1、2011年福建高考理科数学真题及答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）i是虚数单位，若集合S=1，0，1，则（）AiSBi2SCi3SD【解答】解：S=1.0.1，iS，故A错误；i2=1S，故B正确；i3=iS，故C错误；S，故D错误；故选B2（5分）若aR，则a=2是（a1）（a2）=0的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：当a=2时，（a1）（a2）=0成立故a=2（a1）（a2）=0为真命题而当（a1）（a2）=0，a=1或a=2，即a=2不一定成立故（a1）（a2）=0a=2为假命题故a=2是（a1）（a2）=0的充
2、分不必要条件故选A3（5分）若tan=3，则的值等于（）A2B3C4D6【解答】解：=2tan=6故选D4（5分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（）ABCD【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=故选C5（5分）（ex+2x）dx等于（）A1Be1CeDe2+1【解答】解：（ex+2x）dx=（ex+x2）|01=e+11=e故选C6（5分）（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于（）A80B12C20D10【解答】解：展开式的通项为Tr+1=2rC3rxr令r=2的展开式中x2的系数等于22C
3、32=12故选B7（5分）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）AB或2C2D【解答】解：依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t则e=，若曲线为双曲线则，2a=4t2t=2t，a=t，c=te=故选A8（5分）已知O是坐标原点，点A（1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（）A1，0B0，1C0，2D1，2【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向
4、量数量积公式当x=1，y=1时，=11+11=0当x=1，y=2时，=11+12=1当x=0，y=2时，=10+12=2故和取值范围为0，2解法二：z=x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0故和取值范围为0，2故选：C9（5分）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，bR，cZ），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（1），所得出的正确结果一定不可能是（）A4和6B3和1C2和4D1和2【解答】解：f（1）=asin1+b+c f（1）=asin1b+c +得：f（1）+f（1）=2c
5、cZf（1）+f（1）是偶数故选：D10（5分）已知函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：ABC一定是钝角三角形；ABC可能是直角三角形；ABC可能是等腰三角形；ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（）ABCD【解答】解：由于函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，且横坐标依次增大由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率可得出角ABC一定是钝角故对，错由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出ABBC，故三角形不可能是等腰三角形，由
6、此得出不对，对故选B二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11（4分）运行如图所示的程序，输出的结果是3【解答】解：a=1，b=2，接下来：a=1+2=3故最后输出3故答案为：312（4分）三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于【解答】解：三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为：；三棱锥的体积为：=故答案为：13（4分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于【解答】解：从中随机取出2个球，每个
7、球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出2个球，所有的取法共有C52=10所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C31C21=6由古典概型概率公式知P=故答案为14（4分）如图，ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，ADC=45，则AD的长度等于【解答】解：由A向BC作垂线，垂足为E，AB=ACBE=BC=AB=2cosB=B=30AE=BEtan30=1ADC=45AD=故答案为：15（4分）设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：VR满足：对任意向量=（x1，y1）V，=（x2，y2）V，以及任意R，均有f（+（1）=f（）+（1）f（）则称映射f具有性质P先给出如下映射：
8、f1：VR，f1（）=xy，=（x，y）V；f2：VR，f2（）=x2+y，=（x，y）V；f3：VR，f3（）=x+y+1，=（x，y）V其中，具有性质P的映射的序号为（写出所有具有性质P的映射的序号）【解答】解：，则+（1）y2对于，=x1+（1）x2y1（1）y2=（x1y1）+（1）（x2y2）而=（x1y1）+（1）（x2y2）满足性质P对于f2（a+（1b）=x1+（1）x22+y1+（1）y2，f2（a）+（1）f2（b）=（x12+y1）+（1）（x22+y2）f2（a+（1b）f2（a）+（1）f2（b），映射f2不具备性质P对于=x1+（1）x2+y1+（1）y2+1=（x
9、1+y1）+（1）（x2+y2）+1而=（x1+y1+1）+（1）（x2+y2+1）（x1+y1）+（1）（x2+y2）+1满足性质p故答案为：三、解答题（共6小题，满分80分）16（13分）已知等比数列an的公比q=3，前3项和S3=（）求数列an的通项公式；（）若函数f（x）=Asin（2x+）（A0，0）在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式【考点】等比数列的通项公式；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】综合题【分析】（）根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S3=，得到关于首项的方程，求出方程的解得到首项的值，然后根据首项和公比即可写出数列的通项公式；
10、（）由（）求出的通项公式求出a3的值，即可得到A的值，然后把代入正弦函数中得到函数值等于1，根据的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出的值，把的值代入即可确定出f（x）的解析式【解答】解：（）由q=3，S3=得：=，解得a1=，所以an=3n1=3n2；（）由（）可知an=3n2，所以a3=3，因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3；又因为当x=时，f（x）取得最大值，所以sin（2+）=1，由0，得到=则函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+）【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道
11、中档题17（13分）已知直线l：y=x+m，mR（）若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（）若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题【分析】（I）利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；（II）设出直线为l的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想【解答】解：（I）设所求圆的半径为
12、r，则圆的方程可设为（x2）2+y2=r2由题意，所求圆与直线l：y=x+m相切于点P（0，m），则有，解得，所以圆的方程为（x2）2+y2=8（II）由于直线l的方程为y=x+m，所以直线l的方程为y=xm，由消去y得到x2+4x+4m=0，=4244m=16（1m）当m=1时，即=0时，直线l与抛物线C：x2=4y相切；当m1时，即0时，直线l与抛物线C：x2=4y不相切综上，当m=1时，直线l与抛物线C：x2=4y相切；当m1时，直线l与抛物线C：x2=4y不相切【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查学生对直线与圆相切，直线与抛物线相切的问题的转化方法，考查学生
13、的方程思想和运算化简能力，属于基本题型18（13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x6）2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克（）求a的值；（）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【考点】函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性【专题】应用题【分析】（）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多
14、项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值【解答】解：（）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（）由（）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f（x）=10（x6）2+2（x3）（x6）=30（x6）（x4）于是，当x变化时，f（x）、f（x）的变化情况如下表： x（3，4）4 （4，6） f（x）+0 f（x） 单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商
15、场每日销售该商品所获得的利润最大【点评】本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题19（13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，8，其中X5为标准A，X3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准（）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如
16、下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望（）在（）、（）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性【考点】概率的应用；随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差【专题】计算题；应用题【分析】（）根据题意，结合期望的计算与频率分布列的性质，可得，解即可得答案；（）依据题意中，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，先由数据
17、得到样本的频率分布列，进而可得其概率分布列，由期望公式，计算可得答案；（）由题意与（）的结论，可得两厂产品的期望，结合题意，计算可得他们产品的“性价比”，比较其大小，可得答案【解答】解：（）根据题意，因为X1的数字期望EX1=6，则50.4+6a+7b+80.1=6，化简可得6a+7b=3.2；又由X1的频率分布列，可得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5；即，解可得a=0.3，b=0.2；（）由已知得，样本的频率分布列为X2345678 f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体的分布，将其频率视为概率，可得X2的概率分布列如下：X2345678 p0.30.
18、20.20.10.10.1所以EX2=30.3+40.2+50.2+60.1+70.1+80.1=4.8即乙产品的等级系数的数学期望等于4.8；（）乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为=1，乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为=1.2；据此乙厂的产品更具有可购买性【点评】本题考查概率的实际运用，是应用性的题目，整体难度不大；解题时需要认真分析、理解题意，并根据题意，选择合适的数学统计量来计算应用20（14分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，
19、CD=，CDA=45（）求证：平面PAB平面PAD；（）设AB=AP（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【专题】压轴题；转化思想；空间位置关系与距离【分析】（I）根据线面垂直的定义可得PAAB，再结合DAAB得到AB平面PAD，最后根据平面与平面垂直的判定定理可得平面PAB与平面PAD垂直；（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据已知数据设出B、P、E、C、D的坐标，用法向量的方法结合数量积计算公式，可得线段AB的长；（
20、ii）先假设存在点G满足条件，再通过计算GB之长，与GD长加以比较，得出GBGD，与已知条件GB=GD=1矛盾，故不存在满足条件的点G【解答】解：（I）证明：PA平面ABCD，AB平面ABCDPAAB又ABAD，PAAD=AAB平面PAD又AB平面PAB，平面PAB平面PAD（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz（如图）在平面ABCD内，作CEAB交于点E，则CEAD 在RtCDE中，DE=CDcos45=1， CE=CDsin45=1设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4t，所以E（0，3t，0），C（1，3t，0），D（0，4t
21、，0），设平面PCD的法向量为=（x，y，z）由，得取x=t，得平面PCD的一个法向量为又，故由直线PB与平面PCD所成的角为30得cos（9030）=即解得或t=4（舍去，因为AD=4t0）所以AB=（ii）假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D的距离都相等由GC=GD，得GCD=GDC=45 从而CGD=90，即CGAD所以GD=CDcos45=1设AB=，则AD=4，AG=ADGD=3在RtABG中，GB=这GB=GD与矛盾所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到B、C、D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等【点评】本小题主要考查空
22、间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力，考查转化思想，属于中档题21（14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中（1）选修42：矩阵与变换设矩阵 （其中a0，b0）（）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M1；（）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：，求a，b的值（2）（本小题满分7分）选修44：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直线l的方程为xy+4=
23、0，曲线C的参数方程为（）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值（3）（本小题满分7分）选修45：不等式选讲设不等式|2x1|1的解集为M（）求集合M；（）若a，bM，试比较ab+1与a+b的大小【考点】逆变换与逆矩阵；椭圆的参数方程；绝对值不等式的解法【专题】计算题；压轴题；选作题【分析】（1）（）直接根据求逆矩阵的公式求解，即M=，则代入a，b即可求解（）设出曲线C：x2+y2=1任意一点为（x0，y0）经矩阵M所对应的线性变换
24、作用下得到的点为（x，y），即可根据矩阵乘法M（x0，y0）=（x，y）得到关于x0，y0与x，y间的关系，即将之代入得到的含x0，y0的方程应与x2+y2=1相同，根据待定系数即可运算（2）（）将P的极坐标（4，）根据公式化为直角坐标坐标为（0，4），则根据直角坐标系下点与直线的位置关系判断即可（）根据曲线C的参数方程为，设出曲线C上任一点到直线l的距离为d，则根据点到直线的距离公式知d=，即d=，而2sin（）2，2，则d的最小值为（3）（）直接根据绝对值不等式的意义（|ab|表示ab与原点的距离，也表示a与b之间的距离）知：12x11即可求解（）要比较ab+1与a+b的大小，只需比较（a
25、b+1）（a+b）与0的大小，而（ab+1）（a+b）=（a1）（b1）再根据a，bM即可得到（a1）（b1）的符号，即可求解【解答】（1）解：（）将a=2，b=3代入即得：（）设出曲线C：x2+y2=1任意一点为（x0，y0）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为（x，y），M（x0，y0）=（x，y）将之代入得：即a0，b0（2）（）解P的极坐标为（4，），P的直角坐标为（0，4）直线l的方程为xy+4=0（0，4）在直线l上（）曲线C的参数方程为，直线l的方程为xy+4=0设曲线C的到直线l的距离为d则d=2sin（）2，2d的最小值为（3）（）解：|2x1|112x11即0x1即M为x|0x1（）a，bMa10b10（b1）（a1）0（ab+1）（a+b）=a（b1）+（1b）=（b1）（a1）0即（ab+1）（a+b）【点评】本题考查了逆变换与逆矩阵，以及待定系数法求解a，b的方法，椭圆的参数方程，绝对值不等式的解法，作差法比较大小的相关知识，属于基础题
