1、2016年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1（5分）（2016天津）已知集合A=1，2，3，B=y|y=2x1，xA，则AB=（）A1，3B1，2C2，3D1，2，32（5分）（2016天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）ABCD3（5分）（2016天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）ABCD4（5分）（2016天津）已知双曲线=1（a0，b0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为
2、（）Ay2=1Bx2=1C=1D=15（5分）（2016天津）设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的 （）A充要条件B充分不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件6（5分）（2016天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a1|）f（），则a的取值范围是（）A（，）B（，）（，+）C（，）D（，+）7（5分）（2016天津）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（）ABCD8（5分）（2016天津）已知函数f（x）=sin2+sinx（0），xR，若f（x）
3、在区间（，2）内没有零点，则的取值范围是（）A（0，B（0，1）C（0，D（0，二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分9（5分）（2016天津）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为_10（5分）（2016天津）已知函数f（x）=（2x+1）ex，f（x）为f（x）的导函数，则f（0）的值为_11（5分）（2016天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为_12（5分）（2016天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0，）圆C上，且圆心到直线2xy=0的距离为，则圆C的方程为_13（5分）（2016天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE
4、=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为_14（5分）（2016天津）已知函数f（x）=（a0，且a1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_三、解答题：本大题共6小题，80分15（13分）（2016天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值16（13分）（2016天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料36
5、0吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润17（13分）（2016天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，BAD=60，G为BC的中点（1）求证：FG平面BED；（2）求证：平面BED平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值18（13分）（2016天津）已
6、知an是等比数列，前n项和为Sn（nN*），且=，S6=63（1）求an的通项公式；（2）若对任意的nN*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列（1）nb的前2n项和19（14分）（2016天津）设椭圆+=1（a）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且MOA=MAO，求直线l的斜率20（14分）（2016天津）设函数f（x）=x3axb，xR，其中a，bR（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（
7、x1）=f（x0），其中x1x0，求证：x1+2x0=0；（3）设a0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间1，1上的最大值不小于2016年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1（5分）（2016天津）已知集合A=1，2，3，B=y|y=2x1，xA，则AB=（）A1，3B1，2C2，3D1，2，3【分析】根据题意，将集合B用列举法表示出来，可得B=1，3，5，由交集的定义计算可得答案【解答】解：根据题意，集合A=1，2，3，而B=y|y=2x1，xA，则B=1，3，5，则AB=1，3，故选：A【点评】本题考查集合的
8、运算，注意集合B的表示方法2（5分）（2016天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）ABCD【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出【解答】解：甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=+=故选：A【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题3（5分）（2016天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）ABCD【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置
9、，得出答案【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为DAD1C，棱CD1在左侧面的投影为BA1，故选B【点评】本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题4（5分）（2016天津）已知双曲线=1（a0，b0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（）Ay2=1Bx2=1C=1D=1【分析】利用双曲线=1（a0，b0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的焦距为2，c=，双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，=，a=2b，c2=a2+b
10、2，a=2，b=1，双曲线的方程为=1故选：A【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键5（5分）（2016天津）设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的 （）A充要条件B充分不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】直接根据必要性和充分判断即可【解答】解：设x0，yR，当x=0，y=1时，满足xy但不满足x|y|，故由x0，yR，则“xy”推不出“x|y|”，而“x|y|”“xy”，故“xy”是“x|y|”的必要不充分条件，故选：C【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（5分）（2016天
11、津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a1|）f（），则a的取值范围是（）A（，）B（，）（，+）C（，）D（，+）【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+）递减，故只需令2|a1|即可【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，f（x）在（0，+）上单调递减2|a1|0，f（）=f（），2|a1|=2|a1|，解得故选：C【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题7（5分）（2016天津）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的
12、值为（）ABCD【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案【解答】解：如图，D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，=故选：B【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题8（5分）（2016天津）已知函数f（x）=sin2+sinx（0），xR，若f（x）在区间（，2）内没有零点，则的取值范围是（）A（0，B（0，1）C（0，D（0，【分析】函数f（x）=，由f（x）=0，可得=0，解得x=（，2），因此=，即可得出【解答】解：函数f（x）=+sinx=+sinx=，由f（x）=0，可得=0，解得x=（，2），=，f（x）在区间（，2）
13、内没有零点，故选：D【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分9（5分）（2016天津）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为1【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（1+i）z=2，得，z的实部为1故答案为：1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题10（5分）（2016天津）已知函数f（x）=（2x+1）ex，f（x）为f（x）的导函数，则f（0）的值为3【分析】先求导，再带值计算【解答】解：f（x）=（2x+1）e
14、x，f（x）=2ex+（2x+1）ex，f（0）=2e0+（20+1）e0=2+1=3故答案为：3【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题11（5分）（2016天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为4【分析】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出S的值【解答】解：第一次循环：S=8，n=2；第二次循环：S=2，n=3；第三次循环：S=4，n=4，结束循环，输出S=4，故答案为：4【点评】本题主要考查程序框图，循环结构，注意循环的条件，属于基础题12（5分）（2016天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0，）圆C上，且圆心到直线2xy=0的距离为，则圆C的方程为
15、（x2）2+y2=9【分析】由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解【解答】解：由题意设圆的方程为（xa）2+y2=r2（a0），由点M（0，）在圆上，且圆心到直线2xy=0的距离为，得，解得a=2，r=3圆C的方程为：（x2）2+y2=9故答案为：（x2）2+y2=9【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题13（5分）（2016天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为【分析】由BD=ED，可得BDE为等腰三角形，过D作DHAB于H，由相交弦定理求得DH，在RtDHE中求出
16、DE，再由相交弦定理求得CE【解答】解：如图，过D作DHAB于H，BE=2AE=2，BD=ED，BH=HE=1，则AH=2，BH=1，DH2=AHBH=2，则DH=，在RtDHE中，则，由相交弦定理可得：CEDE=AEEB，故答案为：【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题14（5分）（2016天津）已知函数f（x）=（a0，且a1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是，）【分析】由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和y=2的图象，根据交点个数判断3a与
17、2的大小关系，列出不等式组解出【解答】解：f（x）是R上的单调递减函数，y=x2+（4a3）x+3a在（，0）上单调递减，y=loga（x+1）+1在（0，+）上单调递减，且f（x）在（，0）上的最小值大于或等于f（0），解得a作出y=|f（x）|和y=2的函数草图如图所示：|f（x）|=2恰有两个不相等的实数解，3a2，即a综上，故答案为，）【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，80分15（13分）（2016天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA（1
18、）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算【解答】解：（1）asin2B=bsinA，2sinAsinBcosB=sinBsinA，cosB=，B=（2）cosA=，sinA=，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题16（13分）（2016天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：ABC甲483乙5510现有A种原料
19、200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润【分析】（1）根据原料的吨数列出不等式组，作出平面区域；（2）令利润z=2x+3y，则y=，结合可行域找出最优解的位置，列方程组解出最优解【解答】解：（1）x，y满足的条件关系式为：作出平面区域如图所示：（2）设利润为z万元，则z=2x+3yy=x+当直线y=x+经过点B时，截距最大
20、，即z最大解方程组得B（20，24）z的最大值为220+324=112答：当生产甲种肥料20吨，乙种肥料24吨时，利润最大，最大利润为112万元【点评】本题考查了简单的线性规划的应用，抽象概括能力和计算求解能力，属于中档题17（13分）（2016天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，BAD=60，G为BC的中点（1）求证：FG平面BED；（2）求证：平面BED平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明
21、；（2）根据余弦定理求出BD=，继而得到BDAD，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（3）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在BCD中，G是BC的中点，OGDC，且OG=DC=1，又EFAB，ABDC，EFOG，且EF=0G，即四边形OGEF是平行四边形，FGOE，FG平面BED，OE平面BED，FG平面BED；（2）证明：在ABD中，AD=1，AB=2，BAD=60，由余弦定理可得BD=，仅而ADB=90，即BDAD，又平面AED平面ABCD，BD平面ABCD，平
22、面AED平面ABCD=AD，BD平面AED，BD平面BED，平面BED平面AED（）EFAB，直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AHDE于点H，连接BH，又平面BED平面AED=ED，由（2）知AH平面BED，直线AB与平面BED所成的角为ABH，在ADE，AD=1，DE=3，AE=，由余弦定理得cosADE=，sinADE=，AH=AD，在RtAHB中，sinABH=，直线EF与平面BED所成角的正弦值【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题18（13分）（20
23、16天津）已知an是等比数列，前n项和为Sn（nN*），且=，S6=63（1）求an的通项公式；（2）若对任意的nN*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列（1）nb的前2n项和【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1，得出通项公式；（2）利用对数的运算性质求出bn，使用分项求和法和平方差公式计算【解答】解：（1）设an的公比为q，则=，即1=，解得q=2或q=1若q=1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意q=2，S6=63，a1=1an=2n1（2）bn是log2an和log2an+1的等差中项，bn=（log2an+log2an+1
24、）=（log22n1+log22n）=nbn+1bn=1bn是以为首项，以1为公差的等差数列设（1）nbn2的前n项和为Tn，则Tn=（b12+b22）+（b32+b42）+（b2n12+b2n2）=b1+b2+b3+b4+b2n1+b2n=2n2【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题19（14分）（2016天津）设椭圆+=1（a）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且MOA=MAO，求直线l的斜率【分析】
25、（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x2），（k0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BFHF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由MOA=MAO，得到x0=1，转化为关于k的等式求得k的值【解答】解：（1）由+=，得+=，即=，aa2（a23）=3a（a23），解得a=2椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x2），（k0），设B（x1，y1），M（x0，k（x02），MOA=MAO
26、，x0=1，再设H（0，yH），联立，得（3+4k2）x216k2x+16k212=0=（16k2）24（3+4k2）（16k212）=1440由根与系数的关系得，MH所在直线方程为yk（x02）=（xx0），令x=0，得yH=（k+）x02k，BFHF，即1x1+y1yH=1（k+）x02k=0，整理得：=1，即8k2=3k=或k=【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题20（14分）（2016天津）设函数f（x）=x3axb，xR，其中a，bR（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极
27、值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1x0，求证：x1+2x0=0；（3）设a0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间1，1上的最大值不小于【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a0时f（x）0，f（x）在R上递增；当a0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）由条件判断出a0，且x00，由f（x0）=0求出x0，分别代入解析式化简f（x0），f（2x0），化简整理后可得证；（3）设g（x）在区间1，1上的最大值M，根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论，运用f（x）单调性和前两问的结论，求出g（x）在区间上的取值范围，利用a的范围化简整理后求出M，再利
28、用不等式的性质证明结论成立【解答】解：（1）若f（x）=x3axb，则f（x）=3x2a，分两种情况讨论：、当a0时，有f（x）=3x2a0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（，+），、当a0时，令f（x）=3x2a=0，解得x=或x=，当x或x时，f（x）=3x2a0，f（x）为增函数，当x时，f（x）=3x2a0，f（x）为减函数，故f（x）的增区间为（，），（，+），减区间为（，）；（2）若f（x）存在极值点x0，则必有a0，且x00，由题意可得，f（x）=3x2a，则x02=，进而f（x0）=x03ax0b=x0b，又f（2x0）=8x03+2ax0b=x0+2ax0b=f（x0），
29、由题意及（）可得：存在唯一的实数x1，满足f（x1）=f（x0），其中x1x0，则有x1=2x0，故有x1+2x0=0；（）设g（x）在区间1，1上的最大值M，maxx，y表示x、y两个数的最大值，下面分三种情况讨论：当a3时，11，由（I）知f（x）在区间1，1上单调递减，所以f（x）在区间1，1上的取值范围是f（1），f（1），因此M=max|f（1）|，|f（1）|=max|1ab|，|1+ab|=max|a1+b|，|a1b|=，所以M=a1+|b|2当a3时，由（）、（）知，f（1）=f（），f（1）=，所以f（x）在区间1，1上的取值范围是f（），f（），因此M=max|f（）|，|f（）|=max|，|=max|，|=，当0a时，由（）、（）知，f（1）=f（），f（1）=，所以f（x）在区间1，1上的取值范围是f（1），f（1），因此M=max|f（1）|，|f（1）|=max|1+ab|，|1ab|=max|1a+b|，|1ab|=1a+|b|，综上所述，当a0时，g（x）在区间1，1上的最大值不小于【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运算能力，属于难题
