1、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（八）数学（文）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集，集合，集合，则图中阴影部分所示的集合是（1,2,3,4
2、,5U 1,3,5M 3,4N）ABCD13,42,3,4 4【答案】D【解析】由图可知，阴影部分表达的集合是；容易知，故.NCMN3MN 4NCMN故选 D.2命题：“若，则”的逆否命题是（）220ababR，0ab公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞A若，则0ababR，220abB若，则0ababR，220abC若且，则0a 0babR，220abD若或，则0a 0babR，220ab【答案】D【解析】根据逆否命题的写法得到，逆否命题是将原命题的条件和结论互换位置，并且都进行否定，故得到逆否命题是若，则.故答案为 D0,0,aba bR或220ab3在复平面内与复数所对应的点关于实
3、轴对称的点为，则对应的复数为（）21iziAAABCD1 i1i1i 1i【答案】B【解析】复数，复数的共轭复数是，就是复数所对应的点2 121111iiiziiii 1 i21izi关于实轴对称的点为 A 对应的复数,故选 B4已知函数为锐角，且，则（）3cos45cos2A B C D242524252425725【答案】A【解析】由题设可知，所以，故344424sin1 cos445公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，应选答案 A.2 3 424cos2sin 2sin22sincos24442525 52013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱
4、化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素p2p数对称为孪生素数，从 20 以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）,2p pABCD1141731413【答案】B【解析】依题意，在不超过 20 的素数中所有的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，共有 8 个，从中选两个共包含个基本事件，而 20 以内的孪生素数有共四对，包含8 7282(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)4 个基本事件，所以从 20 以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为.故选 B.41287P 6程序
5、框图如图，当输入为 2019 时，输出的值为（）xyAB1C2D418【答案】A公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】输入，得，第 1 次判断为是，得；第 2 次判断为是，2019x 2016x 2013x 得一直循环下去，每次判断为是，得都减 3，直到，判断结果为否，得到输出值2010 x x3x 故选 A.31y2=87将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若 3sin2cos2f xxx0t t g x，则实数 的最小值为（）12g xgxtABCD524724512712【答案】B【解析】由题意得，则，从而 2sin 26f xx 2sin 226g xxt2sin
6、 222sin 226126xtxt，又，所以当时，实数 有最小值，.故选 B.2sin 22xt 0t 226tt tmin724t8设关于，的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足，则xy21000 xyxmym 00(,)P xy0022xy的取值集合是（）mA B C D4,3 4,32,3 2,3【答案】C公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】因为关于，的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足xy21000 xyxmym 00,P xy，所以可行域与直线至少有一个公共点.变动直线与直线，当点0022xy22xyxm ym在直线的下方时符合条件，所以，得.故选 C.(,)m
7、 m22xy220mm23m 9过点作圆的两条切线，切点分别为、，给出下列四个2,2P222:220CxyrrAB结论：；02 2r若为直角三角形，则；PAB4r 外接圆的方程为；PAB224xy直线的方程为.AB244160 xyr其中所有正确结论的序号为（）ABCD【答案】A【解析】由题意可得在圆外，解得，命题错误；若PC2222222r04 2r公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞为直角三角形，则四边形为边长为的正方形，PABPACBr可得，则，命题正确；2222224 22PCr4r 由，及四点共圆的判定可得、B 是以为直径的圆上四点，PAACPBBCPACPC而，的中点为原点，
8、所以，的外接圆方程为，命题错误；4 2PC PCPAB228xy由可得的外接圆和圆相交于，由和，PABCAB228xy22222xyr两式相减可得，即为直线的方程，故正确故选：A.244160 xyrAB10设，则（）0.231log0.6,log20.6mnABmnmnmnmnmnmnCDmnmnmnmnmnmn【答案】B【解析】因为，0.30.32211log0.6log10,log 0.6log 1022mn所以，因为，而0,0mnmn0.60.60.6112log2log0.250,log0.30nm，所以，即可得，因为，所0.60.6log0.25log0.3110nm0nm()()
9、20mnmnn 以，所以，故选 B.mnmnmnmnmn公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞11已知双曲线与双曲线，若以四个顶点为顶点的22122:10,0 xyCabab22222:14yxCba12,C C四边形的面积为，以四个焦点为顶点的四边形的面积为，则取到最大值时，双曲线的一1S12,C C2S12SS1C条渐近线方程为（）A B C D12yx22yx2yx2yx【答案】B【解析】由题意可得：，114242Sabab，222222222144242Sabababab据此有：，结合均值不等式的结论有：当且仅当，即时，取122222245SSabba22224abba222ab1
10、2SS得最大值，此时双曲线的一条渐近线方程为.故选 B.1C22yx12若函数与图象上存在关于点对称的点，lnf xx 2424g xxa xaaR 1,0M则实数的取值范围是（）aABCD0,1,e1,e【答案】C【解析】设关于的对称点是在 上，,P x y1,0M2,Pxy 2424g xxa xa，2224224yxaxayxax 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞根据题意可知，与有交点，lnyx2yxax aR即，设，2lnlnxxxaxaxxln xyxx0 x，令，221 lnxxyx 21 lnh xxx 0 x 恒成立，在是单调递增函数，且，120h xxx h x0,
11、10h在，即，时，即，h x0,1 0h x 0y1,0h x 0y 在单调递减，在单调递增，所以当时函数取得最小值 1，ln xyxx0,11,1x 即，的取值范围是.故选 C.1y a1,二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量，且，则的值为_(2,2)a(cos,sin)b/abtan【答案】-1【解析】因为，所以/ab2sin2cos0,sincos,tan1.14某公司对 2019 年 14 月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：月份x1234利润/万元y566.58利用线性回归分析思想，预测出 2019 年 8 月份的利润为 11.6 万元，则关
12、于的线性回归方程为yx_【答案】.0.954yx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】设线性回归方程为，因为，ybxa52x 518y 由题意可得，解得，即.55128811.6baba0.95b 4a 0.954yx故答案为.0.954yx15设数列的前项积为，且.则数列的通项公式 nannT*111222,2,3nnnnT TTTnNna na_na【答案】12nnan【解析】由，两边同除以，可得，,是*1122,2nnnnT TTTnNn1nnT T11112nnTT1132T1nT等差数列，首项为，公差为.，32121312(1)222nnnT22nTn 当时，,时也成立.
13、,故填.2n 1212221nnnTnnaTnn1n 12nnan12nnan16已知长方体中，点为的中点，且，则平面1111ABCDABC D1ABADM1AA1MBMC被长方体截得的平面图形的周长为_1MBC1111ABCDABC D【答案】22 5【解析】长方体中，点为的中点，且，如图所示：1111ABCDABC D1ABADM1AA1MBMC公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞则设长方体的高为，由于点为的中点，则，2xM1AAAMx由于，利用勾股定理，即，解得，故长1MBMC22211MBMCBC 2221214xxx 1x 方体的高为，则平面被长方体截得的平面图形为，连接，21
14、MBC1111ABCDABC D1BMNC1AD由于平面平面，平面平面，平面平面，11/AAD D11BBC C1MBC 11AAD DMN1MBC 111BBC CBC，易知，为的中点，为的中点，所以，1/MN BC11/ADBC1/MN ADM1AAN11AD，因此，截面图形的周长为2BM 52MN 152C N 15BC.故答案为：.522522 52 22 5三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）在中，角，所对的边分别为，已知，且.ABCABCabc2BAC2ca（1）求角的大小；,A B C（2）设数列满足，其前项和为，若，求
15、的值.na2 cos()nnanCnnS20nS n【解析】（1）由已知，又，所以.2BACABC3B 又，所以，2ca2222222cos422 cos33bacacBaaaaa公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞所以，所以为直角三角形，且，所以.222cabABC2C 236A（2）由题意知，.2 cos2 cos2nnnnanC0,2,nnn为奇数为偶数由题意可知 ，212nkkSSS242020202k2224 1 2241 43kkkN由，得，所以，所以，所以或.2224203k22264k226k 2k 4n 5n 18（12 分）已知某保险公司的某险种的基本保费为（单位：元
16、），继续购买该险种的投保人称为续保人，a续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：上年度出险次数01234保费（元）0.9aa1.5a2.5a4a随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到下表：出险次数01234频数140401262该保险公司这种保险的赔付规定如下表：出险序次第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次及以上赔付金额（元）2.5a1.5aa0.5a0将所抽样本的频率视为概率。（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（3）据统计今年有 100 万投保人进
17、行续保，若该公司此险种的纯收益不少于 900 万元，求的最小值（纯a收益=总入保额-总赔付额）。【解析】（1）由题意可得保费（元）0.9aa1.5a2.5a4a概率0.70.20.060.030.01本年度一续保人保费的平均值的估计值为；0.90.70.2 1.50.062.50.0340.011.035aaaaaa（2）由题意可得赔偿金额（元）02.5a4a5a5.5a概率0.70.20.060.030.01本年度一续保人所获赔付金额的平均值的估计值；0 0.72.50.240.0650.035.50.010.945aaaaa（3）由（1），（2）得该公司此险种的总收益为，1001.0350
18、.9459aaa，基本保费的最小值为 100 元.9900a 100a a19（12 分）三棱柱中，为的中点，点在侧棱上，平面111ABCABCDABE1CC/DE11.ABC公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（1）证明：是的中点；E1CC（2）设,四边形为边长为 4 正方形，四边形为矩形，且异面直线与90BAC11ABB A1ACCADE所成的角为，求该三棱柱的体积.11BC30111ABCABC【解析】（1）证明：连接分别交于，连，11,AD AE11,AB AC,M NMN平面，平面，平面平面=，,/DE11ABCDE 1ADE1ADE 11ABCMN/DEMN又在三棱柱侧面中，
19、为的中点，.11A ABBDAB112ABAD由可得，所以，11/ADAB1111,MADMB AMDAMAB 11ADMB MA故，12AMMD/DEMN12A NNE在平面中同理可证得，,故有是的中点.11A ACC11ANAENC1112CCAAECE1CC（2）取的中点，连接，可知，1BBF,EF DF11/EFBC故或其补角为异面直线与所成的角，DEFDE11BC设，则在中，可求，ACxDEF228,2 216DExDFEFBCx，公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞则余弦定理可求：，解得：，222238168cos22816xxDEFxx 4x 故.1 1 11(4 4)43
20、22ABCA B CV 20（12 分）已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为 4，离心率为.过2222:1(0)xyEabab,A B12右焦点的直线 交椭圆于两点（均不与重合），记直线的斜率分别为.FlE,C D,A B,ACBD12,k k（1）求椭圆的方程；E（2）是否存在常数，当直线 变动时，总有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.l12kk【解析】（1）由题知解得所以求椭圆 E 的方程为2222412acaabc23ab，22143xy（2）由（1）知 A（2，0），B（2，0），当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1由解得或得或；均有221143xxy132x
21、y，132xy，121322kk，121322kk ，1213kk猜测存在13当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk（x1），C（x1，y1），D（x2，y2）由得（4k2+3）x28k2x+4k2120221143yk xxy，公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞则故2122212284341243kxxkkx xk，21121212121232213232322xyxyyykkxxxx2222121212128340843432580.322322kkkkkkx xxxxxxx所以存在常数使得恒成立131213kk21（12 分）已知函数（）的一个极值为32()2312
22、h xxxxmmR2（1）求实数的值；m（2）若函数在区间上的最大值为 18，求实数的值()h x3,2kk【解析】（1）由，得，322312h xxxxm mR 26612621hxxxxx令，得或；令，得；0hx 2x 1x 0hx 21x 令，得或.所以函数有两个极值为和令.0hx 2x 1x h x2h 1h若，得，解得；22h 3222321222m 22m 若，得，解得；12h 322 13 112 12m 5m 综上，实数的值为或 5.m22（2）由（1）得，在区间上的变化情况如下表所示：hx h x3,2公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞由上表可知，当时，函数在区间上的
23、最大值为，其值为或，不符1k h x3,2k3922hm53212合题意当时，函数在区间上的最大值为，其值为或 25，不符合题意2k h x3,2k220hm2当时，要使函数在区间上的最大值为 18，必须使，21k h x3,2k 32231218h kkkkm且（因为若，则极大值，那么，函数在区间上的最5m 22m 220218hm h x3,2k大值只可能小于，更小于 18，不合题意）.2即，所以.322312518h kkkk322312130kkk所以或.因为，所以舍去.综上，实数的值为11054k 1k 21k 11054k k1(二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中
24、任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴xOy1C22xptyp tt0p x的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.2C4sin（1）求的普通方程和极坐标方程；1C公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）若与相交于、两点，且，求的值.1C2CAB2 3AB p【解析】（1）由曲线的参数方程为可得，1C22xptyp t224ytp再将其带入中，即可得到曲线的普通方程为，2xpt1C220ypx y将代入，sincosyx、22ypx即可得到曲线的极坐标方程为
25、。1C2sin2 cos(0)2p（2）由题意可知，显然与有一个公共点为原点，1C2C不妨设点为原点，由可设点的极坐标为.A2 3AB B2 3,(0)2代入的极坐标方程得，即，又，所以，2C2 34sin3sin2023再把代入的极坐标方程得，解得.2 3,31C312 3242p3 32p 23【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）已知函数，.()|21|3|f xxx()|1|g xaa x（1）求函数的值域；()f xM（2）若函数的值域为，且，求实数的取值范围.()g xNMN a公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】（1）函数可化简为()f x32,31()4,32132,2xxf xxxxx 可得当时，.当时，.3x ()327f xx 132x 7()4,72f xx 当时，.故的值域.12x 7()322f xx()f x7,2M（2）当时，所以不符合题意.0a()1g x 1N MN 0a 当时，因为，所以函数的值域，0a 0 x()g x(,|1|Na 若，则，解得或，从而符合题意.MN 7|1|2a52a 92a 92a 当时，因为，所以函数的值域，0a 0 x()g x|1|,)Na此时一定满足，从而符合题意.MN 0a 综上，实数的取值范围为.a9(,0),2公众号：卷洞洞
