1、2023 年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，第 1 题至第 6 题每个空格填对得 4 分，第 7 题至第 12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分.1（4 分）已知集合 A 1 ， 2 ，B 1 ， a，且 AB，则 a = .2（4 分）已知向量（3 ，4），（1 ， 2），则2 = .3（4 分）若不等式|x1|2，则实数 x 的取值范围为 .4（4 分）已知圆 C 的一般方程为 x2+2x+y2 0，则圆 C 的半径为 .5（4 分）已知事件 A 发生的概率为 P（A）0.5，则它的对立事件发生的
2、概率 P ( )=.6（4 分）已知正实数 a、b 满足 a+4b 1，则 ab 的最大值为 .7（5 分）某校抽取 100 名学生测身高，其中身高最大值为 186cm，最小值为 154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图， 组距为 5，且第一组下限为 153.5，则组数为 .8（5 分）设（12x）4 a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 ，则 a0+a4 = .9（5 分）已知函数f（x）2x+1，且 g（x），则方程 g（x）=2 的解为 .10（5 分）已知有 4 名男生 6 名女生，现从 10 人中任选 3 人，则恰有 1 名男生 2 名女生的概率为 .11（5 分）设 z
3、1 ，z2 C 且 z1 i，满足|z11| 1，则|z1z2|的取值范围为 .12（5 分）已知空间向量 ， ，都是单位向量，且 , , 与的夹角为 60,若P 为空间任意一点，且| 1，满足| |，则的最大值为 .二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第 13 题至第 14 题选对得 4 分，第 15 题至第 16题选对得 5 分，否则一律得零分 .13（4 分）下列函数是偶函数的是( )Ay sinx By cosx Cyx3 Dy 2x14（4 分）根据下图判断，下列选项错误的是（ ）A 从 20
4、18 年开始后，图表中最后一年增长率最大B 从 2018 年开始后，进出口总额逐年增大C 从 2018 年开始后，进口总额逐年增大D 从 2018 年开始后，图表中 2020 年的增长率最小15（5 分）如图， P 是正方体 ABCDA1B1C1D1 边 A1C1 上的动点，下列哪条边与边 BP 始终异面（ ）1 1 1ADD BAC CAD D B C16（5 分）已知数列an的各项均为实数， Sn 为其前 n 项和，若对任意 k2022，都有|Sk|Sk+1|，则下列说法正确的是（ ）A a1 ， a3 ，a5 ， ， a2n 1 为等差数列， a2 ， a4 ， a6 ， ，a2n 为等
5、比数列 B a1 ， a3 ， a5 ， ， a2n 1 为等比数列， a2 ，a4 ， a6 ， ，a2n 为等差数列 C a1 ， a2 ， a3 ， ， a2022 为等差数列， a2022 ， a2023 ， ， an 为等比数列D a1 ， a2 ，a3 ， ， a2022 为等比数列， a2022 ，a2023 ， ， an 为等差数列三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17（14 分）已知三棱锥 PABC 中， PA平面 ABC，ABAC，PBAB 3 ，AC 4 ，M为 BC 中点，过点 M 分别作平行于
6、平面 PAB 的直线交 AC、PC 于点 E，F.（1）求直线 PM 与平面 ABC 所成角的大小；（2）证明： ME平面 PAB，并求直线 ME 到平面 PAB 的距离 .18（14 分）在ABC 中，角 A ，B ， C 对应边为 a ， b， c，其中 b 2 .（1）若 A+C120,且 a 2c，求边长 c；（2）若 AC15, a csinA，求ABC 的面积 SABC.19（14 分）为了节能环保，节约材料，定义建筑物的“体形系数”为 S，其中 F0 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米） ， V0为建筑物的体积（单位：立方米） .（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为 R，高
7、度为 H，求该建筑体的 S（用 R，H 表示）；（2）现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设 A 为底面面积， L 为建筑底面周长 已知f为正比例系数， L2 与 A 成正比，定义： f，建筑面积即为每一层的底面面积，总建 筑面积即为每层建筑面积之和，值为 T 已知该建筑体推导得出 S+ ，n 为层数，层高为 3 米，其中f18 ， T10000，试求当取第几层时，该建筑体 S 最小？20（18 分）已知椭圆： + 1（m0 ，m) .（1）若 m 2，求椭圆的离心率；（2）设 A1、A2 为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点 E 的纵坐标为 1，且 =2，求 m 的值；（3）存在过椭圆上一点 P、且
8、斜率为的直线 l，使得直线 l 与双曲线 = 1仅有一个公共点，求 m 的取值范围 .21（18 分）设函数 f（x）ax3 （a+1）x2+x ，g（x）kx+m，其中 a0 ，k、mR ，若 对任意 x0 ，1均有f（x）g（x），则称函数 yg（x）是函数yf（x）的“控制函数”，且对所有的函数 yg（x）取最小值定义为（x）.（1）若 a 2 ，g（x）x，试问 y g（x）是否为 yf（x）的“控制函数”；（2）若 a 0，使得直线 y h（x）是曲线 yf（x）在 x 处的切线，求证：函数y h （x）是为函数 yf（x）的“控制函数”，并求（ ）的值；（3）若曲线 yf（x）在
9、xx0（x0 （0 ， 1）处的切线过点（1 ， 0），且 cx0 ， 1，求证：当且仅当 cx0 或 c 1 时， （c）f（c）.2023 年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，第 1 题至第 6 题每个空格填对得 4 分，第 7 题至第 12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分.1 【解答】解：集合 A 1 ，2 ，B 1 ， a，且 A B，则a 2.故答案为： 2 .2 【解答】解：因为向量 （3 ，4），（1， 2），所以2（321 ，422）（1 ， 0）.故答案为： （1
10、， 0）.3 【解答】解：因为|x1|2，所以2x12，所以1x3，故答案为： 1 ， 3 .4 【解答】解：根据圆 C 的一般方程为 x2+2x+y2 0，可得圆 C 的标准方程为（x+1） 2+y2= 1，故圆 C 的圆心为（0，1），半径为 1，故答案为： 1 .5 【解答】解：由题意知 P（A）+P（）1，所以 P（ ）1P（A）0.5，故答案为： 0.5 .6 【解答】解：正实数 a、b 满足 a+4b 1，则 ab ，当 且仅当 a ，时等号成立 .故答案为： .7 【解答】解：极差为 186154 32，组距为 5，且第一组下限为 153.5， = 6.4，故组数为 7 组，故答
11、案为： 7 .8 【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a0+a4 17 .故答案为： 17 .9 【解答】解：当 x0 时， g（x）2log2 （x+1）2，解得 x 3；当 x0 时， g（x）f(x）2x+1 2，解得 x 0 （舍）；所以 g（x）2 的解为： x 3 .故答案为： x 3 .,10 【解答】解：从 10 人中任选 3 人的事件个数为 恰有 1 名男生 2 名女生的事件个数为，则恰有 1 名男生 2 名女生的概率为 ，故答案为： 0.5 .11 【解答】解：设 z11 cos+isin,则 z1 1+cos+isin ,因为 z1 i，所以 z2 sin+i（cos+
12、1），所以|z1z2| = = =,显然当 时，原式取最小值 0，当 = 1 时，原式取最大值 2，故|z1z2|的取值范围为0， .故答案为： 0， ., ,12 【解答】解：由题知,且 x， y， z0， x2+y2+z2 1，,可得,解得 ，再设, zy，代入已知的不等式得所以故y .故答案为： .二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第 13 题至第 14 题选对得 4 分，第 15 题至第 16题选对得 5 分，否则一律得零分 .13 【解答】解：对于 A，由正弦函数的性质可知， y sinx
13、为奇函数；对于 B，由正弦函数的性质可知， y cosx 为偶函数；对于 C，由幂函数的性质可知， yx3 为奇函数；对于 D，由指数函数的性质可知， y 2x 为非奇非偶函数 .故选： B .14 【解答】解：显然 2021 年相对于 2020 年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大， A 对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故 B 对；2020 年相对于 2019 的进口总额是减少的，故 C 错；显然进出口总额 2021 年的增长率最大，而 2020 年相对于 2019 年的增量比 2019 年相对 于 2018 年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故 2020 年
14、的增长率最小， D 对 .故选： C.15 【解答】解：对于 A，当 P 是 A1C1 的中点时， BP 与 DD1 是相交直线；对于 B，根据异面直线的定义知， BP 与 AC 是异面直线；对于 C，当点 P 与 C1重合时， BP 与 AD1 是平行直线；对于 D，当点 P 与 C1重合时， BP 与 B1C 是相交直线 .故选： B .16 【解答】解：由对任意正整数 k2022，都有|Sk|Sk+1|，可以知道 a2022 ， a2033 ，a2024，, an 不可能为等差数列，因为若 d0 ，an 0，则|Sk| |Sk+1|，矛盾；若 d0 ，an0，当 n+, Sn , k 使
15、得|Sk+1|Sk|，矛盾；若 d0 ，an0，当 n+, Sn+,必有 k 使得|Sk+1|Sk|，矛盾；若 d0，当 n +, an+, Sn+必有 k 使得|Sk+1|Sk|，矛盾；若 d0，当 n +, an , Sn ,必有 k 使得|Sk+1|Sk|，矛盾；所以选项 B 中的 a2 ，a4 ， a6 ， ，a2n 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项 D 中的 a2022 ， a2023 ，a2024 ， ， an 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项 A 中的 a1 ，a3 ， a5 ， ，a2n1 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确； 事实上，只需取即可故选
16、： C三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17 【解答】解：（1）连接 AM，PM，PA平面 ABC，PMA 为直线 PM 与平面 ABC 所成的角，在PAM 中，ABAC，BC 5，M 为 BC 中点，AMBC，tanPMA ，即直线 PM 与平面 ABC 所成角为 arctan；（2）由 ME平面 PAB，MF平面 PAB，MEMFM，平面 MEF平面 PAB，ME平面 MEF，ME平面 PAB，PA平面 ABC，AC平面 ABC，PAAC，ABAC，PAABA ，PA，AB平面 PAB，AC平面 PAB，AE 为直线
17、 ME 到平面 PAB 的距离，ME平面 PAB，ME平面 ABC，平面 ABC平面 PABAB，MEAB，M 为 BC 中点，E 为 AC 中点，AE 2，直线 ME 到平面 PAB 的距离为 218 【解答】解：（1）因为 A+C120,且 a 2c，由正弦定理可得 sinA 2sinC2sin（120A）cosA+sinA，所以 cosA 0，由 A 为三角形内角可得 A 90, C30, B 60,因为 b 2，所以 c = ;（2）若 AC15, a csinA，由正弦定理得 sinA sinCsinA，由 A 为三角形内角可得 sinA0，所以 sinC= ,由题意可得 C 为锐角
18、，所以 C45, A 60, B 75 ,由正弦定理可得， = ,所以 a 3，.所以ABC 的面积 SABC absinC 319 【解答】解：（1）S= = = ;（2）由题意，建筑体 3n 米，底面面积 A = ,体积 V0 3nA 3T，由f 18，底面周长 L = ,F0L3n+A 3n+，“体形系数”S + + ，nN *，计算可得 n 6 时， S 最小20【解答】解：（1）若 m 2，则 a2 4 ，b2 3，a 2 ，c 1，e ；（2）由已知得 A1（m ， 0），A2（m ， 0），设 E（p ， 1），+ 1，即 p2 m2，（mp，1），（mp，1），（mp，1） （
19、mp，1）p2m2+1 2，p2 m2 ，代入求得 m 3；（3）设直线 y x+t，联立椭圆可得+ 1，整理得（3+3m2）x2+2tm2x+（t23）m2 0，由0，t2 3m2+3，联立双曲线可得 1，整理得（3m2）x2+2tx+（t25m2 ）0，由0 ， t2 5m215，5m2153m2+3，3m3，又 5m2150，m，m，综上所述： m（ ， 321 【解答】解：（1）f（x）2x33x2+x，设 h（x）f（x）g（x）2x33x2，h（x）6x26x 6x（x1），当 x0 ， 1时，易知 h（x）6x（x1）0，即 h（x）单调减，h（x）max h（0）0，即 f（x
20、）g（x）0f（x）g（x），g（x）是 f（x）的“控制函数“；（2） ，,f（x）h（x），即 y h（x）为函数 yf（x）的“控制函数“，又，且 ， ;证明： （3）f（x）ax3 （a+1） x2+x，f（x）3ax22（a+1）x+1，yf（x）在 xx0 （x0 （0， 1）处的切线为 t（x），t（x）f（x0）（xx0） +f（x0）， t（x0 ）f（x0）， t（1）0f（1）0， , , , )恒成立，函数 t（x）必是函数 yf（x）的“控制函数“，是函数 y=f（x）的“控制函数“，此时“控制函数“g（x）必与 yf（x）相切于 x 点， t（x）与 yf（x）在处相切，且过点（1， 0），在 之 间 的 点 不 可 能 使 得 y f （x ） 在 或 c 1，切线下方， 所以所以曲线 yf（x）在 xx0 （x0 （0， 1）处的切线过点（1， 0），且 cx0， 1，当且仅当 cx0 或 c 1 时， .
