1、2abab3.43.4根本不等式根本不等式:20022002年第年第2424届国际数学家大会届国际数学家大会 在北京举行在北京举行 20022002年第年第2424届国际数学家大会届国际数学家大会 在北京举行在北京举行 会标的设计源中国会标的设计源中国 古代数学家赵爽为了证古代数学家赵爽为了证 明创造于中国周代的勾明创造于中国周代的勾 股定理而绘制的弦图。股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的它既标志着中国古代的 数学成就，又像一只转数学成就，又像一只转 动的风车，欢送来自世动的风车，欢送来自世 界各地的数学精英们。界各地的数学精英们。A D B C E F G H a b 22ab你能在图
2、中找出一些面积的相等或你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗不等关系吗 正方形正方形ABCDABCD的面积为的面积为a a2 2b b2 2 4 4个直角三角形的面积和为个直角三角形的面积和为2ab2ab 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222a ba b 当当EFGHEFGH缩为一点，即缩为一点，即a=ba=b时，有时，有a a2 2b b2 22ab2ab abba222不等式：不等式：（当且仅当（当且仅当a=b时，等号成立）时，等号成立）222a ba b 特别地，如果特别地，如果a0a0、b0,b0,用
3、用 分别分别 代替代替a a、b b得：得：ab、2abab22（）+（）即：即：2 aba+b要特别注要特别注意条件意条件 写成：写成：(0,0)2a ba bab _ 要证要证 2abab只要证只要证 a b 显然是成立的，当且仅当显然是成立的，当且仅当_时，等号成立时，等号成立 下面证明不等式：下面证明不等式：(0,0)2a ba bab 证明：证明：2a b要证，只要证要证，只要证 _ _ _ _ _0ab 要证，只要证要证，只要证 2(_ _ _ _ _ _)02a bab abA B E D C a b?由“半径不小于半弦得：由“半径不小于半弦得：几何解释几何解释(0,0)2a b
4、a bab R Rt tACDACD R Rt tDCBDCB CDCD2 2=AC=AC BCBC CD=CD=ab2abab即即 (0,0)2a ba bab当且仅当当且仅当C C与圆心重合，即与圆心重合，即a=ba=b时，等号成立时，等号成立 根本不等式：根本不等式：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。注意：注意：不等式的不等式的适用范围适用范围。(0,0)2a ba bab 222a ba b 的适用范围呢？的适用范围呢？abab2算术平均数算术平均数 几何平均数几何平均数(1)(1)两个正数的算术平均数两个正数的算术平均数不小于不小于它们的几何平它们的几何平 均数均数.
5、(2)(2)两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小于不小于它们的等比中项它们的等比中项.根本不等式：根本不等式：(0,0)2a ba bab222a ba b 常用的不等式：常用的不等式：重要不等式：重要不等式：2()2abab2a bab 根本不等式的变形：根本不等式的变形：其中恒成立的是其中恒成立的是 _ 利用根本不等式判断大小关系利用根本不等式判断大小关系 例例1：设：设0a1，给出以下不等式给出以下不等式 1(1)(1)4aa221(2)121aa(1)(1)应用举例应用举例 解解:2(1)1(1)0 1,1 0(1)24a aaa aa 112a aa 当且仅当 即时，等号成立一正
6、一正 二定二定 三相等三相等 解解:22111aa 当且仅当时，等号成立 222221110,12(1)211aaaaa （2）显然22 2211(1)11aaa 而否则就有，等号不成立一正一正 二定二定 三相等三相等 其中恒成立的是其中恒成立的是 _ 例例1：设：设0a1，给出以下不等式给出以下不等式 1(1)(1)4aa221(2)121aa 应用举例应用举例 利用根本不等式判断大小关系利用根本不等式判断大小关系 (1)(1)归纳小结：用根本不等式要注意归纳小结：用根本不等式要注意 其中恒成立的是其中恒成立的是 _ 例例1：设：设0a1，给出以下不等式给出以下不等式 1(1)(1)4aa2
7、21(2)121aa(1)(1)应用举例应用举例 利用根本不等式判断大小关系利用根本不等式判断大小关系 1 1一正：各项均为正数一正：各项均为正数 2 2二定：两个正数积为定值，和有最小值。二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。两个正数和为定值，积有最大值。3 3三相等：求最值时一定要考虑不等式是否三相等：求最值时一定要考虑不等式是否 能取“，否那么会出现错误能取“，否那么会出现错误 例例2：以下各式中：以下各式中，用根本不等式可以得到用根本不等式可以得到 最小值最小值 4 的是的是 4.A yxx4.s i n(0)s i n2B yxxx1.8(0)2Cyxxx
8、C C 利用根本不等式求值域利用根本不等式求值域 应用举例应用举例 1.(1)1.(1)两个正数两个正数a,ba,b的积等于的积等于36,36,那么当那么当a=_,b=_a=_,b=_时时,它们的和它们的和 最小最小,最小值等于最小值等于_？(2)(2)两个正数两个正数a,ba,b的和等于的和等于18,18,那么那么 当当a=_,b=_a=_,b=_时时,它们的积最大它们的积最大,最大值等于最大值等于_？稳固练习稳固练习 8181 6 6 6 6 9 9 9 9 1212 1两个正数的两个正数的 积积 为定值为定值，和有最小值和有最小值 2两个正数的两个正数的 和和 为定值为定值，积有最小值积
9、有最小值 归纳小结归纳小结 12y xx函数的最小值是2.2.判断题判断题 (1)()(1)()(2)()(2)()222s in2 2s in稳固练习稳固练习 (3)()(3)()(14)y x x 11函数(0 x 012(1)1 3(1)xx 1121xxx 当且仅当即 时，有最小值3一正一正 二定二定 三相等三相等 感受总结感受总结 根本不等式根本不等式 1.应用根本不等式要注意的问题应用根本不等式要注意的问题 2.灵活对公式的正用、逆用、变形用灵活对公式的正用、逆用、变形用(0,0)2a ba bab2abab2()2abab2a bab 布置作业布置作业 P100 AP100 A组
10、组 第第1 1题题 P101 BP101 B组组 第第1 1题题 选做题：选做题：当当x0 x0时，求时，求 的最大值的最大值 xx1应用二：解决最大应用二：解决最大小小值问题值问题 分析：分析：1面积一定面积一定，求长与宽的和的最小值求长与宽的和的最小值 2_一定一定，求求_的最大值的最大值 长与宽的和长与宽的和 长与宽的积长与宽的积 联想：联想：2abab（左（左 右右）（左（左 右右）例例2、1用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜的矩形菜园园，问这个矩形的长问这个矩形的长、宽各为多少时宽各为多少时，所用篱所用篱笆最短笆最短。最短篱笆是多少最短篱笆是多少？2一段长为一段长
11、为36m的篱笆围成一矩形菜园的篱笆围成一矩形菜园，问问这个矩形的长这个矩形的长、宽各为多少时宽各为多少时，菜园的面积最菜园的面积最大大。最大面积是多少最大面积是多少？应用举例应用举例 例例2、1用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜的矩形菜园园，问这个矩形的长问这个矩形的长、宽各为多少时宽各为多少时，所用篱所用篱笆最短笆最短。最短篱笆是多少最短篱笆是多少？2一段长为一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园的篱笆围成一矩形菜园，问问这个矩形的长这个矩形的长、宽各为多少时宽各为多少时，菜园的面积最菜园的面积最大大。最大面积是多少最大面积是多少？应用二：解决最大应用二：解决最大小小值问题值
12、问题 解：解：(1)设长为设长为xm,宽为宽为ym,则则xy=100,篱笆的长为篱笆的长为2(x+y)m 由由 1 0 0 1 02x yx y可得可得 20 xy 2x+y40 当且仅当当且仅当x=y即即x=y=10时，等号成立时，等号成立 答答(略略)一正一正 二定二定 三相等三相等 应用举例应用举例 例例2、1用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜的矩形菜园园，问这个矩形的长问这个矩形的长、宽各为多少时宽各为多少时，所用篱所用篱笆最短笆最短。最短篱笆是多少最短篱笆是多少？2一段长为一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园的篱笆围成一矩形菜园，问问这个矩形的长这个矩形的长、宽各为
13、多少时宽各为多少时，菜园的面积最菜园的面积最大大。最大面积是多少最大面积是多少？应用二：解决最大应用二：解决最大小小值问题值问题 解：解：(2)设长设长xm,宽宽ym,那么那么2(x+y)=36,x+y=18面积为面积为xy m2 由由 1 8922x yx y可得可得 81xy 当且仅当当且仅当x=y即即x=y=9时，等号成立时，等号成立 答答(略略)应用举例应用举例 应用二：解决最大应用二：解决最大小小值问题值问题 归纳小结：归纳小结：1两个正数的两个正数的 积积 为定值为定值，和有最小值和有最小值 2两个正数的两个正数的 和和 为定值为定值，积有最大值积有最大值 应用要点：应用要点：例例2、1用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜的矩形菜园园，问这个矩形的长问这个矩形的长、宽各为多少时宽各为多少时，所用篱所用篱笆最短笆最短。最短篱笆是多少最短篱笆是多少？2一段长为一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园的篱笆围成一矩形菜园，问问这个矩形的长这个矩形的长、宽各为多少时宽各为多少时，菜园的面积最菜园的面积最大大。最大面积是多少最大面积是多少？应用举例应用举例
