1、第第4242讲讲 5101021.1.aba bman bm nab 已 知 ，的 等 差 中 项 是，且，则的 最 小 值 是 1211041111512abababmnabababab：因 为，的 等 差 中 项 是，所 以，所 以，所 以，当 且 仅 当时解 析取 等 号 31xx或,1,1(21,.2)3.2P xxQx在空间直角坐标系中，点与点，之间的距离不小于，则实数的取值范围是 22222111 234 3 031.xxxxxx 由，化 简 得，解 得或解 析：22 6k m/h4 0 0 k m()k m2 0h.3.vv一 批 救 灾 物 资 随 辆 汽 车 从 某 市 以的
2、 速 度匀 速 直 达外 的 灾 区，为 了 安 全 起 见，两 辆汽 车 的 间 距 不 得 小 于，则 这 批 物 资 全 部 运送 到 灾 区 最 少 需1 024 0 0 2 52 52 02 5 24 0 01 08 0vvtvv 时 间 最 短，解则 两 车 之 间 的 间 距 最 小，且 要安 全，则 时 间析，当 且 仅 当时：等 号 成 立 4.(2 0 1 2)0lg xx不兴等 式的化 期 中 卷解 集 是|01xx 0001.xlg xx 原 不 等 式 等 价 于，解 得解 析：9 32004225.(2 0 11.1)abf xx a xb xxa b若，且 函 数
3、在 处 有 极 值，则的 最福 建大 值 等 于卷 212221122206293fxxaxbfababababab，当且仅当时，解析：等号成立不等式在方程及函不等式在方程及函数中的应用数中的应用 212124(0)0().1|1212117.1f xaxx baa bxf xxxf xxa ba bxx R已 知 函 数，且，设 关 于的 不 等 式的 解 集 为，且方 程的 两 实 根 为，若，求，的 关 系 式；若，求 证：【例】222222130.3940|41941.4949.23.012.fxxaxxbbabaabaaaababaabgxaxxbaab 由，得 由 已 知 得，所
4、以，所 以 所 以，所 以、的 关 系 式 为证 明：令又，解 析：212121212121210130.202460404.1114 14 1.ggabggabxxa xxbbxxx xaaxxx xxxbaaba 所 以，即又，是 方 程的 两 根，所 以，所 以 1230460044,6431617117.ababababaxx 由 线 性 约 束 条 件，画 图 可 知，的 取 值 范 围 为，所 以，所 以2122122011,11,1xxaxxxmmlmxxalm 已知关于 的方程的两根为，试问是否存在实数，使得不等式对任意实【变式练习数及恒成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，
5、说1】明理由 1212221212122122122222481,1822 311,11,1131,1201,12xxax xxxxxx xaaxxamlmxxalmlmlmlmlg lmlm 由题意有，所以 因为，所以，要使不等式对任意及恒成立，当且仅当对任意恒成 立，即对任意恒成立 设解析：222121022.1011,11,1(2 2)gmmmmgmmmmlmxxalm 由，解 得或 故 存 在 实 数，使 得 不 等 式对 任 意 实 数及恒 成 立，且的 取 值范 围 是，含参数不等式参数的含参数不等式参数的取值范围取值范围【例2】mR，函数f(x)=x2-mx.(1)当x1,2时，
6、如果函数f(x)的最大值为f(1)，求实数m的取值范围；(2)假设对任意正实数x，不等式f(x)-1恒成立，求实数m的取值范围 222minmin1212121423.2110111().1102()22.mfxxmxxxxffmmmfxxmxxxmxmxxxxxxxxxm 函 数的 对 称 轴 为，图 象 开 口向 上，函 数 在或处 取 得 最 大 值，则，得等 价 于，其 中，则 有恒 成 立，所 以又时，即，所 以解 析：2220325 00 x yx yx yya xyx ya 【变 式 练任 意 满 足的 实 数，总 有成习】立，求 实 数的 最 大 值 2222m in2()2x
7、 yA B Ca xyx yx yaxy V，对 应 的 点 在 图 中区 域，对 该 区 域 上 的 每 个 点 都 成 立，即解 析：，222222211()3122211132 52 521 31 32 5.1 3xyx yxyxyxyyxytxyxtxytyxttaa 而，令，其 几 何 意 义 是 区 域 上 的 点，与坐 标 原 点 的 连 线 的 斜 率，所 以，则，时，取 到 最 小 值，所 以，即 实 数的 最 大 值 为不等式在实际问题不等式在实际问题中的应用中的应用 400600()()3yx为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新
8、工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本 元与月处理量 吨 之间的函数关系可【例】近似的表 2120080000210012yxx示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？11800001800002002200222001800004002200yxxxxxxxx由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：，当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为解析：
9、元 22221001100(20080000)21300800002130035000.2SSxyxxxxxx 设 该 单 位 每 月 获 利 为，则4 0 06 0 04 0 04 0 0 0 0.4 0 0 0 0 xxS 因 为，所 以 当时，有 最 大 值故 该 单 位 不 获 利，需 要 国 家 每 月 至 少 补 贴元，才 能 不 亏 损 2011()(0)3()112011xmmkxkm某 企 业 拟 在年 举 行 促 销 活 动，经 调查 测 算，该 产 品 的 年 销 售 量 即 该 厂 的 年产 量万 件 与 年 促 销 费 用万 元满 足为 常 数，如 果 不 搞 促销
10、活 动，则 该 产 品 的 年 销 售 量 只 能【变是 万件 已 知年 生 产 该 产 品 的式 练 习 3】固 定 投 入 81161.5()1201122011ym为 万元，每生产 万件该产品需要再投入万元，企业将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 将年该产品的利润 万元表示为年促销费用万元的函数；该企业年的促销费用投入多少万元时利润最大？101()21 32.3.18 161.5()2011mxkkxmxx 由 题 意 可 知 当时，万 件，所 以所 以 每 件 产 品 的 销 售 价 格 为元，解 析：所 以年 的 利 润 816(1
11、.5)81624848(3)11 29(0)162012 168182921xyxxmxxmmmmmmmmy 因为时，所以，m ax1613()121()2011321mmmy 当 且 仅 当万 元时，万 元 答：该 企 业年 的 促 销 费 用 投 入万元 时 利 润 最 大，最 大 利 润 是 万 元 03 2 2.a 21 2 01,11.xx a x aa 关于的方程的两根均在内，则实数的取值范围为222212.1,1(1)82112(1)(1)(1)201(1)120032.2yxaxaaaaaaaaa 令由 题 意 可 知，函 数 的 两 个 零 点 均 在内，作 出 函 数 图
12、象 如 图 所 示，充 要 条 件 为：解 得解 析：2212120()2(0)0.axbx cx x x xcxbx a 若 一 元 二 次 不 等 式的 解 集 为，则 不 等 式的 解 集 为 2111()xx，121222121221000101011()aaaxxxxbcccbxxaax x xxxxxx 由 题 意 可 知，所 以，所 求 不 等 式 解 集 在 两 根 之 间 又 原 不 等 式 等 价 与，即，解 得 解 集 为，解 析：1,1(2)，1 20.3.(2 0 1 1)x x 不等式的解集州三模卷是扬01200120012xxxxxxxxx 解析：原不等式等价于或
13、，即或012012101121,1(2)xxxxxxx 或，解 得 或 或 ，即 或 ，所 以 原 不 等 式 的 解 集 是，22215 2 0|221251 04.a xxxxaa xx a 若 不 等 式的 解 集 是，求 实 数 的 值；求 不 等 式的 解 集 22222(1)01520222.2253012530321510(3)2aaxxaxxxxxaxxa 由 题 意 知，且 方 程的 两 个 根 分 别 为，代 入 解 得，即 为，解 得，即 不 等 式的 解 集 为，解 析：5.某建筑的金属支架如下图，根据要求AB至少长2.8 m，C为 AB的中点，B到D的距离比CD 的长
14、度小0.5 m，BCD60.建筑支架的材料每米的价 格一定，问怎样设计AB，CD 的长度，可使建造这个支架的本钱最低？22222m(1.4)m.1()2c o s6 0214.11422.1B CaaC DbB DC D Bbbaa babaabaaa设，连 结，则 在中，所 以所 以析【解】211.410.411422(1)334740.50.41.54.3 m4 mtattbatttttabABCD 设 ，则，所以，上式等号成立时，则，答：当，时，建造这个支架的成本最低 1不等式知识已经渗透到函数、三角、数列、解析几何等内容中，表达了不等式广泛应用的工具意识 2运用不等式知识解题的关键是建立不等关系，再应用重要不等式、不等式根本性质及解不等式知识解题 3在实际问题中，经常会出现寻找最优化结果的问题，通解通法是将问题转化为不等式模型，再应用不等式知识求解最值
