1、第 六 章第 六 章 不等式不等式 6.2 均值不等式均值不等式 考点考点 搜索搜索 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式 运用重要不等式求最值运用重要不等式求最值 重要不等式在实际问题中的应用重要不等式在实际问题中的应用 高考高考 猜想猜想 在求函数的最值和实际问题中运在求函数的最值和实际问题中运用重要不等式，选择题、填空题或解用重要不等式，选择题、填空题或解答题中均可能作为工具出现答题中均可能作为工具出现.一、算术平均数与几何平均数定理一、算术平均数与几何平均数定理 1.假设假设a0，b0，那么称，那么称_为两为两个正数的算术平均数，称个正数的算术平均数，称_为两个正数为两个正
2、数的几何平均数的几何平均数.2.如果如果a、b为实数，那么为实数，那么a2+b22abab_，当且仅当，当且仅当a=b时取“时取“=号号.3.如果如果a、b为正实数，那么为正实数，那么 _，当且仅当，当且仅当a=b时取等号时取等号.2a ba ba b2aba b222ab2()2ab 如果如果a+b为定值为定值P,那么那么ab有最有最_值，值，为为_;如果如果ab为定值为定值S,那么那么a+b有最有最_值值,为为_.这一结论称为均值定理这一结论称为均值定理.其应用其应用的三个条件依次为的三个条件依次为_、_、11 _.二、不等式恒成立问题二、不等式恒成立问题 不等式不等式af(x)恒成立，恒
3、成立，f(x)max 12 _，不等式，不等式af(x)恒成立，恒成立，f(x)min存在存在 13 _.大大 小小 一正一正 二定二定 三相等三相等 2()2P2Saf(x)max af(x)mix 盘点指南：盘点指南：;大；大；;小；小；;一一正；二定；三相等；正；二定；三相等；11 af(x)max;12 af(x)min 2aba b222ab2()2ab2()2P2S 假设假设x,y ,且且x+y=s,xy=p,那么以下命那么以下命题中正确的选项是题中正确的选项是()A.当且仅当当且仅当x=y时，时，s有最小值有最小值 B.当且仅当当且仅当x=y时，时，p有最大值有最大值 C.当且仅
4、当当且仅当p为定值时，为定值时，s有最小值有最小值 D.假设假设s为定值，那么当且仅当为定值，那么当且仅当x=y时，时，p有最大值有最大值 解：由均值不等式易得答案为解：由均值不等式易得答案为D.D 2p24s2p24s 假设假设x,y ,x+y4,那么以下不等式中成那么以下不等式中成立的是立的是()解：解：应选应选B.B 1111.141.2 .1ABxyxyCxyDxy21 111221,()2x yx yxy 设设a0，b0，那么以下不等式中不成立，那么以下不等式中不成立的是的是()解法解法1：由于是选择题，可用特值法，：由于是选择题，可用特值法，如取如取a=4,b=1,代入各选项中的不
5、等式代入各选项中的不等式,易判断易判断 不成立不成立.解法解法2：可逐项使用均值不等式判断：可逐项使用均值不等式判断 不等式成立不等式成立;2211 1.2 2 .()()42.Aa bB a ba babababCa bDaba bab 2ababab111.22 22 2,A aba ba ba ba ba b B.因为因为 相乘得相乘得 成立成立;C.因为因为 又由又由 得得 所以所以 成立成立;D.因为因为 ，所以，所以 所以所以 即即 不成立不成立,应选应选D.1 1120,20,aba ba ba b 1 1()()4a ba b22222()-2()-2()2a ba ba ba
6、 b a b 2(),2ab,2abab12,abab22ababab2a bab 11,2abab22,2abababa bab2ababab 1.今有一台坏天平今有一台坏天平,两臂长不等两臂长不等,其余均精其余均精确确.有人说要用它称物体的重量有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在只需将物体放在左右托盘各称一次左右托盘各称一次,那么两次称量结果的和的一那么两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量半就是物体的真实重量,这种说法对吗并说明你这种说法对吗并说明你的理由的理由.解：不对解：不对.设左、右臂长分别是设左、右臂长分别是l1,l2,物体放在左、右物体放在左、右托盘称得重量分别为托盘称得
7、重量分别为a,b，真实重量为，真实重量为G.题型题型1 利用均值不等式比较代数式的大小利用均值不等式比较代数式的大小 那么由杠杆平衡原理有：那么由杠杆平衡原理有：l1 G=l2 b，l2 G=l1 a.得得G2=ab,所以所以 .由于由于l1l2，故，故ab,由均值不等式由均值不等式 知说法不对知说法不对,真实重真实重量是两次称量结果的几何平均值量是两次称量结果的几何平均值.点评：此题考查均值不等式点评：此题考查均值不等式,杠杆平衡原理杠杆平衡原理知识及分析问题、解决问题的能力，属跨学科知识及分析问题、解决问题的能力，属跨学科(数学、物理数学、物理)的创新问题的创新问题.均值不等式应用的条均值
8、不等式应用的条件是“一正二定三相等，即两个数都为正数，件是“一正二定三相等，即两个数都为正数，两个数的和或积是定值，有相等的可取值两个数的和或积是定值，有相等的可取值.Gab2abab a、b、c都是正数，且都是正数，且a+b+c=1.求证：求证：证明：因为证明：因为 所以所以 同理，有同理，有 所以所以 但由于但由于3a+21，所以上式不能取等号，所以上式不能取等号.所以所以 拓展练习拓展练习拓展练习拓展练习323232 6.abc 3 2(3 2)1,aa (32)132.2aa(3 2)1(3 2)13 2,3 2.22bcbc 3()9323 23 26.2a b cabc 32323
9、2 6.abc 2.(1)x0,y0,且且 求求x+y的最小值的最小值;(2)x0,y0,所以所以 题型题型2 求函数或代数式的最值求函数或代数式的最值 191,xy5414-24-5yxx191,xy1 9()()910 6 10 16,x yx yx yyxxy 当且仅当当且仅当 即即y=3x时时,上式等号成立上式等号成立.又又 所以所以x=4,y=12时，时，(x+y)min=16.(2)因为因为x0,所以所以 当且仅当当且仅当 即即x=1时时,上式等号成立上式等号成立,故当故当x=1时，时，ymax=1.9,yxxy191,xy54114-2-(5-4)3-2 3 1,4-55-4yx
10、xxx 15-4,5-4xx (3)由由2x+8y-xy=0，得，得2x+8y=xy，所以，所以 所以所以x+y=(x+y)()=10+=10+2()10+22 =18,当且仅当当且仅当 ，即，即x=2y时取等号时取等号.又又2x+8y-xy=0，所以，所以x=12,y=6,所以当所以当x=12,y=6时，时，x+y取最小值取最小值18.281.yx82xy82yxxy4 yxxy4 yxxy4 yxxy 点评：第点评：第(2)小题是一类应用均值不等小题是一类应用均值不等式求分式型函数的最值的题型，此类问题式求分式型函数的最值的题型，此类问题求解中注意变形配凑成两个正数的和式求解中注意变形配凑
11、成两个正数的和式(或或积式积式)，且它们的积，且它们的积(或和或和)式为定值的形式，式为定值的形式，然后看能否有相等条件，假设有再利用均然后看能否有相等条件，假设有再利用均值不等式得出函数的最值；假设没有，那值不等式得出函数的最值；假设没有，那么利用函数的单调性求解么利用函数的单调性求解.第第(1)(3)小题可利小题可利用条件转化为用条件转化为(2)的形式的形式.拓展练习拓展练习拓展练习拓展练习 3.假设对任意正实数假设对任意正实数x、y,不等式不等式 恒成立，恒成立，那么那么a的最小值是的最小值是.解：假设不等式恒成立解：假设不等式恒成立,那么那么 恒成立恒成立.所以所以 因为因为 所以所以
12、 当且仅当当且仅当x=y时取等号时取等号.所以所以a ，故，故amin=.题型题型3 用均值不等式求解不等式中用均值不等式求解不等式中 的恒成立问题的恒成立问题 xy a x yxyaxym a x().xyaxy222()112.x y xy x yx yxyxyxyxyxy 2,xyxy22 点评：求恒成立中的问题的方法比较多，此点评：求恒成立中的问题的方法比较多，此题利用的是别离变量法：即一边为所求参数题利用的是别离变量法：即一边为所求参数a；另一；另一边是其他参数的式子，然后求其式子的最值边是其他参数的式子，然后求其式子的最值.从填空从填空题的角度来思考，此题也可以利用对称式的特点取题
13、的角度来思考，此题也可以利用对称式的特点取x=y=1，由此猜测，由此猜测a的值的值.拓展练习拓展练习拓展练习拓展练习 a、b、cR,求证：求证：证明：因为证明：因为 所以所以 同理同理,三式相加得三式相加得 参 考 题参 考 题参 考 题参 考 题2 22 22 22().abbc ca a b c 222(),22aba b2222|().22aba ba b 222222(),().22bcbc c aca2 22 22 22().abbc ca a b c 1.均值不等式具有将均值不等式具有将“和式转化为和式转化为“积式及积式及将将“积式转化为积式转化为“和式的放缩功能和式的放缩功能.2.a2+b22ab成立的条件是成立的条件是a，bR，而，而 成立，那么要求成立，那么要求a0且且b0.使用时，要明确使用时，要明确定理成立的前提条件定理成立的前提条件.3.均值不等式有均值不等式有a2+b22ab，a+b 等形式，解题时要根据问题特点适中选用等形式，解题时要根据问题特点适中选用.2abab222(),2a bab22,()2a ba ba b
