1、2.3 导数及其应用导数及其应用 考情阐释 从近几年高考来看,该部分高考命题有以下特点:从内容上看,考查导数主要有三个层次:(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义;(2)导数的简单应用,包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等;(3)导数的综合考查,包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题.另外对微积分基本定理的考查频率较低,难度较小,着重于基础知识、基本方法的考查.从特点上看,高考对导数的考查有时单独考查,有时在知识交会处考查,常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等结合在一起考查.从形式上看,考查导数的试题有选择题、填空题、解答题,有时三种题型会同时出
2、现.真题呈现 1.(2012 新课标全国高考,理 12)设点 P 在曲线 y=12ex上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为().A.1-ln2 B.2(1-ln2)C.1+ln2 D.2(1+ln2)解析:由题意知函数 y=12ex与 y=ln(2x)互为反函数,其图象关于直线y=x 对称,两曲线上点之间的最小距离就是 y=x 与 y=12ex最小距离的 2倍,设 y=12ex上点(x0,y0)处的切线与 y=x 平行,有12e0=1,x0=ln2,y0=1,y=x 与 y=12ex的最小距离是 22(1-ln2),|PQ|的最小值为 22(1-ln2)2=2(1-ln
3、2).答案:B 2.(2012 湖北高考,理 3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为().A.25 B.43 C.32 D.2 解析:由图象可得二次函数的解析式为 f(x)=-x2+1,则与 x 轴所围图形的面积 S=1-1(-x2+1)dx=-33+x|-11=43.答案:B 3.(2012 大纲全国高考,理 10)已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=().A.-2 或 2 B.-9 或 3 C.-1 或 1 D.-3 或 1 解析:y=3x2-3=3(x+1)(x-1).当 y0 时,x1;当 y0 时,-1x 0,-
4、2-1,0,D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则 z=x-2y 在 D上的最大值为 .解析:由题知在点(1,0)处的切线的斜率 k=f(1)=11=1,则切线方程为 y=x-1.区域 D 为如图阴影部分所示.则 z 的最大值即为直线 y=12x-2在 y 轴上的最小截距,此时(0,-1)为最优解,所以 z=0-2(-1)=2.答案:2 5.(2012 山东高考,理 22)已知函数 f(x)=ln+e(k 为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与 x 轴平行.(1)求 k 的值;(2)求 f(x
5、)的单调区间;(3)设 g(x)=(x2+x)f(x),其中 f(x)为 f(x)的导函数,证明:对任意x0,g(x)0;当 x(1,+)时,h(x)0,所以 x(0,1)时,f(x)0;x(1,+)时,f(x)0,g(x)1+e-2等价于 1-x-xln x0,h(x)单调递增;当 x(e-2,+)时,h(x)0,(x)单调递增,(x)(0)=0,故 x(0,+)时,(x)=ex-(x+1)0,即e+11.所以 1-x-xln x1+e-20,g(x)0,bR,函数 f(x)=4ax3-2bx-a+b.(1)证明:当 0 x1 时,函数 f(x)的最大值为|2a-b|+a;f(x)+|2a-
6、b|+a0;(2)若-1f(x)1 对 x0,1恒成立,求 a+b 的取值范围.(1)证明:f(x)=12ax2-2b=12a 2-6.当 b0 时,有 f(x)0,此时 f(x)在0,+)上单调递增.当 b0 时,f(x)=12a +6 -6,此时 f(x)在 0,6 上单调递减,在 6,+上单调递增.所以当 0 x1 时,f(x)max=maxf(0),f(1)=max-a+b,3a-b=3-,2,-+,2=|2a-b|+a.由于 0 x1,故当 b2a 时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)+3a-b=4ax3-2bx+2a4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+1).当 b2a
7、时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b=4ax3+2b(1-x)-2a4ax3+4a(1-x)-2a=2a(2x3-2x+1).设 g(x)=2x3-2x+1,0 x1,则 g(x)=6x2-2=6-33 +33,于是 x 0 0,33 33 33,1 1 g(x)-0+g(x)1 减 极小值 增 1 所以,g(x)min=g 33=1-4 390,所以,当 0 x1 时,2x3-2x+10,故 f(x)+|2a-b|+a2a(2x3-2x+1)0.(2)解:由知,当 0 x1,f(x)max=|2a-b|+a,所以|2a-b|+a1.若|2a-b|+a1,则由知 f(x)-(|2a
8、-b|+a)-1.所以-1f(x)1 对任意 0 x1恒成立的充要条件是|2-|+1,0,即 2-0,3-1,0 或 2-0.在直角坐标系 aOb 中,不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中不包括线段 BC.作一组平行直线 a+b=t(tR),得-10),f(x)=-1122+32=32-2x-122=(3+1)(-1)22.令 f(x)=0,解得 x1=1,x2=-13 因2=-13 不在定义域内,舍去 .当 x(0,1)时,f(x)0,故 f(x)在(1,+)上为增函数.故 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=3.8.(2012 新课标全国高考,理 21)已知函数 f(
9、x)满足 f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+12x2.(1)求 f(x)的解析式及单调区间;(2)若 f(x)12x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.解:(1)由已知得 f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x.所以 f(1)=f(1)-f(0)+1,即 f(0)=1.又 f(0)=f(1)e-1,所以 f(1)=e.从而 f(x)=ex-x+12x2.由于 f(x)=ex-1+x,故当 x(-,0)时,f(x)0.从而,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)由已知条件得 ex-(a+1)xb.()若 a+10,则对任意常数 b,当 x0,且 x1-+1时,可得
10、ex-(a+1)x0,设 g(x)=ex-(a+1)x,则 g(x)=ex-(a+1).当 x(-,ln(a+1)时,g(x)0.从而 g(x)在(-,ln(a+1)单调递减,在(ln(a+1),+)单调递增.故 g(x)有最小值 g(ln(a+1)=a+1-(a+1)ln(a+1).所以 f(x)12x2+ax+b 等价于 ba+1-(a+1)ln(a+1).因此(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设 h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则 h(a)=(a+1)(1-2ln(a+1).所以 h(a)在(-1,e12-1)单调递增,在(e12-1,+)单调递减
11、,故 h(a)在 a=e12-1 处取得最大值.从而 h(a)e2,即(a+1)be2.当 a=e12-1,b=e122时,式成立,故 f(x)12x2+ax+b.综合得,(a+1)b 的最大值为e2.考点一 导数的几何意义【例 1】设函数 f(x)=ax+1+(a,bZ),曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 y=3.(1)求 y=f(x)的解析式;(2)证明曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值.(1)解:f(x)=a-1(+)2,于是 2+12+=3,-1(2+)2=0,解得 =1,=-1 或 =94,=-83
12、.由 a,bZ,故 f(x)=x+1-1.(2)证明:在曲线上任取一点 0,0+10-1.由 f(x0)=1-1(0-1)2知,过此点的切线方程为 y-02-0+10-1=1-1(0-1)2(x-x0).令 x=1 得 y=0+10-1,切线与直线 x=1 的交点为 1,0+10-1.令 y=x,得 y=2x0-1,切线与直线 y=x 的交点为(2x0-1,2x0-1).直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为 12 0+10-1-1|2x0-1-1|=12 20-1|2x0-2|=2.所围三角形的面积为定值 2.规律方法规律方法 1.导数的几何意义:函数 y=
13、f(x)在 x0处的导数 f(x0)的几何意义是:曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).2.求曲线切线方程的步骤:(1)求出函数 y=f(x)在点 x=x0的导数 f(x0),即曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率;(2)已知或求得切点坐标 P(x0,f(x0),由点斜式得切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0).特别提醒:当曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时,由切线定义可知,切线方程为 x=x0;当切点坐标未知时,应首先设出切点坐标,再求解.变式训练
14、变式训练 1(1)设曲线 y=ax2在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0平行,则 a=.解析:y=ax2,y=2ax,y|x=1=2a.又 y=ax2在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,2a=2,a=1.答案:1(2)曲线 y=sin x(0 x)与直线 y=12围成的封闭图形的面积是().A.3 B.2-3 C.2-3 D.3 3 解析:由 sin x=12与 0 x,得 x=6或56,曲线 y=sin x(0 x)与直线 y=12围成的封闭图形的面积是S=566sin xdx-12 56-6 =-cos x 656-3 =-cos56 -cos6 3=3 3.故
15、选 D.答案:D 考点二 利用导数研究函数的单调性【例 2】已知 aR,函数 f(x)=(-x2+ax)ex(xR,e 为自然对数的底数).(1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递增区间;(2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围.解:(1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex,f(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.令 f(x)0,即(-x2+2)ex0,ex0,-x2+20,解得-2x0,-x2+(a-2)x+a0 对 x(-1,1)恒成立,即 a2+2x+1=(+1)2-1+1=(x+1)-1+1对 x(-1,1)恒
16、成立.令 y=(x+1)-1+1,则 y=1+1(+1)20.y=(x+1)-1+1在(-1,1)上单调递增.y0 或 f(x)0.讨论 f(x)的单调性.解:f(x)的定义域是(0,+),f(x)=1+22=2-ax+22.设 g(x)=x2-ax+2,二次方程 g(x)=0 的判别式=a2-8.当 0 即 0a0 都有 f(x)0.此时 f(x)是(0,+)上的单调递增函数.当=0 即 a=2 2时,仅对 x=2有 f(x)=0,对其余的 x0 都有f(x)0.此时 f(x)也是(0,+)上的单调递增函数.当 0 即 a2 2时,方程 g(x)=0 有两个不同的实根 x1=-2-82,x2=+2-82,0 x1 0,-3-0,b-7 且 b-3.存在满足条件的 b 值,b 的取值范围是 b-7 且 b-3.规律方法规律方法利用导数研究函数极值的一般步骤是:(1)确定函数的定义域;(2)求函数 f(x)的导数 f(x);(3)若求极值,则先求出方程 f(x)=0 的根,再检验 f(x)在方程根左右边 f(x)的符号,求出极值.当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内.若已知极值大
