1、.2014年上海高考理科数学真题及答案一、填空题（共14题，满分56分）1（4分）（2014上海）函数y=12cos2（2x）的最小正周期是_2（4分）（2014上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=_3（4分）（2014上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_4（4分）（2014上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_5（4分）（2014上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_6（4分）（2014上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_（结果用反三角函数值表示）7（4分）（201
2、4上海）已知曲线C的极坐标方程为（3cos4sin）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是_8（4分）（2014上海）设无穷等比数列an的公比为q，若a1=（a3+a4+an），则q=_9（4分）（2014上海）若f（x）=，则满足f（x）0的x的取值范围是_10（4分）（2014上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_（结果用最简分数表示）11（4分）（2014上海）已知互异的复数a，b满足ab0，集合a，b=a2，b2，则a+b=_12（4分）（2014上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间0，2上恰有三
3、个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=_13（4分）（2014上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量表示小白玩该游戏的得分，若E（）=4.2，则小白得5分的概率至少为_14（4分）（2014上海）已知曲线C：x=，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为_二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15（5分）（2014上海）设a，bR，则“a+b4”是“a2且b2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件16（5分）（2014上海）如图，四个棱长为1的正方体排成
4、一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，8）是上底面上其余的八个点，则（i=1，2，8）的不同值的个数为（）A1B2C3D417（5分）（2014上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A无论k，P1，P2如何，总是无解B无论k，P1，P2如何，总有唯一解C存在k，P1，P2，使之恰有两解D存在k，P1，P2，使之有无穷多解18（5分）（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A1，2B1，0C1，2D0，2三、解答题（共5题，满分72分）19（12分）（20
5、14上海）底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V20（14分）（2014上海）设常数a0，函数f（x）=（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由21（14分）（2014上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有
6、偏差，现在实测得=38.12，=18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）22（16分）（2014上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线（1）求证：点A（1，2），B（1，0）被直线x+y1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x24y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲
7、线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线23（16分）（2014上海）已知数列an满足anan+13an，nN*，a1=1（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设an是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+an，若SnSn+13Sn，nN*，求q的取值范围（3）若a1，a2，ak成等差数列，且a1+a2+ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，ak的公差2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1（4分）（2014上海）函数y=12cos2（2x）的最小正周期是考点：二倍角的余
8、弦；三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期解答：解：y=12cos2（2x）=2cos2（2x）1=cos4x，函数的最小正周期为T=故答案为：点评：本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题2（4分）（2014上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=6考点：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可解答：解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=（1+2i）（12i）+1=14i2+1=2+4=6故答案为：6点评：本题
9、考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查3（4分）（2014上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=2考点：椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题设中的条件y2=2px（p0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故p=4，抛物线的准线方程为x=2故答案为：x=2点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲
10、线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题4（4分）（2014上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（，2考点：分段函数的应用；真题集萃菁优网版权所有专题：分类讨论；函数的性质及应用分析：可对a进行讨论，当a2时，当a=2时，当a2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围解答：解：当a2时，f（2）=24，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a2时，f（2）=22=4，符合题意；a2，故答案为：（，2点评：本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题5（4分）（2014上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为
11、2考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得解答：解：xy=1，y=x2+2y2=x2+2=2，当且仅当x2=，即x=时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题6（4分）（2014上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角解答：解：设圆锥母线与轴所成角
12、为，圆锥的侧面积是底面积的3倍，=3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cos=，=arccos，故答案为：arccos点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键7（4分）（2014上海）已知曲线C的极坐标方程为（3cos4sin）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是考点：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：计算题；坐标系和参数方程分析：由题意，=0，可得C与极轴的交点到极点的距离解答：解：由题意，=0，可得（3cos04sin0）=1，C与极轴的交点到极点的距离是=故答案为：点评：正确理解C与极轴的交点到极点的
13、距离是解题的关键8（4分）（2014上海）设无穷等比数列an的公比为q，若a1=（a3+a4+an），则q=考点：极限及其运算菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值解答：解：无穷等比数列an的公比为q，a1=（a3+a4+an）=（a1a1q）=，q2+q1=0，解得q=或q=（舍）故答案为：点评：本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用9（4分）（2014上海）若f（x）=，则满足f（x）0的x的取值范围是（0，1）考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：直接
14、利用已知条件转化不等式求解即可解答：解：f（x）=，若满足f（x）0，即，y=是增函数，的解集为：（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力10（4分）（2014上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题：概率与统计分析：要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案解答：解：在未
15、来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：点评：本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题11（4分）（2014上海）已知互异的复数a，b满足ab0，集合a，b=a2，b2，则a+b=1考点：集合的相等菁优网版权所有专题：集合分析：根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论解答：解：根据集合相等的条件可知，若a，b=a2，b2，则 或 ，由得，ab0，a0且b0，即a=1，b=1，此时集合1，1不满足条件若b=a2，a=b2，则两式相减得a2b2=ba，互异的复数a，b，ba0，即a+b=1，故答案为：1点
16、评：本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论12（4分）（2014上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间0，2上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在0，2上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可解答：解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解
17、即为直线与三角函数图象的交点，在0，2上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）=，x+=2k+，即x=2k，或x+=2k+，即x=2k+，此时x1=0，x2=，x3=2，x1+x2+x3=0+2=故答案为：点评：本题主要考查了三角函数图象与性质运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题13（4分）（2014上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量表示小白玩该游戏的得分，若E（）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2考点：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有专题：概率与统计分析：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1x，由此能求出结果解答：解
18、：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1x，某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量表示小白玩该游戏的得分，E（）=4.2，4（1x）+5x=4.2，解得x=0.2故答案为：0.2点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用14（4分）（2014上海）已知曲线C：x=，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为2，3考点：直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题：直线与圆分析：通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可解答：解：曲线C：x=
19、，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP2，0，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，m=2，3故答案为：2，3点评：本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15（5分）（2014上海）设a，bR，则“a+b4”是“a2且b2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题：简易逻辑分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定解答：
20、解：当a=5，b=0时，满足a+b4，但a2且b2不成立，即充分性不成立，若a2且b2，则必有a+b4，即必要性成立，故“a+b4”是“a2且b2”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础16（5分）（2014上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，8）是上底面上其余的八个点，则（i=1，2，8）的不同值的个数为（）A1B2C3D4考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：计算题；平面向量及应用分析：建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案解答：解：如图建立空间直角坐标
21、系，则A（2，0，0），B（2，0，1），P1（1，0，1），P2（0，0，1），P3（2，1，1），P4（1，1，1），P5（0，1，1），P6（2，2，1），P7（1，2，1），P8（0，2，1），=（1，0，1），=（2，0，1），=（0，1，1），=（1，1，1），=（2，1，1），=（0，2，1），=（1，2，1），=（2，2，1），易得=1（i=1，2，8），（i=1，2，8）的不同值的个数为1，故选A点评：本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段17（5分）（2014上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（
22、k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A无论k，P1，P2如何，总是无解B无论k，P1，P2如何，总有唯一解C存在k，P1，P2，使之恰有两解D存在k，P1，P2，使之有无穷多解考点：一次函数的性质与图象菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；直线与圆分析：判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可解答：解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，k=，即a1a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，a2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a
23、2a1=a2a1，b2b1得：（a2b1a1b2）x=b2b1，即（a2a1）x=b2b1方程组有唯一解故选：B点评：本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用18（5分）（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A1，2B1，0C1，2D0，2考点：分段函数的应用菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，解不等式：a2a20，得1a2，问题解决解答：解；当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，f（0）=a2，由题意得：a2x+a2+a，解不等式：a2a20，
24、得1a2，0a2，故选：D点评：本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题三、解答题（共5题，满分72分）19（12分）（2014上海）底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V考点：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：利用侧面展开图三点共线，判断P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积解答：解：根据题意可得：P1，B，P2共线，ABP1=BAP1=CBP2，ABC=60，ABP1=BAP1=CBP2=60，P1=60，同理P2
25、=P3=60，P1P2P3是等边三角形，PABC是正四面体，P1P2P3的边长为4，VPABC=点评：本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法20（14分）（2014上海）设常数a0，函数f（x）=（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由考点：反函数；函数奇偶性的判断菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决解答：解：（1）a=4，调换x，y的位置可得，x（，1）（1，
26、+）（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（x）对任意x均成立，=，整理可得a（2x2x）=02x2x不恒为0，a=0，此时f（x）=1，xR，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=f（x）对任意x均成立，=，整理可得a21=0，a=1，a0，a=1，此时f（x）=，满足条件；综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数点评：本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题21（14分）（2014上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰
27、角分别为和（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得=38.12，=18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：解三角形分析：（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论解答：解：（1）设CD的长为x米，则tan=，tan=，0，tantan2，tan，即=，解得028.28，即CD的长至多为28.28米（2）设DB=a，DA=b，CD=m，则ADB=180=123.43，由正弦定理得，即
28、a=，m=26.93，答：CD的长为26.93米点评：本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键22（16分）（2014上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线（1）求证：点A（1，2），B（1，0）被直线x+y1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x24y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（
29、0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线考点：直线的一般式方程；真题集萃菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆分析：（1）把A、B两点的坐标代入=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据0，得出结论（2）联立直线y=kx与曲线x24y2=1可得 （14k2）x2=1，根据此方程无解，可得14k20，从而求得k的范围（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为x2+（y2）2x2=1 由于y轴为x=0，显然与方程联立无解把P1、P2的坐标代入x=0，由=1（1）=10，可得x=0是一条分隔线解答：（1）证明：把
30、点（1，2）、（1，0）分别代入x+y1 可得（1+21）（11）=40，点（1，2）、（1，0）被直线 x+y1=0分隔（2）解：联立直线y=kx与曲线x24y2=1可得 （14k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 14k20，k，或 k（3）证明：设点M（x，y），则 |x|=1，故曲线E的方程为x2+（y2）2x2=1 y轴为x=0，显然与方程联立无解又P1（1，2）、P2（1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有 =1（1）=10，故x=0是一条分隔线若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入x2+（y2）2x2=1，可得x2+（kx2）2x2=1，令f（x）=x2+（kx2）2
31、x21，f（0）f（2）0，f（x）=0有实数解，即y=kx与E有公共点，y=kx不是E的分隔线通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线点评：本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题23（16分）（2014上海）已知数列an满足anan+13an，nN*，a1=1（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设an是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+an，若SnSn+13Sn，nN*，求q的取值范围（3）若a1，a2，ak成等差数列，且a1+a2+ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，ak的公差考点：等比数列的性
32、质；数列的求和菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式SnSn+13Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，ak的公差解答：解：（1）依题意：，；又3x27，综上可得：3x6（2）由已知得，当q=1时，Sn=n，SnSn+13Sn，即，成立当1q3时，SnSn+13Sn，即，不等式q1，故3qn+1qn2=qn（3q1）22qn20对于不等式qn+13qn+20，令n=1，得q23q+20，解得1q2
33、，又当1q2，q30，qn+13qn+2=qn（q3）+2q（q3）+2=（q1）（q2）0成立，1q2，当时，SnSn+13Sn，即，此不等式即，3q10，q30，3qn+1qn2=qn（3q1）22qn20，qn+13qn+2=qn（q3）+2q（q3）+2=（q1）（q2）0时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：（3）设a1，a2，ak的公差为d由，且a1=1，得即当n=1时，d2；当n=2，3，k1时，由，得d，所以d，所以1000=k，即k22000k+10000，得k1999所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，ak的公差为点评：本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题;.
