1、第第4141讲讲 311.1.1xyxx若，则的最小值是 211111111211 31111213.xyxxxxxxxxyxx 因为，所以，当且仅当，解析即时，等号成立所以的最小值是：4 11 l g l g 42l gl.gxyx yx y 已知，且，则的最大值是211lg0lg0lglg()42100lglg4.xyxylgxlgyxyxyxy因 为，所 以，所 以，当 且 仅 当取“”，所 以的 最解大 值 是析：3.2 3 3.abab ab若实数、满足，则 的最小值是623 3 233236.aba babab 因为，所以解释：62 302.40.xyx yx y 已 知 ，且，则
2、的 最 小值 是 2 362 322(1)6(23)x yxyxyxyxy 因 为，当 且 仅 当时 取 等 号所 以当 且 仅 当，时析：取 等 号解4).1(.59ax yxx yya 已 知 不 等 式对 任 意 正 实 数，恒 成 立，则 正 实 数 的 最 小 值 为 21()1121()9912(1)134.4.axyxyaaxyyxaaaxyxyaaaaaa 因为，且，所以，所以，即所以 的最小析值为解：利用根本不等式利用根本不等式的转化求最值的转化求最值【例1】x0，y0，且2x8yxy0，求xy的最小值及此时x、y的值 8228018282()()1 0+821 0+2=1
3、88228211 26.1 261 8.xyx yxyyxxyxyxyxyyxxyyxxyxyyxxyxyxyxy因 为，所 以，所 以当 且 仅 当，即时，等 号 成 立 又，所 以，故 当，时，的 最【小 值 是解 析】此题是一个二元条件最值问题，看似平淡，但思想方法深刻、解法灵活多样，本解法是其中之一对于xy与xy在同一等式中出现的问题往往可以利用根本不等式“将它们联系起来进行放缩，以此来求取值范围是非常有效的 2xyxy52(1)1xxyxx 求 函 数【变的式 练 习 1】最 大 值 104145402 4=44 5 12123 1.xttttyttttttytxx 令，则，则 ，因
4、为，所以，所以 ，当且仅当，即，时取，故函数的最大【解值为析】注意根本不等式注意根本不等式的适用条件的适用条件 224sin2.sinyxx【求】的 最 小 值例222222222222222222224131sinsinsinsinsin1sinsin1sin11sin2sin2sinsin1sin1sin2.sin33sin133.sinsin4sin5.sinyxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxx方 法：，当，即时，可 以 取 等 号，即 当 时，的 最 小 值 是又 当 时，即的 最 小 值 是所 以 函 数 的 最【】小 值 是解 析2222m in42s in01441.01
5、1040,1415.3s in01.40,215.txtyttytyttytttytttxtyttty方 法：令，则，所 以当时，即在上 是 减 函 数，所 以 当时，的 最 小 值 是方 法：令，则因 为 函 数在上 是 减 函 数，所 以，当时，22222“2”44sin2sin4sinsin4sin2xyxyyxxyxxx 本 题 是 利 用 基 本 不 等 式 求 函 数 的 最 值 问 题 用 基 本 不 等 式时，要 注 意 正、定、等 三 要 素 缺 一 不 可！下 面 的 解 法 太 有 诱 惑 力 了：，因 此 的 最小 值 是，为 什 么 不 对 呢？因 为 等 号 只 有
6、 在 才 能 取 到，而 这 是 不 可 能 的！这 类 问 题 用 导数 方 法 求 解 是 非 常 有 效 的 2212212122bcRfxxxxbxcgxxfx已 知、，在 区 间，上，函 数 与 函 数在 同一 点 取 得 相 同 的 最 小 值，求在 区 间【变，上 的式 练 习】最 大 值 22221111213113.4()()24xxgxxxxxxxxxgxfxgxbcbfxxb xcx因 为，当 且 仅 当，即时，“”成 立，即的 最 小 值 为【因 为与在 同 一 点 处 取 得 相 同 最 小值，而的 图 象 是 开 口 向 上 的解 析】抛 物 线，22112 212
7、4234.41(1)3.2 224.fxbcbbcfxxxxfx且，所 以只 能 在 顶 点 处 取 得 最 小 值，所 以，即 时，所 以所 以又，所 以 当时，的 最 大 值 为利用根本不等式利用根本不等式解实际问题解实际问题【例3】某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？*2()0.20.20.20.220.20.21 00.91 00.121 01 01213(101 01 0)103.10 x xyxxxxxxxxyxxxxxxxxyN设 使 用年 的
8、年 平 均 费 用 为万 元，由 已 知 条 件 可 知 年 维 修 费 构 成 一 个 以万 元 为 首项，万 元 为 公 差 的 等 差 数 列，因 此 使 用年 的 总维 修 费 用 为万 元，所 以，当 且 仅 当时取 等 号所 以 当时，取 最 小 值答：这 种 汽 车 使 用年 时，【解 析】年 平 均 费 用 最 小 解决应用题时，先要认真阅读题目，理解题意，处理好题目中的数量关系，选择适当的数学模型，将实际问题转化为数学问题，再用数学知识和方法加以解决 【变式练习3】2022年5月12日四川省汶川县发生了8.0级大地震，牵动了全国各地人民的心为了安置广阔灾民，抗震救灾指挥部决定
9、建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元 房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元每套房材料费控制在32000元以内，试计算：(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为P，试用x，y表示P；(2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？124502200200900400200900400200.2320002009004002002 900
10、400PxyxyxyxyPxyxySxyPPSxySS，即 依题意，且，则可得【解析】，22 0 01 2 0 03 2 0 0 0()61 6 0001 01 0 09 0 04 0 01 0 02 0.310 02 03SSPSSSSxyx yxSS得，即，得，当 且 仅 当，即时，取 最 大 值答：简 易 房 面 积的 最 大 值 为平 方 米，此 时 前 面 墙 的 长 度 应 设 计 为米 11.(3)3_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _y xxx函 数 的 值 域 是(，15，)13333231232354(15)yxxxyxxyx
11、，当时，当 时 取“”；当时，当 时 取“”，所 以 函 数 的 值 域 是，析】，【解2.假设log2xlog2y4，那么xy的最小值为 _.222logloglog4162848.xyxyxyx yxyx yx y因 为，所 以 ，所 以，当 且 仅 当时，“【”成 立 故的】最 小 值 为解 析8 6 223,7.3.af x xxxA 已 知 函 数的 图 象 过 点，则 此 函 数 的 最 小 值 是 223,7734.42022-24 22262646.afxxxxAaaxfxxxxxx 函 数的 图 象 过 点，所 以，所 以 因 为，所 以，当 且 仅 当时，等 号 成 立 故
12、 此 函 数 的解最 小 值 是析：220041.1112loglog4.xyxyxyxy已知，且 求 的最小值；求的最大值 11111()(4)44525925941163119.xyxyxyyxyxxyxyyxxyxyxy因 为 ，当 且 仅 当，即，时 取 等 号 所 以的 最 小【解值 为析】22222222212 loglogloglog(4)41 41log()log4421611482loglog4.xyxyx yxyxyxyxy，当且仅当，即 ，时取等号所以的最大值为 422.4812213.45.xxfxfxxabf abb设函数求的最大值及此时的 的值；证明：对任意的实数、
13、，恒有 4221 62148281 61 61 622884222222822322.2xxxxxxxxxfxxxfx【解，+当 且 仅 当.即时，的 最 大 值 为析】2222221923(3)3443()3322133.4122.223213.4bbbbbbbfxabfabb证明：因为，所以的最小值为由知，的最大值为而，所以对任意的实数、，恒有 本节内容是不等式的根底知识，主要从三个方面考查：一是利用根本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用根本不等式求最值的问题；二是利用根本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法等)；三是将一个实际问题
14、构造成函数模型，利用根本不等式来解决 12“”1 2 3 xyxyxyxy利用基本不等式时，要注意 正、定、等 三要素正，即，都是正数；定，即不等式另一边为定值；等，即当且仅当 时取 2sin0sinsin2222sin2sin22sinxyxxyxxxxx如：当时，虽然有，但并不是 的最小值，因为不可能成立又如：并不一定有，因为 的符号没有确定 22“”00121xyxyxyxyxy 利 用 基 本 不 等 式时，要 注 意 积 定 和 最 小，和 定 积 最 大 这 一口 诀，并 适 当 运 用 拆、拼、凑 等 技 巧 但 应 注 意，一 般 不 要 出 现 两 次 不 等 号 例 如：已
15、 知，且 ，求的 最 小 值 10011216.22002213113216.xyxyxyxyxyxxyyxyxy方 法：因 为，且，所 以 当时，的 最 小 值 为方 法：因 为，由，得，所 以的 最 小 值 为3121212224 2214 2.xyxyxyxyxyxy方法：因为 ，所以，所以，所以 的最小值为123221221221xyxyxyxyxyxyxyxy三 种 方 法 似 乎 都 有 道 理，但 结 果 却 不 一 样，哪 一 种 对 呢？其 实 三 种 都 不 对 方 法、方 法都 是 误 用 了 等 号 成 立 的 条 件；方 法中，是 当 且 仅 当时 取“”，而是 当
16、且 仅 当时 取“”，与不 可 能 同 时 成 立，所 以 错 了 00121212()()323232222221121322.xyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxxyyxyxy本 题 比 较 好 的 方 法 是：因 为，且 ，所 以 ，当 且 仅 当，即时，“”成 立，所 以的 最 小 值 为 2223122()2130242.xyxyxyxyxxxxyxyyx 记 住 下 列 结 论，对 解 题 是 有 帮 助 的：；当时，；当、同 号 时，40031_2_.ababa bababababab当两个正数、的和 与积出现在同一个式子中时，可以利用基本不等式互相转化来求取值范围如：已知，且 ，则；就可以这样来求：221323(3)(1)0.1099)23()2()4()12066)ababababababababababababababab因为 ，所以因为，所以，即，因为 ，所以，所以，所以，
