1、证明不等式的基本方法第二讲.,.,|,.等式的基本方法等式的基本方法我们进一步学习证明不我们进一步学习证明不本讲中本讲中的出发点的出发点都可以作为证明不等式都可以作为证明不等式的解集的规律等的解集的规律等和和值不等式值不等式本不等式以及绝对本不等式以及绝对等式的基本性质、基等式的基本性质、基实、不实、不关于数的大小的基本事关于数的大小的基本事我们知道我们知道的方法的方法学习了一些证明不等式学习了一些证明不等式经经前面已前面已axax 比较法比较法一一 比较法是证明不等式的一种最根本、最比较法是证明不等式的一种最根本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是
2、：的步骤是：作差作差变形变形判断符号判断符号下结论。下结论。作商作商变形变形与与1比较大小比较大小-下结论。下结论。要灵活掌握配方法和通分法对差式进行要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。恒等变形。1 1、作差比较法的依据：、作差比较法的依据：实数的运算性质实数的运算性质 0ab ab 0ab ab 步骤：作差步骤：作差变形化简变形化简定号定号下结论下结论 差值差值 的符号的符号 0ab ab 2、作商比较法的原理及步骤：,111abRaabbaabbaabb步骤：作商步骤：作商变形化简变形化简判断判断得出结论得出结论 商值与实数商值与实数1 1的大小关系的大小关系 .,.,的大小的大小
3、比较差与比较差与转化为转化为即把不等式两边相减即把不等式两边相减本的方法就是证明本的方法就是证明基基最最要证明要证明00 baba.,22331abbabababa求证求证且且都是正数都是正数已知已知例例.,定正负的代数式定正负的代数式转化为一个能够明确确转化为一个能够明确确当的恒等变形当的恒等变形通过适通过适可以把不等式两边相减可以把不等式两边相减分析分析 32232233babbaaabbaba证明.,0 baba所以都是正数因为 .,02baba 所以又因为 .,0022332 abbabababa即于是.2233abbaba所以 baba22 2baba babbaa22注：注：比较法
4、比较法是证明不等式的基本方法，也是是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法最重要的方法,另外，另外，有时有时还还可可作商比较作商比较.n作差作差变形变形判断符号判断符号下结论。下结论。n作商作商变形变形与与1比较大小比较大小-下结论。下结论。.,.,并给出证明并给出证明学问题学问题将这个事实抽象为数将这个事实抽象为数浓液的浓度增加到浓液的浓度增加到此时此时白糖白糖若在上述溶液中再添加若在上述溶液中再添加度为度为则其浓则其浓糖溶液糖溶液白糖制出白糖制出如果用如果用例例mbmakgmbakgbkga 2.,.,溶液的浓度增大溶液的浓度增大在已有的糖溶液中加糖在已有的糖溶液中加糖诉我们诉我们生活经验
5、告生活经验告而且而且都是正数都是正数显然显然分析分析bamba.,:bambmabamba 则并且都是正数已知如下不等式问题可以把上述事实抽象成解.下面给出证明 .,mbbabmbambma 得将不等式两边相减 .,;,000mbbabmmbaabba所以都是正数又因为所以因为 ,00bambmambbabm即所以.bambma 所以.,的大小关系的大小关系与与转化为证明所得的商式转化为证明所得的商式等式两边相除等式两边相除有时也通过把不有时也通过把不的大小来证明不等工外的大小来证明不等工外较差与较差与通过比通过比除了把不等式两边相减除了把不等式两边相减10.,等号成立等号成立时时当当当且仅当
6、且仅求证求证是正数是正数已知已知例例babababaabba3.,.,的大小关系比较方便的大小关系比较方便们相除并考察商式与们相除并考察商式与把它把它都是指数形式都是指数形式由于要证的不等式两边由于要证的不等式两边数数所以不等式两边都是正所以不等式两边都是正是正数是正数由于由于分析分析1ba得将不等式两边相除证明,abbaabbabababa .baba 于是不妨设不等式不变的位置交换点根据要证的不等式的特,),(0 baba.,01 baba当且仅当所以,1 baba.,等号成立时ba.,等号成立时当且仅当所以bababaabba3322,a bRababa bab （作作商商比比较较且且法
7、法）证证明明：作商作商 下结论下结论 变形变形 判定判定（与（与1比较大小）比较大小）21 a b a b a ba ba b 22aab bab 22()()()a b aa b ba ba b 3 3 22aba b a b 22()1(1)1112a bab a babababab或或（）或或 332 2,aba b a b ab ab 若若都都是是正正数数且且则则小结：作差比较法是证明不等式的一种最根本、作差比较法是证明不等式的一种最根本、最重要的一种方法，用比较法证明不等最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差式的步骤是：作差变形变形判断符号判断符号下结论。下结论。要灵活掌
8、握配方法和通分法对差式进行要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。恒等变形。比较法可分为差值比较法简称作差法和比比较法可分为差值比较法简称作差法和比值比较法简称作商法值比较法简称作商法.注意二者的区别。注意二者的区别。一般地，证幂、指数不等式时，常用作商法；一般地，证幂、指数不等式时，常用作商法；证对数不等式，多项式，分式时，常用作差法。证对数不等式，多项式，分式时，常用作差法。当当“差差或或“商商中含有字母而无法判定时，一中含有字母而无法判定时，一般需对字母的取值进行分类讨论。般需对字母的取值进行分类讨论。小结评价 比较法是证明不等式的根本方法,也是最重要的方法.习题习题2.1 课外作业课外作业P23 1、2、3、4
