1、考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 第十二节第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 1函数的单调性与导数函数的单调性与导数 在区间在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果如果 f(x)0，那么函数，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增 如果如果 f
2、(x)0，那么函数，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减 如果如果 f(x)0，那么，那么 f(x)在这个区间内为常数在这个区间内为常数 考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 2函数的极值与导数函数的极值与导数(1)函数的极小值函数的极小值 若函数若函数yf(x)在点在点xa处的函数值处的函数值f(a)比它在点比它在点xa附近其他附近其他点的函数值点的函数值都小都小，且，且 f(a)0，而且在点，而且在点 xa 附近的左侧附近的左侧 f(x)0，右侧，右侧 f(x)0，则，则 a 点叫做函数的极小值点，点叫做函数的极小值点，f(
3、a)叫做函数的极叫做函数的极小值小值(2)函数的极大值函数的极大值 若函数若函数yf(x)在点在点xb处的函数值处的函数值f(b)比它在点比它在点xb附近其他附近其他点的函数值点的函数值都大都大，且，且 f(b)0，而且在点，而且在点 xb 附近的左侧附近的左侧 f(x)0，右侧，右侧 f(x)0，则，则 b 点叫做函数的极大值点，点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极叫做函数的极大值，大值，极大值极大值和和极小值极小值统称为极值统称为极值 考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 3函数的最值与导数函数的最值与导数 求函数求函数 yf(x)在在a，b
4、上的最大值与最小值的步骤为：上的最大值与最小值的步骤为：(1)求函数求函数 yf(x)在在(a，b)内的内的极值极值；(2)将函数将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其比较，其中中最大最大的一个是最大值，的一个是最大值，最小最小的一个是最小值的一个是最小值 考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 4解决优化问题的基本思路是解决优化问题的基本思路是 考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 1若三次函数若三次函数 f(x)ax3x 在区间在区间(，)内是减函数，内
5、是减函数，则则 a 范围为范围为_ 解析：解析：f(x)3ax210 恒成立，恒成立，a0；当当 x(1,0)时，时，f(x)0.故故 f(x)在在(，1)，(0，)上单调增加，在上单调增加，在(1,0)上单调上单调减少减少 考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业(2)f(x)x(ex1ax)令令 g(x)ex1ax，则，则 g(x)exa.若若 a1，则当，则当 x(0，)时，时，g(x)0，g(x)为增函数，而为增函数，而 g(0)0，从而当，从而当 x0 时时 g(x)0，即，即 f(x)0.若若 a1，则当，则当 x(0，ln a)时，时，g(x
6、)0，g(x)为减函数，而为减函数，而 g(0)0.从而当从而当 x(0，ln a)时，时，g(x)0，即，即 f(x)0 时为增函数；时为增函数；f(x)0 时为减函数时为减函数 3已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或或 f(x)0)，x(a，b)，转化为不等式恒成立求解，转化为不等式恒成立求解 考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 1(2011 年安徽年安徽)设设 f(x)ex1ax2，其中，其中 a 为正实数为正实数(1)当当 a43时，求时，求 f(x)的极值点；的极值点；(2)
7、若若 f(x)为为 R 上的单调函数，求上的单调函数，求 a 的取值范围的取值范围 解析：解析：对对 f(x)求导得求导得 f(x)ex1ax22ax 1ax2 2，(1)当当 a43时，若时，若 f(x)0，则，则 4x28x30，解得，解得 x132，x212，考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 结合结合，可知，可知 x ，12 12 12，32 32 32，f(x)0 0 f(x)极大值极大值 极小值极小值 所以，所以，x132是极小值点，是极小值点，x212是极大值点是极大值点(2)若若 f(x)为为 R 上的单调函数，同上的单调函数，同 f
8、(x)在在 R 上不变号，结合上不变号，结合与条件与条件 a0，知，知 ax22ax10 在在 R 上恒成立，因此上恒成立，因此 4a24a4a(a1)0，由此并结合，由此并结合 a0，知，知 0a1.考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 热点考向二热点考向二 利用导数研究函数的极值与最值利用导数研究函数的极值与最值 考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业(2011 年江西年江西)设设 f(x)13x312x22ax.(1)若若 f(x)在在 23，上存在单调递增区间，求上存在单调递增区间，求 a 的取值范围；的
9、取值范围；(2)当当 0a2 时，时，f(x)在在1,4上的最小值为上的最小值为163，求，求 f(x)在该区在该区间上的最大值间上的最大值【解析】【解析】(1)由由 f(x)x2x2a x122142a，当当 x23，)时，时，f(x)的最大值为的最大值为 f 23292a；考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 令令292a0，得，得 a19.所以，当所以，当 a19时，时，f(x)在在 23，上存在单调递增区间上存在单调递增区间(2)令令 f(x)0，得两根，得两根 x11 18a2，x21 18a2.所以所以 f(x)在在(，x1)，(x2，)上
10、单调递减，在上单调递减，在(x1，x2)上单上单调递增调递增 当当 0a2 时，有时，有 x11x24，所以所以 f(x)在在1,4上的最大值为上的最大值为 f(x2)，考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 又又 f(4)f(1)2726a0，即，即 f(4)f(1)所以所以 f(x)在在1,4上的最上的最小值为小值为 f(4)8a403163.得得 a1，x22，从而，从而 f(x)在在1,4上的最大值为上的最大值为 f(2)103.【点评】【点评】1.利用导数研究函数的极值的一般流程：利用导数研究函数的极值的一般流程：考考点点自自主主整整合合 热热
11、点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 2求求 f(x)在在a，b上的最大值和最小值的步骤：上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数求函数 yf(x)在在(a，b)内的极值内的极值(2)将函数将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值 f(a)、f(b)比较，其比较，其中最大的中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值一个是最大值，最小的一个是最小值 考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 2(2011 年北京年北京)已知函数已知函数 f(x)(xk)ex.(1)求求 f(x)的单调区间；的单调区间；(2)求求 f(x)在
12、区间在区间0,1上的最小值上的最小值 解析：解析：(1)f(x)(xk1)ex.令令 f(x)0，得，得 xk1.f(x)与与 f(x)的情况如下：的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0 f(x)ek1 所以，所以，f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是；单调递增区间是(k1，)考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业(2)当当 k10,即即 k1 时，函数时，函数 f(x)在在0,1上单调递增，上单调递增，所以所以 f(x)在区间在区间0,1上的最小值为上的最小值为 f(0)k；当当 0k11，即，即 1k2 时，时
13、，由由(1)知知 f(x)在在0，k1)上单调递减，在上单调递减，在(k1,1上单调递增，所上单调递增，所以以 f(x)在区间在区间0,1上的最小值为上的最小值为 f(k1)ek1；当当 k11，即，即 k2 时，函数时，函数 f(x)在在0,1上单调递减，上单调递减，所以所以 f(x)在区间在区间0,1上的最小值为上的最小值为 f(1)(1k)e.考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业 热点考向三热点考向三 利用导数解决实际生活中的最优化问题利用导数解决实际生活中的最优化问题 考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业
14、业 某造船公司年造船量是某造船公司年造船量是 20 艘，已知造船艘，已知造船 x 艘的产值函数艘的产值函数为为 R(x)3 700 x45x210 x3(单位：万元单位：万元)，成本函数为，成本函数为 C(x)460 x5 000(单位：万元单位：万元)，又在经济学中，函数，又在经济学中，函数 f(x)的边际函数的边际函数 Mf(x)定定义为义为 Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数求利润函数 P(x)及边际利润函数及边际利润函数 MP(x)；(提示：利润产值提示：利润产值成本成本)(2)问年造船量安排多少艘时，问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？可使公司造船的年利润最大
15、？(3)求边际利润函数求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？本题中的实际意义是什么？考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业【解析】【解析】(1)P(x)R(x)C(x)10 x345x23 240 x5 000(xN*，且，且 1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30 x260 x3 275(xN*，且，且 1x19)(2)P(x)30 x290 x3 240 30(x12)(x9)，x0，P(x)0 时，时，x12，当当 0 x12 时，时，P(x)0，当，当 x12 时，
16、时，P(x)0，x12 时，时，P(x)有最大值有最大值 即年造船量安排即年造船量安排 12 艘时，可使公司造船的年利润最大艘时，可使公司造船的年利润最大 考考点点自自主主整整合合 热热点点考考向向 聚聚集集 高高效效课课时时作作业业(3)MP(x)30 x260 x3 275 30(x1)23 305.所以，当所以，当 x1 时，时，MP(x)单调递减，单调递减，所以单调减区间为所以单调减区间为1,19，且，且 xN*.MP(x)是减函数的实际意义，随着产量的增加，每艘利润与前一是减函数的实际意义，随着产量的增加，每艘利润与前一艘利润比较，利润在减少艘利润比较，利润在减少【点评】【点评】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求解实际问况相符合用导数求解实际问题中的最大题中的最大(小小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据值时，如果函数
