1、2020届广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】首先求出集合M、N中的元素，由集合的包含关系即可求解.【详解】，可表示全体整数，表示全体奇数，故选：B【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题.2原命题为“若互为共轭复数，则”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A真，假，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假【答案】B【解析】试题分析：设复数，则，所以，故原命题为真；逆命题：若，则互为共轭复数；如，且，但此时不互为共轭复，故逆命题为
2、假；否命题：若不互为共轭复数，则；如，此时不互为共轭复，但，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B.【考点】命题以及命题的真假.3已知平面向量,是非零向量,|=2,(+2),则向量在向量方向上的投影为()A1B-1C2D-2【答案】B【解析】先根据向量垂直得到(+2),=0，化简得到=2，再根据投影的定义即可求出【详解】平面向量,是非零向量,|=2,(+2),(+2),=0，即 即=2向量在向量方向上的投影为=1，故选：B【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用解答关键在于要求熟练应用公式4平面平面的一个充分条件是（ ）A存在一条直线
3、，B存在一条直线，C存在两条平行直线，D存在两条异面直线，【答案】D【解析】试题分析：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确【考点】空间线面平行的判定与性质5函数零点的个数是（ ）A5B4C3D2【答案】C【解析】试题分析：令=0，可得=，因为，所以在同一平面直角坐标系内，画出y=,y=在0,8的图象，观察交点个数即得，选C。【考点】本题主要
4、考查函数零点的概念，对数函数、正弦函数的图象。点评：简单题，令6已知函数（，为常数，）在处取得最大值，则函数是（ ）A奇函数且它的图象关于点对称B偶函数且它的图象关于点对称C奇函数且它的图象关于对称D偶函数且它的图象关于对称【答案】A【解析】首先根据已知可得，然后根据正弦函数的图像与性质得到，再化简函数，从而求解问题.【详解】，在处取得最大值，则，奇函数且它的图象关于点对称.故选：A【点睛】本题考查了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题.7已知函数的图象连续且在上单调，又函数的图象关于轴对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前2019项之和为（ ）A0B2
5、019C4038D4040【答案】C【解析】由函数的图象关于轴对称，平移可得的图像关于对称，由题意可得，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和.【详解】函数的图象关于轴对称，且函数的图象连续且在上单调，可得的图像关于对称，由数列是公差不为0的等差数列，且，可得，又是等差数列，可得，所以的前2019项之和为 故选：C【点睛】本题考查了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前项和，需熟记公式与性质，属于基础题.8函数在上的单调减区间为（ ）A和B和C和D【答案】B【解析】利用二倍角公式将函数化为，进而可得，根据，利用复合函数的单调性即可求解.【详解】，令 ，由，则 所以，在上单调
6、递增，在单调递减又在上单调递减，在上单调递增，此时，利用复合函数的单调性可得函数在上单调递减；在上单调递减，在上单调递增，此时，利用复合函数的单调性可得函数在上单调递减；故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减”的特征，此题属于中档题.9 函数f(x)的值域为()A,B,0C0,1D0,【答案】C【解析】令，则的几何意义是单位圆(在轴及其上方)上的动点与点连线的斜率，由图象，得，即函数的值域为0,1，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用的形式和平方关系联想到
7、三角代换，二是由的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.10已知圆，点，内接于圆，且，当，在圆上运动时，中点的轨迹方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得，从而得中点的轨迹方程.【详解】设中点为，圆心角等于圆周角的一半，在直角三角形中，由，故中点的轨迹方程是：，如图，由的极限位置可得，.故选：D【点睛】本题考查了动点的轨迹方程问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.11是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则的离心率是（ ）A B C D【答案】A【解析
8、】试题分析：由题意得，因此 ，选A.【考点】双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a，b，c的不等式求解，正确把握c2a2b2的应用及e1是求解的关键12若正四面体SABC的面ABC内有一动点P到平面SAB、平面SBC、平面SCA的距离依次成等差数列，则点P在平面ABC内的轨迹是A一条线段B一个点C一段圆弧D抛物线的一段【答案】A【解析】试题分析：设点到三个面的距离分别是.因为正三棱锥的体积为定值，所以为定值，因为.成等差数列，所以.为定值，所以点的轨迹是
9、平行的线段【考点】等差数列的性质；抛物线的定义点评：本题以等差数列为载体，考查正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P到侧面SBC的距离为定值二、填空题13在区间上分别任取两个数，若向量，则满足的概率是_ .【答案】【解析】由已知向量的坐标求出满足的所满足的条件，结合，数形结合得出答案.【详解】由，得 由，得，即，满足，作出图像如图：圆的面积为，正方形的面积为.则的概率是 .故答案为：【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，解题的关键是变量满足的条件，属于基础题.14已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则_.【答案】【解析】由等差数列的性质，结合等差数列的前项和公式得到，在中取即可得出答案.【
10、详解】数列、为等差数列，且前项和分别为和，则，且，又，所以.故答案为： 【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.15已知随机变量，若，则_【答案】【解析】随机变量服从，解得：.又，故答案为：0.116在锐角中，角，所对的边分别为，当取最大值时，角的值为_.【答案】【解析】利用正弦定理以及二倍角公式将化为，再由两角和与差的公式将式子化为，由此可得，代入的展开式，利用基本不等式即可求解.【详解】由，即， ，由三角形为锐角三角形，所以，当且仅当，即，取等号 故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理边化角、两角和与差的公式、二倍角公式以及基本不等式，需熟记公式，综合
11、性比较强，属于中档题.三、解答题17已知数列满足：，.（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的通项公式.【答案】（）；（）【解析】（）由可化为，令，推出，根据的特征即可求出.（）根据题意可得，与原式作差再由（）即可求解.【详解】（）由可化为.令，则，即.因为，所以，所以，即，故.（）由，可知，两式作差得，即.又当时，也满足上式，故.【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及与的关系，属于中档题.18某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低
12、于100枝且另外2天不低于150枝的概率；（2）用表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量的分布列和数学期望【答案】（1）;（2）见解析.【解析】试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望.试题解析：（1）设日销量为，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件则，（2）日销售量不低于100枝的概率，则，于是，则分布列为01234【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，
13、概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.19如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，分别是，的中点.（）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（）设，求二面角大小的取值范围.【答案】（）平面，证明见解析；（）【解析】（）证出平面，由线面平行的性质定理可证出，再由线面平行的判定定理即可求解.（）法一：证出是二面角的平面角，根据的范围即可求解. 法二：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用向量的数量积即可求解.【详解】（）证明如下：，平面，平面，平面.又平面
14、，平面与平面的交线为，.而平面，平面，平面.（）解法一：设直线与圆的另一个交点为，连结，.由（）知，而，.平面，.而，平面，又平面，是二面角的平面角.注意到，.，即二面角的取值范围是.解法二：由题意，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，则，.设平面的法向量为，则由得，取得.易知平面的法向量，设二面角的大小为，易知为锐角，即二面角的取值范围是.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、判定定理以及求面面角、空间向量法求面面角，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题.20已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为.（）求椭圆的方程；（）设为上一个动点，过点与椭
15、圆只有一个公共点的直线为，过点与垂直的直线为，求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.【答案】（）；（）证明见解析，【解析】（）设，根据点，都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求”的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解.（）设，由对称性，设，由，得椭圆上半部分的方程为，从而求出直线的方程，再由过点与垂直的直线为，求出，两方程联立，消去，即可求解.【详解】（）由题可知，直线的斜率存在.设，由于点，都在椭圆上，所以，-，化简得又因为离心率为，所以.又因为直线过焦点，线段的中点为，所以，代入式，得，解得.再结合，解得，故所求椭圆的方程为.（）证明：设，由对称
16、性，设，由，得椭圆上半部分的方程为，又过点且与椭圆只有一个公共点，所以，所以：，因为过点且与垂直，所以：，联立，消去，得，又，所以，从而可得，所以与的交点在定直线上.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中“设而不求”的思想，考查了学生的计算能力，属于中档题.21已知函数，.（）求函数的单调区间；（）当时，都有成立，求的取值范围；（）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由.【答案】（）见解析；（）；（）见解析，理由见解析【解析】（）首先求出函数的定义域和导函数，根据导函数分类讨论的取值范围；当时，当时，分析的正负即可求解. （）由（）中的导函数讨论是否在区
17、间内，利用函数的单调性求出函数的最值，使即可解不等式即可. （）法一：设切点为，求出切线方程，从而可得，令，讨论的取值范围，分析函数的的单调性以及在上的零点即可求解； 法二：设切点为，求出切线方程，从而可得，分离参数可得，令，讨论的单调性求出函数的值域，根据值域确定的范围即可求解.【详解】（）函数的定义域为，.（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；（2）当时，令，得.当时，函数为减函数；当时，函数为增函数.综上所述，当时，函数的单调递增区间为.当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（）由（）可知，（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，所以在区间上，显然函数在区间上恒大于零；（2）当时，
18、即时，函数在上为减函数，在上为增函数，所以.依题意有，解得，所以.（3）当时，即时，在区间上为减函数，所以.依题意有，解得，所以.综上所述，当时，函数在区间上恒大于零.另解：当时，显然恒成立.当时，恒成立恒成立的最大值.令，则，易知在上单调递增，所以最大值为，此时应有.综上，的取值范围是.（）设切点为，则切线斜率，切线方程为.因为切线过点，则.即.令，则.（1）当时，在区间上，单调递增；在区间上，单调递减，所以函数的最大值为.故方程无解，即不存在满足式.因此当时，切线的条数为0.（2）当时，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以函数的最小值为.取，则.故在上存在唯一零点.取，则.设，则.
19、当时，恒成立.所以在单调递增，恒成立.所以.故在上存在唯一零点.因此当时，过点存在两条切线.（3）当时，显然不存在过点的切线.综上所述，当时，过点存在两条切线；当时，不存在过点的切线.另解：设切点为，则切线斜率，切线方程为.因为切线过点，则，即.当时，无解.当时，令，则，易知当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增.又，且，故当时有两条切线，当时无切线，即当时有两条切线，当时无切线.综上所述，时有两条切线，时无切线.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性性的应用以及函数的零点，综合性较强，属于难题.22已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的
20、极坐标方程为，射线，分别与曲线交于三点（不包括极点）.()求证：；()当时，若两点在直线上，求与的值.【答案】()证明见解析；().【解析】试题分析：()由曲线C的极坐标方程可得点的极径，即得到，计算后即可证得结论正确()根据可求得点B,C的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC的直角坐标方程，结合方程可得与的值试题解析：（）证明：依题意， 则 （）当时，两点的极坐标分别为， 故两点的直角坐标为，. 所以经过点的直线方程为， 又直线经过点，倾斜角为，故，23已知函数.()若，求实数的取值范围；()若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】()；().【解析】试题分析：（）由可得，根据分类讨论法解不等式组即可（）根据绝对值的几何意义求得的最小值为，由可得实数的取值范围试题解析：（）由可得， 当时，不等式化为，解得，； 当时，不等式化为，解得，； 当时，不等式化为，解得，. 综上实数的取值范围是 （）由及绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值不等式恒成立， ，即，解得或 实数的取值范围是.第 23 页 共 23 页
