1、返回 1.6 行列式按行行列式按行列列展开展开 返回 学习目的：降阶法计算高阶行列式 返回,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa3332232211aaaaa 3331232112aaaaa 3231222113aaaaa 返回 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。一般，将高阶行列式转化为低阶行列式后，计
2、算会更简便。一般，将高阶行列式转化为低阶行列式后，计算会更简便。问题：一个问题：一个n 阶行列式是否可以转化为假设干个阶行列式是否可以转化为假设干个 n1 阶行列式阶行列式 来计算？来计算？返回 定义定义1：在在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 ija所在的第所在的第 i 行和行和 第第 j 列划去后，余下的列划去后，余下的 n1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 ija的的 余子式。余子式。记为记为 ijM称称 ijjiijMA 1为元素为元素 ija的的代数余子式。代数余子式。例如：例如：44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaa
3、aaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231 MA.23M 返回.,6513102233323的值的值的余子式及代数余子式的余子式及代数余子式中，元素中，元素aaD 例例1 1 解解:求出行列式求出行列式 23M5123,13215 23A2332)1(M 13 .个代数余子式个代数余子式对应着一个余子式和一对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别行列式的每个元素分别 33M1023 3 33A3333)1(M 3 返回 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行列列的各元素与其对应的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即 ini
4、niiiiAaAaAaD2211 ni,2,1 定理定理1：证明：证明：先特殊，再一般先特殊，再一般 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。(1)假定行列式假定行列式D的第一行除的第一行除 11a外都是外都是 0。nnnnnaaaaaaaD21222211100 njnjjjjjAaAaAaD2211或或),2,1(nj返回 由行列式定义，由行列式定义，D 中仅含下面形式的项中仅含下面形式的项 nnnnjjjjjjjjjaaaa3232323211),1(,)1(nnnnjjjjjjjjjaaaa32323232),1(,11)1(其中其中 nnnjj
5、jjjjaaa 323232),1()1(恰是恰是 11M的一般项。的一般项。所以，所以，1111MaD 111111)1(Ma1111Aa 返回(2)设设 D 的第的第 i 行除了行除了 ija外都是外都是 0。nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 把把D转化为转化为(1)的情形的情形 把把 D 的第的第 i行依次与第行依次与第 1 i行，第行，第 2 i行，行，第第2行，第行，第1行交换；再将第行交换；再将第 j列依次与第列依次与第 1 j列，列，第第 2 j列，列，第第2列，第列，第1列交换，这样共经过列交换，这样共经过 2)1()1(jiji次交换行与交换列的步骤。次交换行
6、与交换列的步骤。返回 由性质由性质2，行列式互换两行，行列式互换两行列列行列式变号，行列式变号，得，得，nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,11,1,1200)1(ijijijijjiAaMa)1(返回(3)一般情形一般情形 nnnniniinaaaaaaaaaD212111211 nnnniniinaaaaaaaaa212111211000000 返回 nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa2211 ni,2,1 证毕。证毕。返回 例如，行列式
7、例如，行列式 277010353 D27013 D按第一行展开，得按第一行展开，得 27005 2777103 返回 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行一行列列化为仅含化为仅含1个非零元素，再按此行个非零元素，再按此行列列展开展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式。二阶行列式。计算高阶行列式的方法计算高阶行列式的方法 返回 例例1:1:计算行列式计
8、算行列式 3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 返回 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 练习：用降阶法练习：用降阶法 按行按列展开按行按列展开 计算行列式的值。计算行列式的值。2421164214112111 =57 返回 利用性质及展开定理计算行列式的利用性质及展开定理计算行列式的例题例题：例例1：29031132434124141 214 rr 232rr 29035500341281707 按第二列展开按第二列展开 2935508177)1(122 32cc 211
9、35008257 按第二行展开按第二行展开 113257)1(532 10)7577(5返回 例例2：axaaaaaxaaaaaxaaaaaxD nccc21)2(anx axaaaaxaaaaxaaa 1111返回 11312 rrrrrrn )2(anx axaxaxaaa2000020000201 1)2()2(naxanxaxaxax200020002)2(anx返回 行列式任一行行列式任一行列列的元素与另一行的元素与另一行列列的对应的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即 .,02211ikAaAaAainknikik 推论：推论：证明：证明：由定
10、理由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。代数余子式的乘积之和。在在 nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211 中，如果令第中，如果令第 i 行的元素等于行的元素等于 另外一行，譬如第另外一行，譬如第 k 行的元素行的元素 返回 那么，那么，inknikikAaAaAa2211nnnnknkkknkknaaaaaaaaaaaa21212111211第第i行行 右端的行列式含有两个相同的行，值为右端的行列式含有两个相同的行，值为 0。返回 综上，得公式综上，得公式 inknikikAaAaAa2211
11、），（当，（当）（当（当ikikD0 ,njnljljlAaAaAa2211 ），（当，（当）（当（当jljlD0 ,在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式，并不一定在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式，并不一定 简化计算，因为把一个简化计算，因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个个n1阶行列阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。在理论上是重要的。返回 055026115 5526)1(31
12、5028 .40 12rr 例例2:2:证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(返回 证明：证明：用数学归纳法用数学归纳法 21211xxD 12xx ,)(12 jijixx(1)当当n=2时时,结论成立。结论成立。(2)设设n1阶范德蒙德行列式成立，证阶范德蒙德行列式成立，证n阶也成立。阶也成立。112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD11 nnrxr211nnrxr112rxr 返回)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn ,)(11提出提出因子因子列展开，并把每列的公列展开，并把每列的公按第按第xxi223223211312111)()(nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式 返回)()()(211312jjininxxxxxxxx).(1jjinixx 证毕。证毕。
