1、绝密启用前 2003年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(理工农医类)(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.第卷 (共110分)一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1函数的最小正周期T= .2若
2、 .3在等差数列中,a5=3, a6=2,则a4+a5+a10= 4在极坐标系中,定点A点B在直线上运动,当线段AB最短 时,点B的极坐标是 5在正四棱锥PABCD中,若侧面与底面所成二面角的大小为60,则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .(结果用反三角函数值表示)6设集合A=x|x|0, 则集合x|xA且= .7在ABC中,sinA;sinB:sinC=2:3:4,则ABC= .(结果用反三角函数值表示)8若首项为a1,公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和,则首项a1,公比q的一组取值可以是(a1,q)= .9某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成
3、.现从中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 .(结果用分数表示)10方程x3+lgx=18的根x .(结果精确到0.1)11已知点其中n的为正整数.设Sn表示ABC外接圆的面积,则= .12给出问题:F1、F2是双曲线=1的焦点,点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为8,由 |PF1|PF2|=8,即|9|PF2|=8,得|PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确,将正确的结果填在下面空格内.二、选择题(本大题满分16分)本大题共4题,每题都给出代号为
4、A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分.13下列函数中,既为偶函数又在(0,)上单调递增的是( )Ay=tg|x|.By=cos(x).CD. 14在下列条件中,可判断平面与平行的是( )A、都垂直于平面r.B内存在不共线的三点到的距离相等.Cl,m是内两条直线,且l,m.Dl,m是两条异面直线,且l,m, l,m.15a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数,不等式a1x2+b1x+c10和a2x2+b2x+c20的解集分别为集合M和N,那么“”是
5、“M=N”的( )A充分非必要条件.B必要非充分条件.C充要条件D既非充分又非必要条件.16f()是定义在区间c,c上的奇函数,其图象如图所示:令g()=af()+b,则下 列关于函数g()的叙述正确的是( )A若a0,则函数g()的图象关于原点对称.B若a=1,2b0,则方程g()=0有大于2的实根.C若a0,b=2,则方程g()=0有两个实根.D若a1,b0,且a1)的图象与y=x的图象有公共点,证明: f(x)=axM; (3)若函数f(x)=sinkxM ,求实数k的取值范围. 2003年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(理工农医类)答案一、(第1题至第12题)1. 2. 3
6、49 . 4. 5arctg2. 61,3.7 8的一组数). 9 102.6 .114 12|PF2|=17.二、(第13题至第16题)题 号13141516代 号CD DB三、(第17题至第22题)17解 故的最大值为最小值为. 18解连结BD,因为B1B平面ABCD,B1DBC,所以BCBD.在BCD中,BC=2,CD=4,所以BD=.又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30,所以B1DB=30,于是BB1=BD=2.故平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积为SABCDBB1=.19解(1) (2)归纳概括的结论为:若数列是首项为a1,公比为q的等比数列,则20解(1)如图建立直
7、角坐标系,则点P(11,4.5), 椭圆方程为.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得.因此隧道的拱宽约为33.3米.(2)解一由椭圆方程,得故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.解二由椭圆方程,得 于是得以下同解一.21解(1)设得 所以v30,得v=8,故=6,8.(2)由=10,5,得B(10,5),于是直线OB方程:由条件可知圆的标准方程为:(x3)2+y(y+1)2=10, 得圆心(3,1),半径为.设圆心(3,1)关于直线OB的对称点为(x ,y)则故所求圆的方程为(x1)2+(y3)2=10.(3)设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直
8、线OB对称两点,则故当时,抛物线y=ax21上总有关于直线OB对称的两点. 22解(1)对于非零常数T,f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意xR,x+T= Tx不能恒成立,所以f(x)=(2)因为函数f(x)=ax(a0且a1)的图象与函数y=x的图象有公共点,所以方程组:有解,消去y得ax=x,显然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常数T,使aT=T. 于是对于f(x)=ax有 故f(x)=axM.(3)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0M.当k0时,因为f(x)=sinkxM,所以存在非零常数T,对任意xR,有f(x+T)=T f(x)成立,即sin(kx+kT)=Tsinkx .因为k0,且xR,所以kxR,kx+kTR,于是sinkx 1,1,sin(kx+kT) 1,1,故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立,只有T=,当T=1时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则k=2m, mZ . 当T=1时,sin(kxk)=sinkx 成立,即sin(kxk+)= sinkx 成立,则k+=2m, mZ ,即k=2(m1) , mZ .综合得,实数k的取值范围是k|k= m, mZ