1、2015年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知(1-i)2z=1+i（i为虚数单位），则复数z（ ） A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i2. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是( ) A.3B.4C.5D.63. 设xR，则“x1“是“x31”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 若变量x，y满足约束条件x+y1y-x1x1，则z2x-y的最小值为（ ）
2、A.-1B.0C.1D.25. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=( ) A.76B.37C.89D.496. 若双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4)，则此双曲线的离心率为（ ） A.73B.54C.45D.537. 若实数a，b满足1a+2b=ab，则ab的最小值为( ) A.2B.2C.22D.48. 设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，则f(x)是（ ） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数9. 已知A，B，C在圆x2+y2=1上
3、运动，且ABBC，若点P的坐标为(2,0)，则|PA+PB+PC|的最大值为（ ） A.6B.7C.8D.910. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ） A.89B.827C.24(2-1)3D.8(2-1)3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）1. 已知集合U1,2,3,4，A1,3，B1,3,4，则A(UB)_ 2. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为=2sn，则
4、曲线C的直角坐标方程为_ 3. 若直线3x-4y+50与圆x2+y2r2(r0)相交于A，B两点，且AOB120，（O为坐标原点），则r_ 4. 若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是_ 5. 已知0，在函数y=2sinx与y=2cosx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则=_ 三、解答题1. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖 (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果
5、；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由2. 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtanA()证明：sinBcosA；()若sinC-sinAcosB=34，且B为钝角，求A，B，C 3. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点. (1)证明：平面AEF平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥F-AEC的体积4. 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a22，an+23Sn-Sn+1+3，nN*，()证明an+23an；()求
6、Sn 5. 已知抛物线C1:x24y的焦点F也是椭圆C2:y2a2+x2b2=1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为26，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC与BD同向()求C2的方程；()若|AC|BD|，求直线l的斜率 6. 已知a0，函数f(x)aexcosx(x0,+)），记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点()证明：数列f(xn)是等比数列；()若对一切nN*，xn|f(xn)|恒成立，求a的取值范围 参考答案与试题解析2015年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1.【答案】D【解析】由条件利用两个复数
7、代数形式的乘除法法则，求得z的值【解答】 已知(1-i)2z=1+i（i为虚数单位）， z=(1-i)21+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-1-i，2.【答案】B【解析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为15，然后各层按照此比例抽取【解答】解：将35名运动员的成绩分成7组，如下：第一组(130,130,133,134,135)；第二组(136,136,138,138,138)；第三组(139,141,141,141,142)；第四组(142,142,143,143,144)；第五组(144,145,145,145,146)；第六组(146,14
8、7,148,150,151)；第七组(152,152,153,153,153).每组抽一人，成绩在139,151上的为第三、四、五、六组，故共有4人.故选B.3.【答案】C【解析】利用充要条件的判断方法判断选项即可【解答】因为xR，“x1“x31”，所以“x1“是“x31”的充要条件4.【答案】A【解析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】由约束条件x+y1y-x1x1作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立x+y=1y-x=1，解得A(0,1) z2x-y的最小值为20-1-(1)故选：A5.【答案】B【解析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框
9、的条件即可结束循环【解答】解：判断前i=1，n=3，S=0，第1次循环，S=113，i=2，第2次循环，S=113+135，i=3，第3次循环，S=113+135+157，i=4，此时，in，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=113+135+157=12(1-13+13-15+15-17)=37.故选B.6.【答案】D【解析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可【解答】双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4)，可得3b4a，即9(c2-a2)16a2，解得ca=537.【答案】C【解析】由1a+2b=ab，可判断a0，b0，然后
10、利用基础不等式1a+2b22ab即可求解ab的最小值【解答】解： 1a+2b=ab， a0，b0， 1a+2b22ab（当且仅当b2a时取等号）， ab22ab，解可得，ab22，即ab的最小值为22，故选C.8.【答案】A【解析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可【解答】解：函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，函数的定义域为(-1,1)，函数f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-ln(1+x)-ln(1-x)=-f(x)，所以函数是奇函数排除C，D，正确结果在A，B中，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f(0)=0；x=12时，f(1
11、2)=ln(1+12)-ln(1-12)=ln31，显然f(0)0)交于A、B两点，AOB120，则AOB为顶角为120的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x-4y+50的距离d=12r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案【解答】若直线3x-4y+50与圆x2+y2r2(r0)交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB120，则圆心(0,0)到直线3x-4y+50的距离drcos1202=12r，即532+42=12r，解得r2，4.【答案】(0,2)【解析】此题暂无解析【解答】解：由函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，可得方程|2x-2|=b有两个根，从而可得函数y=|
12、2x-2|函数y=b的图象有两个交点，如图，结合函数的图象可得，只有0b13故这种说法不正确【解析】()中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；()在()中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的【解答】解：(1)所有可能的摸出结果是：A1,a1，A1,a2，A1,b1，A1,b2，A2,a1，A2,a2，A2,b1，A2,b2，B,a1，B,a2，B,b1，B,b2.(2)不正确理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：A1,a1，A1,a2，A2,a1，A2,a2，共4种， 中奖
13、的概率为412=13，不中奖的概率为：1-13=2313故这种说法不正确2.【答案】（1）证明： abtanA ab=tanA， 由正弦定理：ab=sinAsinB，又tanA=sinAcosA， sinAsinB=sinAcosA， sinA0， sinBcosA得证（2） sinCsin-(A+B)sin(A+B)sinAcosB+cosAsinB， sinC-sinAcosBcosAsinB=34，由(1)sinBcosA， sin2B=34， 0B， sinB=32， B为钝角， B=23，又 cosAsinB=32， A=6， C-A-B=6，综上，AC=6，B=23【解析】()由正
14、弦定理及已知可得sinAsinB=sinAcosA，由sinA0，即可证明sinBcosA()由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC-sinAcosBcosAsinB=34，由(1)sinBcosA，可得sin2B=34，结合范围可求B，由sinBcosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C【解答】（1）证明： abtanA ab=tanA， 由正弦定理：ab=sinAsinB，又tanA=sinAcosA， sinAsinB=sinAcosA， sinA0， sinBcosA得证（2） sinCsin-(A+B)sin(A+B)sinAcosB+cosAsinB， sinC-sin
15、AcosBcosAsinB=34，由(1)sinBcosA， sin2B=34， 0B0，x0，则ex1，由f(x)0，可得cosxsinx，即tanx1，解得xk+4，k0，1，2，当k为奇数时，f(x)在k+4附近左负右正，当k为偶数时，f(x)在k+4附近左正右负故xk+4，k0，1，2，均为极值点，xn(n-1)+4=n-34，f(xn)aen-34cos(n-34)，f(xn+1)aen+4cos(n+4)，当n为偶数时，f(xn+1)-ef(xn)，当n为奇数时，f(xn+1)-ef(xn)，即有数列f(xn)是等比数列；（2）由于x1|f(x1)|，则422ae4，解得a24e-
16、4，下面证明8n4n+(3)当n1时，87显然成立，假设nk时，8k4k+3，当nk+1时，8k+188k8(4k+3)32k+244(k+1)+28k+204(k+1)+3，即有nk+1时，不等式成立综上可得8n4n+3(nN+)，由e8，当a24e-4时，由()可得|f(xn+1)|(-e)|n|f(x1)|8n|f(x1)|8nf(x1)(4n+3)x1xn+1，nN+，综上可得a24e-4成立【解析】()求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证；()由n1可得a的范围，运用数学归纳法证8n4n+3，当a24e-4时，验证得|f(xn+1)|xn+1，即可得到
17、a的范围【解答】（1）证明：函数f(x)aexcosx的导数为f(x)aex(cosx-sinx)，a0，x0，则ex1，由f(x)0，可得cosxsinx，即tanx1，解得xk+4，k0，1，2，当k为奇数时，f(x)在k+4附近左负右正，当k为偶数时，f(x)在k+4附近左正右负故xk+4，k0，1，2，均为极值点，xn(n-1)+4=n-34，f(xn)aen-34cos(n-34)，f(xn+1)aen+4cos(n+4)，当n为偶数时，f(xn+1)-ef(xn)，当n为奇数时，f(xn+1)-ef(xn)，即有数列f(xn)是等比数列；（2）由于x1|f(x1)|，则422ae4，解得a24e-4，下面证明8n4n+(3)当n1时，87显然成立，假设nk时，8k4k+3，当nk+1时，8k+188k8(4k+3)32k+244(k+1)+28k+204(k+1)+3，即有nk+1时，不等式成立综上可得8n4n+3(nN+)，由e8，当a24e-4时，由()可得|f(xn+1)|(-e)|n|f(x1)|8n|f(x1)|8nf(x1)(4n+3)x1xn+1，nN+，综上可得a24e-4成立
