1、2020届四省八校高三第三次教学质量检测考试数学(理)试题一、单选题1已知某校有高一学生1000人,高二学生800人,高三学生600人,该校学生会希望调查有关本学期学生活动计划的意见,现从全体高中学生中抽取作为样本.若利用分层抽样,则应在高二学生中抽取( )A100人B80人C600人D240人【答案】B【解析】由题意结合分层抽样的定义求解需要抽取的高二学生人数即可.【详解】由分层抽样的定义可知,应在高二学生中抽取人数为:.故选:B.【点睛】进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:(1) ;(2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比2已知复数,则在复平面内对应点的坐标为
2、( )ABCD【答案】B【解析】首先化简所给的复数,然后结合化简结果即可确定其所在的象限.【详解】,则在复平面内对应的点坐标为,故选:B.【点睛】本题主要考查复数的运算法则,复数所对应的点的坐标的确定等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3已知命题:,命题:,则下列判断正确的是( )A是真命题B是真命题C是真命题D是假命题【答案】A【解析】由题意首先确定命题p,q的真假,然后判定所给的复合命题的真假即可.【详解】当时,命题p为假命题;当时,命题q为真命题;则:是真命题,是假命题,是假命题,是真命题.故选:A.【点睛】本题主要考查命题真假的判定,复合命题的运算等知识,意在考查学生的转化能
3、力和计算求解能力.4在的展开式中,含的项的系数是( )A-100B-60C60D100【答案】A【解析】由题意结合排列组合和二项式的展开式特点确定含的项的系数即可.【详解】由题意可得:含的项为,则含的项的系数是.故选:A.【点睛】本题主要考查二项式展开式系数的计算,排列组合与二项式展开式的联系等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5已知直线:,:,若,则( )AB1C-1D不存在【答案】C【解析】由题意结合直线平行的充分必要条件得到关于m的方程,解方程即可确定m的值.【详解】由直线平行的充分必要条件可得:且,据此可得:.故选:C.【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件,属于基础题.
4、6已知,则,的大小关系为( )ABCD【答案】B【解析】由题意利用对数函数的性质和作差法比较所给的数的大小即可.【详解】很明显,且:,故选:B.【点睛】本题主要考查对数的运算性质,作差法比较大小的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于,点,为坐标原点.若的面积为1,则的值为( )A1BC2D【答案】A【解析】由题意首先确定渐近线方程和准线方程,然后结合三角形面积公式得到关于m的方程,解方程即可确定m的值.【详解】双曲线的渐近线方程为,抛物线的准线方程为:,联立得,则.由,解得,故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程,抛物线的性
5、质,方程的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8我国某省新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、英语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某校高一新生甲、乙分别选了历史、物理,若他们都对后面四科没有偏好且彼此选课互不影响,则他们选课恰有一科相同的概率为( )ABCD【答案】B【解析】由题意首先确定所有的选课方法种数和满足题意的选课方法数,然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】由题意可得,所有的选课方法有种,满足题意的选课方法有种,结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值:,故选:B.【点睛】有关古典概型的概率问题,关键
6、是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.9在直角三角形中,取点、,使,那么( )A-8B-4C4D8【答案】D【解析】首先将向量均表示为以为底的线性组合形式,然后结合向量数量积的运算法则和题意整理计算即可求得最终结果.【详解】,化简得,同理可得,可得,故选:D.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理,平面向量数量积的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10若关于的方程恰有4个不相等实根,则实数的取值范围是( )ABCD【
7、答案】B【解析】由题意首先将所给的方程进行恒等变形,然后换元之后将其转化为二次函数根的分布的问题,最后求解关于实数a的不等式组即可确定实数a的取值范围.【详解】由题可转化为,令,则,则函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,当时,做出函数的图象如图所示,结合题意可知:要使原方程恰有4个不相等的实数根,则,且关于的方程在有两个不相等的实数根,即在有两个不同的零点,则,解得,表示为区间形式即.故选:B.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性,导数研究函数零点个数问题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11已知实数,满足条件,则的最大值为( )ABCD【答案】C【解析】由题意首先将问题转
8、化为定点到两个动点之间距离的问题,然后利用椭圆的定义进行等价转化,最后利用三点共线的结论即可确定满足题意的最值.【详解】根据题意,点在椭圆上,且,表示点到点和到点的距离之和,即.其中点是椭圆的右焦点,左焦点为.,又因为,于是,据此可知:的最大值为.故选:C.【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想,椭圆的定义的应用,最值的求解方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12存在函数,满足对任意,都有( )ABCD【答案】D【解析】利用函数的定义,逐一考查所给的函数,不满足题意的选项给出反例,符合题意的函数给出解析式即可.【详解】根据函数的定义可知,A选项:当时,有和,因此不符合函数的定义.
9、B选项:当时,.于是当为偶数时,当为奇数时,因此不符合函数的定义.C选项:当时,.于是当为偶数时,当为奇数时,因此不符合函数的定义.D选项,由可得,满足函数的定义.故选:D.【点睛】本题主要考查函数的定义及其应用,属于中等题.二、填空题13甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是_【答案】【解析】乙不输的概率为,填.14有一个容量为60的样本,数据的分组及各组的频数如下图:数据分组频数281020164根据样本的频率分布估计,总体的平均数为_.(保留小数点后两位)【答案】123.67【解析】由题意利用平均数公式计算平均数即可.【详解】由题意可得,平均数为:.故答案
10、为:【点睛】本题主要考查频率分布表的应用,平均数的计算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15已知圆:与圆:相内切,则的最小值为_.【答案】1【解析】首先确定两圆的圆心和半径,然后结合两圆内切的条件得到关于m,n的等量关系,最后利用基本不等式即可确定的最小值.【详解】:,圆心,:,圆心,圆,内切,即,当且仅当即时等号成立,因此的最小值为1.故答案为:1【点睛】本题主要考查圆的方程的应用,基本不等式求最值的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.162019年1月1日新修订的个税法正式实施,规定:公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税,超过5000元的部分为全月
11、应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算(预扣):全月应缴纳所得额税率不超过3000元的部分超过3000元至12000元的部分超过12000元至25000元的部分国家在实施新个税时,考虑到纳税人的实际情况,实施了个人所得税税前专项附加扣税暂行办法,具体如下表:项目每月税前抵扣金额(元)说明子女教育1000一年按12月计算,可扣12000元继续教育400一年可扣除4800元,若是进行技能职业教育或者专业技术职业资格教育一年可扣除3600元大病医疗5000一年最高抵扣金额为60000元住房贷款利息1000一年可扣除12000元,若夫妻双方在同一城市工作,可以选择一方来扣除住房租金1500/1000
12、/800扣除金额需要根据城市而定赡养老人2000一年可扣除24000元,若不是独生子女,子女平均扣除.赡养老人年龄需要在60周岁及以上老李本人为独生子女,家里有70岁的老人需要赡养,有一个女儿正读高三,他每月还需缴纳住房贷款2734元.若2019年11月老李工资,薪金所得为20000元,按照个人所得税税前专项附加扣税暂行办法,则老李应缴纳税款(预扣)为_元.【答案】890【解析】由题意首先确定老李需要纳税的钱数,然后结合税率计算需要缴纳的个人所得税即可.【详解】根据题意,老李应纳税的工资、薪金为元,其中应纳税额所得额为.缴纳的个人所得税(预扣)为元,故答案为:890【点睛】本题主要考查信息处理
13、题的解法,实际问题的数学建模等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17已知正项数列的前项和为,且和满足:.(1)求的通项公式;(2)设数列,求的前项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)首先求得的值,然后结合递推关系式整理可得数列为等差数列,结合等差数列通项公式可得数列的通项公式;(2)结合(1)的结论首先求得数列的通项公式,然后错位相减求解其前n项和即可.【详解】(1)当时,解得:,当且时,整理可得:,数列以2为首项,4为公差的等差数列,.(2)由(1)知,则则,由-得化简得.【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anb
14、n的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解18已知向量,且函数.(1)求的最小正周期及对称中心;(2)在中,内角,的对边分别为,角为锐角,若,且的面积为.求的周长.【答案】(1)最小正周期为,对称中心为,.(2)【解析】(1)首先将函数的解析式化简为的形式,然后确定其最小正周期和对称中心即可;(2)由题意首先求得a的值,然后利用正弦定理求得A的大小,最后结合余弦定理求得b+c的值即可求得三角形的周长.【详解】(1),由,故最小正周期为.由,的对称中心为,.(2)由于,故,于是,又,解得.,解得.故或(舍去).由余弦定理,则化简得:,三角形的周长为
15、.【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质,正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19为进一步优化教育质量平台,更好的服务全体师生,七天网络从甲、乙两所学校各随机抽取100名考生的某次“四省八校”数学考试成绩进行分析,分别绘制的频率分布直方图如图所示.为了更好的测评各个学校数学学科的教学质量,该公司依据每一位考生的数学测试分数将其划分为“,”三个不同的等级,并按照不同的等级,设置相应的对学校数学学科教学质量贡献的积分,如下表所示.测试分数的范围分数对应的等级贡献的积分等1分等2分等3分(1)用样本的频率分布估计总体的频率分布,若将甲学校考生的数学测试等级
16、划分为“等”和“非等”两种,利用分层抽样抽取10名考生,再从这10人随机抽取3人,求3人中至少1人数学测试为“等”的概率;(3)根据考生的数学测试分数对学校数学学科教学质量贡献的积分规则,分别记甲乙两所学校数学学科质量的人均积分为和,用样本估计总体,求和的估计值,并以此分析,你认为哪所学校本次数学教学质量更加出色?【答案】(1);(2)答案见解析;(3)答案见解析.【解析】(1)由题意首先确定需要抽取的人数,然后结合对立事件公式即可求得满足题意的概率值.(2)由题意可知随机变量服从二项分布,结合二项分布的概率公式求得相应的概率值即可得到其分布列,然后求解数学期望即可;(3)设和的估计值为和,求
17、得其相应的值即可给出相应的结论.【详解】(1)由题意知抽取的10人中,数学成绩为“等”和“非等”的人数分别为2人和8人.设从这10人随机抽取3人,求3人中至少1人数学测试为“等”的事件为,则.,.0123故.(3)由题可知,设和的估计值为和,(分)(分)则,如果仅以考生的数学测试分数对学校贡献的积分来看,本次考试,我认为乙学校本次数学测试更加出色.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用,分布列与数学期望的计算,实际问题中的概率统计问题决策方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20已知抛物线:的准线经过点.(1)求抛物线的方程;(2)设是原点,直线恒过定点,且与抛物线交于,两点,直
18、线与直线,分别交于点,.请问:是否存在以为直径的圆经过轴上的两个定点?若存在,求出两个定点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)存在,以为直径的圆经过轴上的两个定点分别为和【解析】(1)由题意首先求得p的值,然后确定抛物线方程即可;(2)设出直线AB的方程,与抛物线方程联立,结合韦达定理即可求得圆的方程,结合圆的方程即可确定圆是否过定点.【详解】(1)由于知,故抛物线:;(2)设直线:,且,联立知,由韦达定理知,由于直线:,故点.直线:,故点,故以为直径的圆的方程为,令知,代入知解得,.故以为直径的圆经过轴上的两个定点分别为和.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲
19、线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|x1x2p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式21已知函数,.(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)若对恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)首先求得切点坐标,然后利用导函数的几何意义求得切线的斜率即可确定切线方程;(2)结合函数的解析式分离参数,然后构造新函数,利用导函数研究构造的新函数的最值即可确定实数a的取值范围.【详解】(1)当时,则,又因为,则.故切线方程为,化简得.(2)若对恒成立,即对恒成立,记,则,记,则恒成立
20、,则在单调递减,则,即,故函数在单调递减,则,故.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用22在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),曲线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线、的极坐标方程;(2)射线:与曲线,分别交于点,(且点,均异于原点),
21、当时,求的最小值.【答案】(1)的极坐标方程为,的极坐标方程为(2)【解析】(1)由题意首先将参数方程化为直角坐标方程,然后再化为极坐标方程即可;(2)结合(1)中的参数方程首先求得的表达式,然后结合均值不等式即可求得的最小值.【详解】(1)曲线的普通方程为,令,可得的极坐标方程为,曲线的普通方程为,令,可得的极坐标方程为.(2)联立与的极坐标方程得,联立与的极坐标方程得,则(当且仅当时取等号).所以的最小值为.【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的互化,基本不等式求最值的方法,极坐标方程的几何意义等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若正数,满足,求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】(1)由题意零点分段求解绝对值不等式即可;(2)由题意结合题中所给的式子的特点利用柯西不等式求解其最值即可.【详解】(1)化简得.当时,由,即,解得,又,所以;当时,由,即,解得,又,所以;当时,不满足,此时不等式无解;综上,不等式的解集为:.(2)由于,故,由柯西不等式:上式.当且仅当时,等号成立.所以的最小值为.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,柯西不等式求最值的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第 19 页 共 19 页