1、一轮复习讲义一轮复习讲义 根本不等式及其应用根本不等式及其应用 1基本不等式基本不等式 abab2(1)基本不等式成立的条件：基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当等号成立的条件：当且仅当 时取等号时取等号 2几个重要的不等式几个重要的不等式(1)a2b2 (a，bR)(2)baab (a，b 同号同号)(3)ab ab22(a，bR)(4)a2b22 ab22(a，bR)忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 a0，b0 ab 2ab 2 要点梳理要点梳理3算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 设设 a0，b0，则，则 a，b 的算术平均数为的算术平均数为ab2，几
2、何平均数为，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：，基本不等式可叙述为：4利用基本不等式求最值问题利用基本不等式求最值问题 已知已知 x0，y0，则，则(1)如果积如果积 xy 是定值是定值 p，那么当且仅当，那么当且仅当 时，时，xy 有最有最 小值是小值是 .(简记：积定和最小简记：积定和最小)(2)如果和如果和 xy 是定值是定值 p，那么当且仅当，那么当且仅当 xy 时，时，xy 有最有最 值是值是p24.(简记：和定积最大简记：和定积最大)忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 两个正数的算术平均数不小于两个正数的算术平均数不小于 xy 它们的几何平均数它们的几何平均数 大大 2
3、P要点梳理要点梳理难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 1 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是就是“一正一正各项均为正；二定各项均为正；二定积或和为定值；三相积或和为定值；三相 等等等号能否取得等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误，若忽略了某个条件，就会出现错误 对于公式对于公式 ab2 ab，ab ab22，要弄清它们的作用和，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和和 ab 的转化的转化关系关系 2运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式
4、的逆运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆 用，例如用，例如 a2b22ab 逆用就是逆用就是 aba2b22；ab2 ab(a，b0)逆用就是逆用就是 ab ab22(a，b0)等 还要注意等 还要注意“添、拆项添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等技巧和公式等号成立的条件等 例例 1 已知已知 x0，y0，z0.求证：求证：yxzx xyzy xzyz8.利用根本不等式证明简单利用根本不等式证明简单 不等式不等式 由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证 证明证明 x0，y0，z0，yxzx2 yzx0，x
5、yzy2 xzy0，xzyz2 xyz0，yxzx xyzy xzyz8 yzxzxyxyz8.当且仅当当且仅当 xyz 时时等号成等号成立立 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题 探究提高若若 a0，b0，c0，试证：，试证：(1)bcaacbabcabc；(2)a2bb2cc2aabc.变式训练变式训练 1
6、证明证明 (1)a，b，c(0，)，bcaacb2 bcaacb2c，同理同理acbabc2a，abcbca2b，2 bcaacbabc2(abc)，即即bcaacbabcabc.(2)a0，b0，c0，a2bb2a，同理同理b2cc2b，c2aa2c，得得a2bb2cc2aabc2a2b2c，即即a2bb2cc2aabc.例例 2 (1)已知已知 x1，求，求 f(x)x1x1的最小值；的最小值；(3)已知已知 0 x25，求，求 y2x5x2的最大值的最大值 利用根本不等式求最值利用根本不等式求最值 以上三个小题都不具备应用基本不等式求最值的三个条件，可将以上三个小题都不具备应用基本不等式
7、求最值的三个条件，可将负数转化为正数，通过添项、拆项或变系数，使其积负数转化为正数，通过添项、拆项或变系数，使其积(或和或和)转化转化为定为定值值 解解 (1)x0，f(x)24xx2 4x x .4x(x)2 44，当且仅当当且仅当x4x，即，即 x2 时等号成立时等号成立 f(x)2 4x x 242，f(x)的最大值为的最大值为2.(2)x1，x10，f(x)x1x1x11x11 2 x1 1x11213.当且仅当当且仅当 x11x1，即，即 x2 时，等号成立时，等号成立 f(x)的最小值为的最小值为 3.(3)y2x5x2x(25x)15 5x(25x)，0 x25，5x0，5x(2
8、5x)5x25x221，y15，当且仅当，当且仅当 5x25x，即即 x15时，时，ymax15.利用基本不等式求最值时，必须注意三点：利用基本不等式求最值时，必须注意三点：“一正，二定，三相一正，二定，三相等等”，缺一不可如果项是负数，可转化为正数后解决，当和，缺一不可如果项是负数，可转化为正数后解决，当和(或或积积)不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和(或积或积)化为定值化为定值 探究提高(1)已知已知 x0，y0，x2y2xy8，则，则 x2y 的最小值是的最小值是_ (2)已知已知 ab0，则，则 a216b ab 的最小值是
9、的最小值是_ 变式训练变式训练 2 (1)依题意，得依题意，得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)2 x1 2y1 6，即即 x2y4.当且仅当当且仅当 x12y1，x2y2xy8，即即 x2，y1时等号成立时等号成立 x2y 的最小值是的最小值是 4.(2)ab0，b(ab)bab22a24，当且仅当当且仅当 a2b 时等号成时等号成立立 a216b ab a216a24a264a2 2a264a216，当且仅当，当且仅当 a2 2时等号成立时等号成立 当当 a2 2，b 2时，时，a216b ab 取得最小值取得最小值 16.例例 3 围建一个面积为围建一个面积为 360 m2的矩形场
10、地，要求矩形场地的一面的矩形场地，要求矩形场地的一面 利用旧墙利用旧墙(利用的旧墙需维修利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示已知的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为旧墙的维修费用为 45 元元/m，新墙的造价为，新墙的造价为 180 元元/m.设利用的设利用的旧墙长度为旧墙长度为 x(单位：单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单单位：元位：元)根本不等式的实际应用根本不等式的实际应用 (1)将将 y 表示为表示为 x 的函数；的函数；(
11、2)试确定试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费总费用用(1)首先明确总费用首先明确总费用 y旧墙维修费建新墙费，其次，列出旧墙维修费建新墙费，其次，列出 y 与与x 的函数关系式；的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的的条件，从而得出问题结条件，从而得出问题结论论 解解 (1)设矩形的另一边长为设矩形的另一边长为 a m，则则 y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知由已知 xa360，得，得 a360 x，所以所以 y225x3602x360
12、(x2)(2)x2，225x3602x2 225x3602x10 800.y225x3602x36010 440.当且仅当当且仅当 225x3602x时，等号成立时，等号成立 即当即当 x24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是 10 440 元元(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求函数关系式，然后用基本不等式求解解(2)在求所列函
13、数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求利用函数单调性求解解 探究提高如图所示，一个铝合金窗分为上、下两栏，如图所示，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽四周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽 均为均为 6 cm，上栏与下栏的框内高度，上栏与下栏的框内高度(不含铝不含铝 合金部分合金部分)的比为的比为 12，此铝合金窗占用的，此铝合金窗占用的 墙面面积为墙面面积为 28 800 cm2，设该铝合金窗的宽，设该铝合金窗的宽 和高分别为和高分别为 a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为，铝合
14、金窗的透光部分的面积为 S cm2.(1)试用试用 a，b 表示表示 S；(2)若要使若要使 S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？变式训练变式训练 3解解 (1)铝合金窗宽为铝合金窗宽为 a cm，高为，高为 b cm，a0，b0，ab28 800，又设上栏框内高度为又设上栏框内高度为 h cm，下栏框内高度为，下栏框内高度为 2h cm，则则 3h18b，hb183，透光部分的面积透光部分的面积 S(a18)2 b18 3(a12)b183(a16)(b18)ab2(9a8b)288 28 8002(9a8b)288 29 0882(9a8b)(2)9
15、a8b2 9a 8b2 9828 8002 880，当且仅当当且仅当 9a8b 时等号成立，此时时等号成立，此时 b98a，代入代入式得，式得，a160，从而，从而 b180，即当即当 a160，b180 时，时，S 取得最大值取得最大值 铝合金窗的宽为铝合金窗的宽为 160 cm，高为，高为 180 cm 时，可使透光部分的面时，可使透光部分的面积最大积最大(14 分分)已知已知 a、b 均为正实数，且均为正实数，且 ab1，求，求 y a1a b1b的的最小值最小值 易错警示根本不等式等号成立的条件把握不准致误根本不等式等号成立的条件把握不准致误 学生解答展示学生解答展示 错因分析错因分析
16、 上面解法显然是错误的，因为当上面解法显然是错误的，因为当 a1，b1 时，时，ab2，而已知中，而已知中 ab1.照这种解法，无论照这种解法，无论 ab 的值为多少，的值为多少，a1a b1b的最小值总是的最小值总是 4，它错在两次利用基本不等式，等号，它错在两次利用基本不等式，等号不能同时成立，故不能同时成立，故 y 的最小值不可能是的最小值不可能是 4.(1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基 本不等式，必须保证本不等式，必须保证“正、定、等正、定、等”，而且还要符合已知条件，而且还要符合已知条件 (2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围 审题视角审题视角规范解答规范解答 解解 方法一方法一 y a1a b1b ab1ab baab ab1ab2 ab1ab2 4 ab1ab3 ab2 24 ab1ab3ab22 4322254.10 分分 当且仅当当且仅当 ab12时时，y a1a b1b取最小值取最小值，最小值为最小值为254.14 分分 方法二方法
