1、高校应用数学学报2023,38(1):121-126-连续偏序集的网式刻画鄢凯艳,张文锋(江西科技师范大学 数学与计算机科学学院,江西南昌 330038)摘要:利用cut算子,在偏序集上引入网的下极限收敛概念,讨论了它的一些性质,特别地,对任意包含于2-拓扑的序相容拓扑,证明了一偏序集是-连续的当且仅当S-收敛是拓扑的当且仅当它是交-连续的且下极限收敛是拓扑的.关键词:-连续偏序集;S-收敛;下极限收敛中图分类号:O153;O189文献标识码:A文章编号:1000-4424(2023)01-0121-061引言无论是从数学的角度还是从计算机科学的角度,Domain理论都引起了广泛的关注1-2.
2、Domain 理论研究的一个重要方面是尽可能地将连续格(domain)理论推广到更为一般的格序结构上去.在文3中,Ern e利用cut算子将连续domain推广至一般偏序集情形,引入了s2-连续偏序集的概念并将连续domain中大部分重要结论推广至偏序集上,其后他又将s2-连续偏序集推广至更一般的序相容拓扑上并引入了-连续偏序集的概念(参看4).在Domain理论中,各种收敛类被介绍并研究(参看2-3,5-9),通过不同的收敛结构,不仅使得许多重要的连续概念被刻画,且使得拓扑和序的概念和思想相互渗透.文2引入了dcpo上网的S-收敛和下极限收敛,证明了一dcpo是连续的当且仅当S-收敛关于Sc
3、ott拓扑是拓扑的,以及在连续domain中,下极限收敛关于Lawson拓扑是拓扑的.在文6中,阮小军和徐晓泉利用cut算子将网的S-收敛推广至一般偏序集情形并证明了一偏序集是s2-连续的当且仅当S-收敛关于2-拓扑是拓扑的.在本文中,利用cut算子,在偏序集上引入了网的下极限收敛概念,讨论了它的一些性质,特别地,对任意包含于2-拓扑的序相容拓扑,证明了一偏序集是-连续的当且仅当S-收敛是拓扑的当且仅当它是交-连续的且下极限收敛是拓扑的.收稿日期:2021-10-13修回日期:2022-04-06通讯作者,基金项目:国家自然科学基金(12261040;11701238);江西省自然科学基金(2
4、0202BABL211002);江西省教育厅(江西科技师范大学)研究生创新基金(YC2020-S570)DOI:10.13299/ki.amjcu.002256122高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期2 预备知识设P为偏序集.对任意x P,A P,令x=y P:x y,A=aAa;对偶地可以定义x和A.令A和A分别为A的全体上界和全体下界之集.记A=(A)并称为P上的cut算子.设P为偏序集.(P)=A P:A=A称为P 上的Alexandroff拓扑.U P称为Scott开集,若满足(1)U=U;(2)对任意定向集D P,当D存在且D U时,有D U=.全体Scott开集构成的拓扑
5、称为Scott拓扑,记为(P).由Px为子基元生成的拓扑称为上拓扑,记作(P);对偶地可以定义下拓扑(P).(P)=(P)(P)及(P)=(P)(P)分别称为P上的Lawson拓扑和区间拓扑.P上一拓扑称为序相容的,若(P)(P).定定定义义义2.110设J是定向集,P是偏序集,x:J P为J上取值于P的函数,令xj=x(j),则称(xj)jJ为P中的网.设A是P的子集,若存在j J,使得当i j时有xi A,则称网(xj)jJ终在A中.定定定义义义2.210设(xj)jJ和(yk)kK是偏序集P中的网,若存在映射f:K J满足(i)k K,yk=xf(k);(ii)j J,k K使得当l k
6、时有f(l)j,则称(yk)kK为(xj)jJ的子网.定定定义义义2.310设(X,)为拓扑空间,(xj)jJ是X中的网,任给x X,称网(xj)jJ关于拓扑收敛到x,记为(xj)jJ x,若网(xj)jJ终在x的任意开邻域U内,即存在j0 J,使得当j j0时有xj U.引引引理理理2.110设(X,)为拓扑空间,x X,A X,clA为A在X中的闭包,则x clA当且仅当存在A中的网收敛于x,即存在A中的网终在x的每一邻域内.定定定义义义2.43设P为偏序集,U P称为2-开的,若对任意定向集D P,当D U=时,有D U=.由P上所有2-开集构成的拓扑称为2-拓扑,记为2(P).2(P)
7、=2(P)(P)称为P上的2-拓扑,显然(P)2(P)(P)且(P)2(P)(P).定定定义义义2.56设P是偏序集,(xj)jJ是P中的网.(1)x P称为网(xj)jJ的一个终下界,若存在i J,使得对任意i j时有x xi.记ELB(xj)jJ为网(xj)jJ的全体终下界之集.(2)x P称为网(xj)jJ的S-极限,若存在定向集D ELB(xj)jJ使得x D.记为x Slimxj.设P是偏序集,令S=(xj)jJ,x):x Slimxj,则O(S)=U P:若(xj)jJ,x)S且x U,则(xj)jJ终在U中为P上的一个拓扑.在文6中,阮小军和徐晓泉证明了O(S)=2(P).定定定
8、义义义2.64,11设P为偏序集,为P上序相容拓扑.鄢凯艳等:-连续偏序集的网式刻画123(1)P称为-连续的,若x P,w(x)=y P:x inty是定向的且x w(x).(2)P称为交-连续的,若x P,Y P,当x clY 时,有x cl(x Y).定定定义义义2.73设P为偏序集.(1)x,y P,称x way below y,记为x y,若对任意定向集D P,y D x D.令x=y P:y x.(2)P称为s2-连续的,若x P,x (x)且x是定向的.定定定义义义2.812设P为偏序集.(1)在P上定义一个关系如下:x y y int(P)x.令i(x)=u P:u x.(2)
9、P称为超连续的,若x P,x=i(x)且i(x)是定向的.注注注2.1若X x,则x=X x X.定定定理理理2.14设P为偏序集,是P上序相容拓扑,且 2(P).则下述条件等价:(1)P为-连续的;(2)x P,U ,x U y P使x inty y U;(3)P是s2-连续偏序集,且=2(P).引引引理理理2.211设P为交-连续偏序集,若U (P),则U .3 主要结果定定定理理理3.1设P是偏序集,是P 上序相容拓扑,且 2(P).则下列两条件等价:(1)P是-连续偏序集;(2)S-收敛关于是拓扑的,即x P及P中网(xj)jJ,x Slimxj当且仅当(xj)jJ x.证证证(1)(
10、2):一方面,设x Slimxj,则由 2(P)=O(S),有(xj)jJ x.另一方面,设(xj)jJ x,下证w(x)=y P:x inty ELB(xj)jJ.设y w(x),由(xj)jJ x,有(xj)jJ终在inty 中,即存在k J,使得当i k时有xiinty y中.故y ELB(xj)jJ.由(1),w(x)是定向的且x w(x).故x Slimxj.(2)(1):令W 且x W.定义I=(U,a)N(x)P:a U,其中N(x)=U :x U.在I上定义预序关系“”:(U,a)(V,b)V U.显然(I,)为定向集.对任意i=(U,a)I,令xi=a.则(xi)iI为P中一
11、网,且(xi)iI x.由(2),x Slimxj.因此存在定向集D ELB(xi)iI使得x D.由 2(P),有DW=,即存在d DW.又由d ELB(xj)jJ,则存在k=(V,b)I,使得当i=(C,c)(V,b)=k时,有d xi=c.特别地,对任意c V 有(V,c)(V,b),从而V d.因此x intd d W.由定理2.1,P为-连续偏序集.特别地,当=2(P)或=(P)时,由3,Theorem 2.13和12,Proposition 3.5,容易看到2(P)-连续偏序集及(P)-连续偏序集正好分别是s2-连续偏序集及超连续偏序集.因此由定理3.1,有下述两个推论.124高
12、校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期推推推论论论3.16设P是偏序集,以下两条件等价.(1)P是s2-连续偏序集;(2)S-收敛关于2-拓扑是拓扑的.推推推论论论3.2设P是偏序集,以下两条件等价:(1)P是超连续偏序集;(2)S-收敛关于上拓扑是拓扑的.定定定义义义3.1设P为偏序集,(xj)jJ是P中的网,x P,若满足:(1)x Slimxj;(2)对任意z ELB(xj)jJ,有z x.则称x是网(xj)jJ的下极限,记作x=limxj.定定定义义义3.2设P为偏序集,(xj)jJ是P中的网.若对(xj)jJ中的任意子网(yk)kK,有x=limyk,则称网(xj)jJ下极限收敛于
13、x,记作x Llimxj.设P是偏序集,令=(xj)jJ,x):x Llimxj,则O()=U P:若(xj)jJ,x)且x U,则(xj)jJ终在U中为P上的一个拓扑.命命命题题题3.1设P为偏序集,x P,(xj)jJ是P 上的网,则下述两条件等价.(1)x Llimxj;(2)x=limxj,且若z为共尾下界,即对任意j J,存在i j使得z xi,则有z x.证证证(1)(2):考虑(xj)jJ作为其自身子网的时候,直接可得x=limxj.设z 为共尾下界,则xi:i J且xi z为(xj)jJ的一子网.从而z为该子网的一终下界,故z x.(2)(1):令(yk)kK是(xj)jJ的一
14、子网,其中yk=xf(k).令z ELB(yk)kK,则存在m K使得对任意k m时有z yk.由子网的定义,集合f(k):k m在J中是共尾的,且对任意k m有z xf(k)=yk.因此由假设可得z x.故ELB(yk)kK x.对任意y ELB(xj)jJ,则存在n J使得对任意i n时有y xi,即xi y.由子网的定义,存在l K使得对任意k l时有f(k)n.则yk=xf(k):k l y.因此y ELB(yk)kK.故x=limyk.定定定理理理3.2设P是偏序集,则2(P)O().若P是s2-连续偏序集,则2(P)=O().证证证先证2(P)O().设U 2(P),(xj)jJ,
15、x)且x U.因为limxj=x,则存在定向集D ELB(xj)jJ使得x D.由x DU,有DU=,即d D ELB(xj)jJ且d U.从而j J使得当i j时有d xi,又由U=U,有xi U.故(xj)jJ终在U中,因此U O().再证(P)O().只需证对任意y P,有 Py O().设(xj)jJ,x)且x Py.由命题3.1,y不是共尾下界,即k J使得对任意j k有y xj.因此,Py O().故2(P)O().设P是s2-连续偏序集,下证O()2(P).假设存在U O()但U/2(P),则PU不是2-闭的,即cl2(P)(PU)PU,从而x cl2(P)(PU)使得x/PU.
16、由引理2.1,存在PU中的网(xj)jJ使得(xj)jJ2(P)x.下证 x Llimxj.(i)因为2(P)2(P),由推论3.1,x Slimxj.鄢凯艳等:-连续偏序集的网式刻画125(ii)z ELB(xj)jJ,若z x,则x Pz (P)2(P).由(xj)jJ2(P)x,(xj)jJ终在Pz中,即m J使得任意j m有xj Pz.又由z ELB(xj)jJ,n J使得任意j n有xj z.因为J是定向的,k J使得m,n k.因此xk(Pz)z,矛盾.故z x.(iii)设z为共尾下界,则显然有z x.由命题3.1,有x Llimxj.从而(xj)jJ,x).因为x U O(),(xj)jJ终在U中,即p J使得任意i p 时有xi U,矛盾于(xj)jJ为PU 中的网.故U 2(P).定定定理理理3.3设P是偏序集,是P 上序相容拓扑,且 2(P).则下列两条件等价.(1)P是-连续偏序集;(2)P是交-连续偏序集,且下极限收敛关于拓扑 (P)是拓扑的,即x P及P中网(xj)jJ,x Llimxj当且仅当(xj)jJ(P)x.证证证(1)(2):先证P是交-连续的.对
