1、第二章 不等式 2.4.2 根本不等式及其应用根本不等式及其应用 2.4.1 根本不等式及其应用根本不等式及其应用 回忆回忆 根本不等式根本不等式II 对于任意正数对于任意正数 ，成立，成立,ab2abab当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立.ab正数正数 ，满足，满足,ab1a b a b是否存在是否存在最大值最大值或或最小值最小值？正数正数 ，满足，满足,ab1ab ab是否存在是否存在最大值最大值或或最小值最小值？思考思考 例例1.利用根本不等式利用根本不等式II求最值：求最值：(1)，且，且 ，求，求 的最大值；的最大值；,a bR2a b a b(2)，且，且 ，求，求 的最小
2、值；的最小值；,a bR4abab解解:(1),a bR2()12a bab当且仅当当且仅当 时，时，1a b m ax()1ab(2)且且,a bR24a ba b 2a b m in()4a b当且仅当当且仅当 时时，且且 ,且且 0,0ababS(定值定值)当当 时，时，最小，且最小，且 ababm in()2a bS根本不等式根本不等式II与最值与最值 ,且且 0,0aba b C(定值定值)当当 时，时，最大，且最大，且 a bab2max()4Cab思考思考 以下所求最值是否正确？以下所求最值是否正确？min1()2xx2m in21222xx 解解:(3),10 xx 当且仅当当
3、且仅当 ,即即 时时 1xx 11(1)22xxxx m ax1(1)2xx例例1.利用根本不等式利用根本不等式II求最值：求最值：(3)，求，求 的最大值；的最大值；01x(1)xx(4)，求，求 的最小值的最小值.0 x 2xx12x(4)且且 2,0 xx2xx2x 22 2xxm in2()2 2xx当且仅当当且仅当 ,即即 时时 且且 思考思考 以下所求最值是否正确？以下所求最值是否正确？(1 2)(1 2)2xxxx 10,2x当且仅当当且仅当 ，即，即 时，等号成立，时，等号成立，1 2xx 13x因此因此 m ax1(1 2)3xx2(2 1)22xx24当且仅当当且仅当 ，即
4、，即 时，等号成立时，等号成立.2 1 2xx14x222221xx ,且且,00ababS(定值定值)当当 时，时，最小，且最小，且 ababm in()2a bS根本不等式根本不等式II与最值与最值 ,且且,00aba b C(定值定值)当当 时，时，最大，且最大，且 a bab2max()4Cab利用根本不等式利用根本不等式IIII求最值需要满足：求最值需要满足：“正正“定定“相等相等 例例2.利用根本不等式利用根本不等式II求最值：求最值：(1)，求，求 的最大值；的最大值；103x(13)xx(2)已知已知 ，求，求 的最小值；的最小值；2x 12xx(3)已知已知 ,且且 ，求，求
5、 的最大值；的最大值；,a bR2 3 1a b a b例例2.利用根本不等式利用根本不等式II求最值：求最值：(1)，求，求 的最大值；的最大值；103x(13)xx解解:(1)3(13)()3313xxxx333231xx 36当且仅当当且仅当 ，即，即 时，等号成立时，等号成立 3 1 3xx 16x因此因此 m ax3(1 3)6xx例例2.利用根本不等式利用根本不等式II求最值：求最值：解解:(2)当且仅当当且仅当 ，即，即 时，等号成立时，等号成立 122xx3x 因此因此(2)，求，求 的最小值；的最小值；2x 12xx122122xxxx2)(1(22)2xx4m in1()4
6、2xx例例2.利用根本不等式利用根本不等式II求最值：求最值：解解:(3)31(62(aabb231(62)2ab 12 4当且仅当当且仅当 ，即，即 时，时，1232ab11,46ab解毕解毕(3)已知已知 ,且且 ，求，求 的最大值；的最大值；,a bR2 3 1a b a b等号成立，因此等号成立，因此 max1()24ab(3)且且 ,求求 的最小值；的最小值；,a bR1a b 22ab(1)，求，求 的最大值；的最大值；1123x(2 1)(1 3)xx(2)，求，求 的最小值的最小值.1x 221xxx(选用选用)例例3.利用根本不等式利用根本不等式II求最值：求最值：(4)已知
7、已知 且且 ，求，求 的最小值的最小值.,0 x y 1xy11xy(1)，求，求 的最大值；的最大值；1123x(2 1)(1 3)xx(选用选用)例例3.利用根本不等式利用根本不等式II求最值：求最值：解解:(1)1(21)(13)(6 3)(26)6xxxx 21(6 3)(2 6)62xx 2 52 41()12x m a x2 5(2 1)(13)2 4xx (选用选用)例例3.利用根本不等式利用根本不等式II求最值：求最值：解解:(2)2m in2()22 11x xx(2)，求，求 的最小值的最小值.1x 221xxx22211xxxxx 2111xx 21 0,01xx 211 22 11xx(12)x(选用选用)例例3.利用根本不等式利用根本不等式II求最值：求最值：21()24a ba b(3)且且 ,求求 的最小值；的最小值；,a bR1a b 22ab解解:(3)222()2ab ab a b 121()2ab22m in1()2ab(选用选用)例例3.利用根本不等式利用根本不等式II求最值：求最值：21()24x yx y解解:(4)1 11x yx yxyxy 41()2xy(4)已知已知 且且 ，求，求 的最小值的最小值.,0 x y 1xy11xymin11()4xy解毕解毕 且且 0 xy
