1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题。参考公式：如果事件、互斥，那么.如果事件、相互独立，那么.圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高.棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合， ， ，则A. 2B. 2，3C. -1，2，3D. 1，2，3，4【答案】D【解析】【分析】先求，再求。【详解】因为，所以.故选D。【点睛】集合的运算问题
2、，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】画出可行域，用截距模型求最值。【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值。由，得，所以。故选C。【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围即：
3、一画，二移，三求3.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知 推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B。【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为A. 5B. 8C. 24D. 29【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果。【详解】，结束循环，故输出。故选B。【点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断
4、什么时候终止循环体5.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，。故选D。【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度。6.已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等中间值区分各个数值的大小。【详解】，故，所以。故选A。【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较。7.已知函数
5、是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出值即可。【详解】因为为奇函数，；又，又，故选C。【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数。8.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立。【详解】，即，（1）当时，当时，故当时，在上恒成立；若上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以。当时，在上
6、恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C。【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析。第卷二.填空题：本大题共6小题.9.是虚数单位，则的值为_.【答案】【解析】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。【详解】。【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.10.是展开式中的常数项为_.【答案】【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项。【详解】，由，得，所以的常数项为.【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的。11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底
7、面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_.【答案】.【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。【详解】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，故圆柱的高为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为。【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。12.设，直线和圆（为参数）相切，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出满足的
8、方程，解之解得。【详解】圆化为普通方程为，圆心坐标为，圆的半径为，由直线与圆相切，则有，解得。【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。13.设，则的最小值为_.【答案】【解析】分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值。【详解】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为。【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。14. 在四边形中， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则_.【答案】.【解析】【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，。因为，所以，因为，所以，所以直线的斜率
9、为，其方程为，直线的斜率为，其方程为。由得，所以。所以【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在中，内角所对的边分别为.已知，.（）求值；（）求的值. 【答案】() ；() .【解析】【分析】()由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值()利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.【详解】()在中，由正弦定理得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得.()由()可得，从而，.故.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦
10、公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.【答案】（）见解析；（）【解析】【分析】()由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；()由题意结合独立事件概
11、率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】()因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，故，从面.所以，随机变量的分布列为：0123随机变量的数学期望.()设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.且.由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由()知：.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.17.如图，平面，.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值为，求线段的长.【答案】（）见证明；（）（）【解析】【分析
12、】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系()利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；()分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；()首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得.设，则.()依题意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面. ()依题意，设为平面BDE的法向量，则，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.()设为平面
13、BDF的法向量，则，即.不妨令y=1，可得.由题意，有，解得.经检验，符合题意所以，线段的长为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.18.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（）求椭圆的方程；（）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.【答案】（）（）或.【解析】【分析】()由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；()联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜
14、率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】() 设椭圆的半焦距为，依题意，又，可得，b=2，c=1.所以，椭圆方程为.()由题意，设.设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，整理得，可得，代入得，进而直线的斜率，在中，令，得.由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.所以，直线的斜率为或.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19.设是等差数列，是等比数列.已知.（）求和的通项公式；（）设
15、数列满足其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.【答案】（）；（）（i）（ii）【解析】【分析】()由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；()结合()中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.【详解】()设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得，解得，故，.所以，的通项公式为，的通项公式为.()(i).所以，数列的通项公式为.(ii).【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.20.设函数为的导函数.（）求的单调
16、区间；（）当时，证明；（）设为函数在区间内的零点，其中，证明.【答案】（）单调递增区间为的单调递减区间为.（）见证明；（）见证明【解析】【分析】()由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间；()构造函数，结合()结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论；()令，结合()，()的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.【详解】()由已知，有.当时，有，得，则单调递减;当时，有，得，则单调递增.所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为.()记.依题意及()有：，从而.当时，故.因此，在区间上单调递减，进而.所以，当时，.()依题意，即.记，则.且.由及()得.由()知，当时，所以在上为减函数，因此.又由()知，故：.所以.【点睛】本题主要考查导数的运算不等式证明运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力综合分析问题和解决问题的能力.
