1、2005年辽宁高考数学真题及答案本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B) 其中R表示球的半径如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数在复平面内，z所对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2极
2、限存在是函数在点处连续的（ ）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件3设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）ABCD4已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命 题：若； 若；若；若m、n是异面直线，其中真命题是（ ）A和B和C和D和5函数的反函数是（ ）ABCD6若，则的取值范围是（ ）ABCD7在R上定义运算若不等式对任意实数成立， 则（ ）ABCD8若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范 围是（ ）A（1，2）B（2，+）C3，+D（3，+
3、）9若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为（ ）A8或2B6或4C4或6D2或810已知是定义在R上的单调函数，实数， ，若，则（ ）ABCD11已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是（ ）A2+BCD2112一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）A B C D第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13的展开式中常数项是 .14如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .15用1、2、
4、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻， 5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）16是正实数，设是奇函数，若对每个实数，的元素不超过2个，且有使含2个元素，则的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知三棱锥PABC中，E、F分别是AC、AB的中点，ABC，PEF都是正三角形，PFAB. （）证明PC平面PAB； （）求二面角PABC的平面角的余弦值； （）若点P、A、B、C在一个表面积为12的 球面上，求ABC的边长.18（本小题满分12分）如图，在直径
5、为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中 （）将十字形的面积表示为的函数； （）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？19（本小题满分12分）已知函数设数列满足，数列满足 （）用数学归纳法证明； （）证明20（本小题满分12分）工序产品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8概率某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品. （）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A级的概率如表一所示，分别求生产 出
6、的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙； （）已知一件产品的利润如表二所示，用、等级产品一等二等甲5（万元）2.5（万元）乙2.5（万元）1.5（万元）利润 分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I）的条件下，求、的分布列及E、E； （）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.项目产品工人（名）资金（万元）甲88乙210 金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产用量 品的数量，在（II）的条件下，x、y为何 值时，最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示）21（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点
7、P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （）设为点P的横坐标，证明； （）求点T的轨迹C的方程； （）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.22（本小题满分12分）函数在区间（0，+）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数 （）用、表示m； （）证明：当； （）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数， 求b的取值范围及a与b所满足的关系.参考答案与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据
8、试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。13160
9、 14 15576 16三、解答题17本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.（）证明： 连结CF.4分（）解法一：为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则8分解法二：设P在平面ABC内的射影为O. 得PA=PB=PC. 于是O是ABC的中心. 为所求二面角的平面角.设AB=a，则 8分（）解法一：设PA=x，球半径为R. ，的边长为.12分解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.连结OA、AD，可知PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R.12分18本小题主要考查根据图形建立函数
10、关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分. （）解：设S为十字形的面积，则 4分（）解法一：其中8分 当最大.10分所以，当最大. S的最大值为12分解法二： 因为 所以8分令S=0，即可解得 10分所以，当时，S最大，S的最大值为 12分19本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分。 （）证明：当 因为a1=1，所以 2分下面用数学归纳法证明不等式 （1）当n=1时，b1=，不等式成立， （2）假设当n=k时，不等式成立，即那么 6分 所以，当n=k+1
11、时，不等也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任意nN*都成立。 8分（）证明：由（）知， 所以 10分 故对任意（12分）20（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12分.（）解：2分（）解：随机变量、的分别列是52.5P0.680.322.51.5P0.60.4 6分（）解：由题设知目标函数为 8分作出可行域（如图）：作直线 将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M点与原点距离最大，此时 10分取最大值. 解方程组得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 .12分21
12、本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.（）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 3分证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即由，所以3分（）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是7分解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则因此 由得 将
13、代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是7分 （）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，由，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得 上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，记，由知，所以14分22本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （）解：2分 （）证明：令 因为递减，所以递增，因此，当； 当.所以是唯一的极值点
14、，且是极小值点，可知的最小值为0，因此即6分 （）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为于是的充要条件是10分综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得 因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系.12分（）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 8分令，于是对任意成立的充要条件是 由当时当时，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即10分综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系.12分
