型二、一元一次不等式 例3. 已知关于x的不等式的解集是，求a的取值范围. 【答案与解析】解：法一：，它的解集为， . 法二：是关于x方程 的解，解得. 【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解. 举一反三：【变式1】如果关于的不等式正整数解为1、2、3, 则正整数应取怎样的值?【答案】解不等式得：为正整数且中的正整数解为1，2，3【变式2】如果关于x的不等式（a+1）xa+1的解集为x1，那么a的取值范围是 【答案】解：（a+1）xa+1的解集为x1，a+10，a1类型三、一元一次不等式组例4. 求不等式组的整数解. 【思路点拨】分别解出各不等
8、式，取所有的公共部分.【答案与解析】解：解不等式得：x2解不等式得：x1解不等式得：x-2不等式组的解集为1x2故不等式组的整数解为1，0,1【总结升华】求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集，再从中找出符合要求的特殊解举一反三：【变式】若关于不等式组只有四个整数解，求a的取值范围.【答案】解：由，得， 由，得， 不等式组的解集为， 只有四个整数解，即， a的取值范围：.例5. 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台三种家电的进价和售价如下表所示： 价格种类进价（元/台）售价（元/台）电视机20002100冰 箱24002500洗衣机1
9、6001700 (1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案? (2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13领取补贴在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15-2x)台根据两个关键词：“不大于”、“不超过”就可以建立不等式组，根据x的取值讨论确定进货方案(2)分别求出(1)中各方案所需的补贴，再比较确定国家财政的最多补贴【答案与解析】解：(1)设购进电视机、冰箱各x台依题意，得解这个不等式组得，6x7 x为正整
10、数 x6或7方案一：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；方案二：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台(2)方案1需补贴：(62100+62500+31700)134251(元)方案二需补贴：(72100+72500+11700)134407(元) 国家财政最多需补贴农民4407元【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是：根据题意构建不等式(组)；解这个不等式(组)；由不等式(组)的整数解的个数确定方案类型四、综合应用例6.已知不等式组的解集为，试求m，n的值【答案与解析】解：解不等式，得解不等式 n-4(x-1)1，得因为不等式组的解集为，所以有， 答：m、n的值分别1和3【总结升华】先分别求
11、出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根据题意，建立关于m、n的方程求解例7.潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：种植户种植A类蔬菜面积(单位：亩)种植B类蔬菜面积(单位：亩)总收入(单位：元)甲3112500乙2316500 说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等 (1)求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元? (2)某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有租地方案【答
12、案与解析】 解：(1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元 由题意得： 解得 答：A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元 (2)设用来种植A类蔬菜的面积a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a)亩 由题意得： 解得：10a14 a取整数为：11、12、13、14 租地方案为：类别种植面积单位：（亩）A11121314B9876【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，读懂统计表，能够从统计表中获得正确信息，及熟练解方程组和不等式组是解题的关键举一反三：【变式】某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木
13、1株，共需成本1500元（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元， 1株乙种花木售价为540元该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株,那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？【答案】解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元 由题意得：， 解得： （2）设种植甲种花木为a株，则种植乙种花木为（3a+10）株 则有： 解得： 由于a为整数，a可取18或19或20，所以有三种具体方案：种植甲种花木18株，种植乙种花木3a+10=64株；种植甲种花木19株
14、，种植乙种花木3a+10=67株；种植甲种花木20株，种植乙种花木3a+10=70株. 【巩固练习】一、选择题1不等式组的解集应为（）A、B、C、D、或12某商场的老板销售一种商品，他要以利润不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（）A80元B100元 C120元D160元3不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4若不等式组 有解，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5当1x2时，ax+20，则a的取值范围是（）.Aa1 Ba2 Ca0 Da1且a06. 中
15、央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与两个球体质量相等的正方体的个数为( ) A5 B4 C3 D27.如图，用两根长度均为Lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆则围成的正方形和圆的面积比较（ ）A正方形的面积大 B圆的面积大 C一样大 D根据L的变化而变化8.已知为非零有理数，下面四个不等式组中，解集有可能为的不等式组是（ ）ABC D二、填空题9已知关于x的不等式组的整数解共有个，则的取值范围为 10已知方程组的解满足，则a的取值范围 11. 若不等式组无解，则的取值范围是.12.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准
16、备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打折13.已知关于x的方程3k5x9的解是非负数，求k的取值范围 .14.如果关于的不等式组的正整数解仅为1,2,3，则的取值范围是 ，的取值范围是 .15. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b例如，明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是 .16.若不等式组只有一个整数解，则a的取值范围 三、解答题17.已知x满足，化简|x3|2x1| 18.求不等式（2x1）（x+3）0的解集解：根据“同
17、号两数相乘，积为正”可得：或 解得x；解得x3不等式的解集为x或x3请你仿照上述方法解决下列问题：（1）求不等式（2x3）（x+1）0的解集（2）求不等式0的解集19.某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题.已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元.（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？20. 今年春季我国西南地区发生严重旱情，为了保障人畜饮水安全，某县急需饮水设备12台，现有甲、乙两种设备可供选择，其中
18、甲种设备的购买费用为4000元/台，安装及运输费用为600元/台；乙种设备的购买费用为3000元/台，安装及运输费用为800元/台若要求购买的费用不超过40000元，安装及运输费用不超过9200元，则可购买甲、乙两种设备各多少台?答案与解析一.选择题1. 【答案】C； 【解析】解第一个不等式得，解第二个不等式得，所以不等式组的解集为2. 【答案】C； 【解析】解：设降价x元时商店老板才能出售则可得： 360x（1+20%）解得：x1203. 【答案】C； 【解析】解第一个不等式得x2，由题意可得2，所以14. 【答案】A； 【解析】画数轴进行分析5. 【答案】A； 【解析】当x=1时，a+20
19、解得：a2；当x=2，2a+20，解得：a1，a的取值范围为：a16. 【答案】A ；【解析】解：设一个球体、圆柱体与正方体的质量分别为x、y、z， 根据已知条件，有 25，得2x5y，即与2个球体质量相等的正方体的个数为57. 【答案】B；8. 【答案】D；【解析】由选项及解集可得一正一负，不防设正负代入选项验证二填空题9.【答案】； 【解析】解得不等式组的解集为，要使其中包含4个整数，所以10.【答案】； 【解析】方程组得： 所以，解得：11. 【答案】；【解析】要使原不等式无解，则需满足，得212.【答案】7；【解析】设至多打x折则12008008005%，解得x7，即最多可打7折13.
20、【答案】 k-3； 【解析】3k-5x=-9，x=， 解得k-314.【答案】，；15【答案】3，1；【解析】由于本密码的解密钥匙是： 明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b 故当密文是1，7时， 得， 解得 也就是说，密文1，7分别对应明文3，116【答案】1a2【解析】先把a看成一个固定数，解关于x的不等式组，再由不等式组的解集研究a的取值范围三.解答题17.【解析】解：原不等式组可化为：，即， 3536990， ，于是，|x3|2x1|(3x)(2x1)x218.【解析】解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得或，解得不等式组无解；解得，1x；（2）根据“同号两数相乘，积为正”可得，
21、解得，x3，解得，x2，故不等式组的解集为：x3或x219.【解析】解：（1）设新建1个地上停车位需要x万元，新建1个地下停车位需y万元，根据题意，得，解得：答：新建1个地上停车位需要0.1万元，新建1个地下停车位需0.5万元（2）设建m个地上停车位，则建（50-m）个地下停车位，根据题意，得 120.1m+0.5（50-m）13，解得：30mm为整数，m=30，31，3250-m=20,19,18.答：有三种建造方案：方案一：新建30个地上停车位和20个地下停车位；方案二：新建31个地上停车位和19个地下停车位；方案三：新建32个地上停车位和18个地下停车位.20. 【解析】解：设购买甲种设备x台，则购买乙种设备(12-x)台，购买设备的费用为：4000x+3000(12-x)；安装及运输费用为：600x+800(12-x)由题意得：解之得：2x4 可购甲种设备2台，乙种设备10台或购甲种设备3台，乙种设备9台，或购甲种设备4台，乙种设备8台
