1、2014年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1. i是虚数单位，复数7+i3+4i=( ) A.1iB.1+iC.1725+3125iD.177+257i2. 设变量x，y满足约束条件x+y20xy20y1，则目标函数z=x+2y的最小值为（ ） A.2B.3C.4D.53. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ） A.15B.105C.245D.9454. 函数fx=log12x24的单调递增区间为( ) A.0,+B.,0C.2,+D.,25. 已知双曲线x2a2y2b2=1a0,b0的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线
2、l上，则双曲线的方程为( ) A.x25y220=1B.x220y25=1C.3x2253y2100=1D.3x21003y225=16. 如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正确结论的序号是（ ） A.B.C.D.7. 设a，bR，则“ab”是“aabb”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8. 已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E，F分别在边BC，DC上，
3、BE=BC，DF=DC，若AEAF=1，CECF=23，则+=( ) A.12B.712C.23D.56二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）1. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取_名学生 2. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_m3 3. 设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_ 4. 在ABC中，内角A
4、，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bc=14a，2sinB3sinC，则cosA的值为_ 5. 在以O为极点的极坐标系中，圆=4sin和直线sin=a相交于A、B两点，若AOB是等边三角形，则a的值为_ 6. 已知函数fxx2+3x，xR，若方程fxax10恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_ 三、解答题（共6小题，共80分）1. 已知函数fx=cosxsinx+33cos2x+34，xR 1求fx的最小正周期； 2求fx在闭区间4,4上的最大值和最小值2. 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的
5、七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）()求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；()设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望 3. 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，AB/DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点 1证明：BEDC； 2求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； 3若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值4. 设椭圆x2a2+y2b2=1ab0的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知AB=32F1F2 1求椭圆的离心率；
6、 2设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率5. 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M0,1,2,.,q1，集合Ax|xx1+x2q+.+xnqn1,xiM,i1,2,.n()当q2，n3时，用列举法表示集合A；()设s，tA，sa1+a2q+.+anqn1，tb1+b2q+.+bnqn1，其中ai，biM，i1，2，n证明：若anbn，则st 6. 设fxxaexaR，xR，已知函数yfx有两个零点x1，x2，且x10，求得函数fx的定义域为,22,+，且函数fx=gt=log12t根据复合函数的单调性，本题即求函数t
7、在,22,+上的减区间再利用二次函数的性质可得，函数t在,22,+上的减区间【解答】解：令t=x240，可得x2或x0,b0的一条渐近线平行于直线l:y2x+10，可得ba=2，结合c2a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程【解答】解： 双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=5，即焦点坐标为5,0， c=5. 双曲线x2a2y2b2=1a0,b0的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10， ba=2. c2=a2+b2， a2=5，b2=20， 双曲线的方程为x25y220=1故选A.6.【答案】D【考点】与圆有关的比例线段命题的真假判断与应用【解析】本题利用角与弧的关系，得到角相
8、等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项【解答】解： 圆周角DBC对应劣弧CD，圆周角DAC对应劣弧CD， DBC=DAC 弦切角FBD对应劣弧BD，圆周角BAD对应劣弧BD， FBD=BAF AD是BAC的平分线， BAF=DAC DBC=FBD即BD平分CBF即结论正确又由FBD=FAB，BFD=AFB，得FBDFAB由FBFA=FDFB，FB2=FDFA即结论成立由BFAF=BDAB，得AFBD=ABBF即结论成立正确结论有故答案为D7.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论
9、【解答】解：若ab，ab0，不等式aabb等价为aabb，此时成立；0ab，不等式aabb等价为aabb，即a2b，不等式aabb等价为aabb，即a2b2，此时成立，即充分性成立若aabb，当a0，b0时，aabb去掉绝对值得，aabb，即ab成立；当a0，bb成立；当a0，bbb去掉绝对值得，aabb，即a2b成立.综上“ab”是“aabb”的充要条件.故选C.8.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由AEAF=1，求得4+423；再由CECF=23，求得+=23结合求得+的值【解答】解：由题意可得：AEA
10、F=AB+BEAD+DF=ABAD+ABDF+BEAD+BEDF=22cos120+ABAB+ADAD+ADAB=2+4+4+22cos120=4+422=1， 4+42=3；CECF=ECFC=ECFC=1BC1DC=1AD1AB=1122cos120=1+2=23，即+=23；由求得+=56.故选D.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）1.【答案】60【考点】分层抽样方法【解析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求【解答】解：一年级本科生人数所占的比例为44+5+5+6=15，故应从一年级本科生中抽取的学生数为30015=60.故答案为：6
11、0.2.【答案】203【考点】由三视图求体积【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4， 几何体的体积V=124+13222=4+83=203故答案为：2033.【答案】12【考点】等比数列的性质【解析】由条件求得，Sn=n2a1+1n2，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得S22=S1S4，由此求得a1的值【解答】由题意可得，ana1+n11a1+1n，Sn=n(a1+an)2=n2a1+1n2，再根据若S1，S2，S4成等比数列
12、，可得S22=S1S4，即2a112=a14a16，解得a1=12，4.【答案】14【考点】余弦定理正弦定理【解析】由条件利用正弦定理求得a2c，b=3c2，再由余弦定理求得cosA=b2+c2a22bc的值【解答】在ABC中， bc=14a，2sinB3sinC， 2b3c， 由可得a2c，b=3c2再由余弦定理可得cosA=b2+c2a22bc=9c24+c24c23cc=14，5.【答案】3【考点】圆的极坐标方程【解析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+y22=4，可得a的值【解答】解：直线sin=a即y=a，a0，曲线=4sin，即2=4sin，即x2+y22=
13、4，表示以C0,2为圆心，以2为半径的圆， AOB是等边三角形， B33a,a，代入x2+y22=4，可得33a2+a22=4， a0， a=3故答案为：36.【答案】0,19,+【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由yfxax10得fxax1，作出函数yfx，yax1的图象利用数形结合即可得到结论【解答】由yfxax10得fxax1，作出函数yfx，ygxax1的图象，当a0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a0，此时gxax1=ax1x1ax1x1，当3x0时，fxx23x，gxax1，当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时x23xax1，即x2+3ax+a0，则由3a2
14、4a0，即a210a+90，解得a1或a9，当a9时，gx9x1，g09，此时不成立， 此时a1，要使两个函数有四个零点，则此时0a1，此时gxax1与fx，有两个交点，此时只需要当x1时，fxgx有两个不同的零点即可，即x2+3xax1，整理得x2+3ax+a0，则由3a24a0，即a210a+90，解得a9，综上a的取值范围是0,19,+，方法2：由fxax10得fxax1，若x1，则40不成立，故x1，则方程等价为a=fxx1=x2+3xx1=x12+5x1+4x1x1+4x1+5，设gxx1+4x1+5，当x1时，gxx1+4x1+52x14x1+5=4+5=9，当且仅当x1=4x1，
15、即x3时取等号，当x9或0a1，三、解答题（共6小题，共80分）1.【答案】解：1由题意得，fx=cosx12sinx+32cosx3cos2x+34=12sinxcosx32cos2x+34=14sin2x341+cos2x+34=14sin2x34cos2x=12sin2x3.所以，fx的最小正周期T=22=2由1得fx=12sin2x3，由x4,4得，2x2,2，则2x356,6， 当2x3=2时，即sin2x3=1时，函数fx取到最小值是：12，当2x3=6时，即sin2x3=12时，fx取到最大值是：14，所以，所求的最大值为14，最小值为12【考点】三角函数中的恒等变换应用三角函数
16、的周期性及其求法【解析】1根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式T=2求出此函数的最小正周期；2由1化简的函数解析式和条件中x的范围，求出2x3的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值【解答】解：1由题意得，fx=cosx12sinx+32cosx3cos2x+34=12sinxcosx32cos2x+34=14sin2x341+cos2x+34=14sin2x34cos2x=12sin2x3.所以，fx的最小正周期T=22=2由1得fx=12sin2x3，由x4,4得，2x2,2，则2x356,6， 当2x3=2时，即sin2x3=1
17、时，函数fx取到最小值是：12，当2x3=6时，即sin2x3=12时，fx取到最大值是：14，所以，所求的最大值为14，最小值为122.【答案】出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，PX=k=C4kC63kC103(k0,1,2,3)所以随机变量X的分布列是X0123P1612310130随机变量X的数学期望EX=016+112+2310+3130=65【考点】古典概型及其概率计算公式离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】()利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型
18、概率公式求出值；()随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，PX=k=C4kC63kC103(k0,1,2,3)列出随机变量X的分布列求出期望值【解答】（1）设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则PA=C31C72+C30C73C103=4960，3.【答案】证明：1 PA底面ABCD，ADAB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点 B1,0,0，C2,2,0，D0,2,0，P0,0,2，E1,1,1 BE=0,1,1，DC=2,0,0 BEDC=0， BEDC；2 BD=1,2,0，PB=1,0,2，设平面PBD的法向
19、量m=x,y,z，由mPB=0，mBD=0得x+2y=0x2z=0，令y=1，则m=2,1,1，则直线BE与平面PBD所成角满足：sin=mBEmBE=262=33，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为333 BC=1,2,0，CP=2,2,2，AC=2,2,0，由F点在棱PC上，设CF=CP=2,2,201，故BF=BC+CF=12,22,201，由BFAC，得BFAC=212+222=0，解得=34，即BF=12,12,32，设平面FBA的法向量为n=a,b,c，由nBF=0nAB=0，得a=012a+12b+32c=0令c=1，则n=0,3,1，取平面ABP的法向量i=0,1,0，则二
20、面角FABP的平面角满足：cos=inin=310=31010，故二面角FABP的余弦值为：31010.【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面所成的角用向量证明垂直【解析】（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据BEDC=0，可得BEDC；（2）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）根据BFAC，求出向量BF的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角FABP的余弦值【解答】证明：1 PA底面ABCD，ADAB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
21、AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点 B1,0,0，C2,2,0，D0,2,0，P0,0,2，E1,1,1 BE=0,1,1，DC=2,0,0 BEDC=0， BEDC；2 BD=1,2,0，PB=1,0,2，设平面PBD的法向量m=x,y,z，由mPB=0，mBD=0得x+2y=0x2z=0，令y=1，则m=2,1,1，则直线BE与平面PBD所成角满足：sin=mBEmBE=262=33，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为333 BC=1,2,0，CP=2,2,2，AC=2,2,0，由F点在棱PC上，设CF=CP=2,2,201，故BF=BC+CF=12,22,201，由B
22、FAC，得BFAC=212+222=0，解得=34，即BF=12,12,32，设平面FBA的法向量为n=a,b,c，由nBF=0nAB=0，得a=012a+12b+32c=0令c=1，则n=0,3,1，取平面ABP的法向量i=0,1,0，则二面角FABP的平面角满足：cos=inin=310=31010，故二面角FABP的余弦值为：31010.4.【答案】解：1设椭圆的右焦点为F2c,0，由AB=32F1F2，可得a2+b2=322c，化为a2+b2=3c2又b2=a2c2， a2=2c2 e=ca=222由1可得b2=c2因此椭圆方程为x22c2+y2c2=1画简图如图所示，设Px0,y0，
23、由F1c,0，B0,c，可得F1P=x0+c,y0，F1B=c,c F1BF1P， F1BF1P=cx0+c+cy0=0， x0+y0+c=0， 点P在椭圆上， x022c2+y02c2=1联立x0+y0+c=0，x02+2y02=2c2，化为3x02+4cx0=0， x00， x0=43c.代入x0+y0+c=0，可得y0=c3， P43c,c3设圆心为Tx1,y1，则x1=43c+02=23c，y1=c3+c2=23c， T23c,23c， 圆的半径r=23c2+23cc2=53c设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx 直线l与圆相切， 23ck23c1+k2=53c，整理得k28
24、k+1=0，解得k=415 直线l的斜率为415【考点】圆与圆锥曲线的综合问题椭圆的离心率椭圆的标准方程数量积判断两个平面向量的垂直关系直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】()设椭圆的右焦点为F2c,0，由AB=32F1F2可得a2+b2=322c，再利用b2a2c2，e=ca即可得出()由()可得b2c2可设椭圆方程为x22c2+y2c2=1，设Px0,y0，由F1c,0，B0,c，可得F1P，F1B利用圆的性质可得F1BF1P，于是F1BF1P=0，得到x0+y0+c0，由于点P在椭圆上，可得x022c2+y02c2=1联立可得3x02+4cx0=0，解得P43c,c3设圆心为Tx
25、1,y1，利用中点坐标公式可得T23c,23c，利用两点间的距离公式可得圆的半径r设直线l的方程为：ykx利用直线与圆相切的性质即可得出【解答】解：1设椭圆的右焦点为F2c,0，由AB=32F1F2，可得a2+b2=322c，化为a2+b2=3c2又b2=a2c2， a2=2c2 e=ca=222由1可得b2=c2因此椭圆方程为x22c2+y2c2=1画简图如图所示，设Px0,y0，由F1c,0，B0,c，可得F1P=x0+c,y0，F1B=c,c F1BF1P， F1BF1P=cx0+c+cy0=0， x0+y0+c=0， 点P在椭圆上， x022c2+y02c2=1联立x0+y0+c=0，
26、x02+2y02=2c2，化为3x02+4cx0=0， x00， x0=43c.代入x0+y0+c=0，可得y0=c3， P43c,c3设圆心为Tx1,y1，则x1=43c+02=23c，y1=c3+c2=23c， T23c,23c， 圆的半径r=23c2+23cc2=53c设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx 直线l与圆相切， 23ck23c1+k2=53c，整理得k28k+1=0，解得k=415 直线l的斜率为4155.【答案】（1）当q2，n3时，M0,1，Ax|xx1+x22+x322,xiM,i1,2,3可得A0,1,2,3,4,5,6,7（2）证明：由设s，tA，sa1+
27、a2q+.+anqn1，tb1+b2q+.+bnqn1，其中ai，biM，i1，2，nanbn， sta1b1+a2b2q+.+an1bn1qn2+anbnqn1q1+q1q+.+q1qn2qn1q11+q+.+qn2qn1=q11qn11qqn110 st【考点】数列与不等式的综合数列的求和【解析】()当q2，n3时，M0,1，Ax|xx1+x22+x322,xiM,i1,2,3即可得到集合A()由于ai，biM，i1，2，nanbn，可得anbn1由题意可得sta1b1+a2b2q+.+an1bn1qn2+anbnqn1q1+q1q+.+q1qn2qn1再利用等比数列的前n项和公式即可得出
28、【解答】（1）当q2，n3时，M0,1，Ax|xx1+x22+x322,xiM,i1,2,3可得A0,1,2,3,4,5,6,7（2）证明：由设s，tA，sa1+a2q+.+anqn1，tb1+b2q+.+bnqn1，其中ai，biM，i1，2，nanbn， sta1b1+a2b2q+.+an1bn1qn2+anbnqn1q1+q1q+.+q1qn2qn1q11+q+.+qn2qn1=q11qn11qqn110 s0在R上恒成立， fx在R上是增函数，不合题意；a0时，由fx0，得xlna，当x变化时，fx、fx的变化情况如下表：x,lnalnalna,+fx+0-fx递增极大值lna1递减
29、fx的单调增区间是,lna，减区间是lna,+； 函数yfx有两个零点等价于如下条件同时成立：flna0；存在s1,lna，满足fs10；存在s2lna,+，满足fs20，即lna10，解得0ae1；取s10，满足s1,lna，且fs1a0，取s2=2a+ln2a，满足s2lna,+，且fs22ae2a+ln2ae2aa2，gX1gX2a1，其中0X11X2；gY1gY2a2，其中0Y11a2，得gXigYi，可得X1Y1；类似可得X20，得X2X1Y2X11， x2x1=lntx2=x1t，解得x1=lntt1，x2=tlntt1， x1+x2=t+1lntt1；令hx=x+1lnxx1，x
30、1,+，则hx=21nx+x1xx12；令ux2lnx+x1x，得ux=x1x2，当x1,+时，ux0， ux在1,+上是增函数， 对任意的x1,+，uxu10， hx0， hx在1,+上是增函数； 由得x1+x2随着t的增大而增大由()知，t随着a的减小而增大， x1+x2随着a的减小而增大【考点】利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】()对fx求导，讨论fx的正负以及对应fx的单调性，得出函数yfx有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；()由fx0，得a=xex，设gx=xex，判定gx的单调性即得证；()由于x1aex1，x2aex2，则x2x1lnx2lnx1lnx2
31、x1，令x2x1=t，整理得到x1+x2=t+1lntt1，令hx=x+1lnxx1，x1,+，得到hx在1,+上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大再由()知，t随着a的减小而增大，即得证【解答】（1） fxxaex， fx1aex；下面分两种情况讨论：a0时，fx0在R上恒成立， fx在R上是增函数，不合题意；a0时，由fx0，得xlna，当x变化时，fx、fx的变化情况如下表：x,lnalnalna,+fx+0-fx递增极大值lna1递减 fx的单调增区间是,lna，减区间是lna,+； 函数yfx有两个零点等价于如下条件同时成立：flna0；存在s1,lna，满足fs10；存在
32、s2lna,+，满足fs20，即lna10，解得0ae1；取s10，满足s1,lna，且fs1a0，取s2=2a+ln2a，满足s2lna,+，且fs22ae2a+ln2ae2aa2，gX1gX2a1，其中0X11X2；gY1gY2a2，其中0Y11a2，得gXigYi，可得X1Y1；类似可得X20，得X2X1Y2X11， x2x1=lntx2=x1t，解得x1=lntt1，x2=tlntt1， x1+x2=t+1lntt1；令hx=x+1lnxx1，x1,+，则hx=21nx+x1xx12；令ux2lnx+x1x，得ux=x1x2，当x1,+时，ux0， ux在1,+上是增函数， 对任意的x1,+，uxu10， hx0， hx在1,+上是增函数； 由得x1+x2随着t的增大而增大由()知，t随着a的减小而增大， x1+x2随着a的减小而增大
