1、第 卷 第 期 年 月世 界 地 震 工 程 .收稿日期:修回日期:基金项目:国家自然科学基金项目()广西自然科学基金项目()广西科技基地和人才专项()作者简介:邹万杰()男副教授博士主要从事结构抗震抗风及结构振动控制的研究:.文章编号:():./.基础隔震耗能结构基于 谱的随机响应简明解法研究邹万杰覃永安李创第经承贵韩 红(广西科技大学 土木建筑工程学院广西 柳州)摘 要:针对在 谱激励下设置广义 阻尼器的多自由度基础隔震耗能结构进行响应分析比较复杂的问题提出一种求解响应的简明解法 首先联立广义 阻尼器本构方程与原结构运动方程重构结构运动方程其次利用复模态法将运动方程解耦获得了系列响应的特征
2、值以及复模态参与系数进而获得结构系列响应的统一表达式最后计算激励功率谱与响应功率谱的二次正交式获得了结构响应 阶谱矩及方差的简明解析解 算例计算了一多自由度结构响应的方差及 阶谱矩将计算结果与虚拟激励法进行比较证明本文所提方法的正确性同时具有更高的计算效率关键词:基础隔震 谱广义 阻尼器响应功率谱二次正交法中图分类号:.文献标识码:():.:第 期邹万杰等:基础隔震耗能结构基于 谱的随机响应简明解法研究引言长期以来地震灾害给人类的生活带来了严重的困扰不仅影响着人们的正常工作还威胁着人类的生命安全 地震曾经造成的核泄漏、交通枢纽破坏和房屋损坏等重大安全事故引发了巨大的财产损失与人员伤亡 近年来我
3、国自然灾害频发地震造成的灾害尤为明显如.汶川地震和青海门源.级地震等因此众多学者一直致力于地震对结构影响的研究 为了研究地震动对结构的影响国内外众多学者提出了许多随机地震动模型 在 年首次提出白噪声模型认为地震动功率并不随着频率的变化而改变即功率谱密度图像为一条水平的直线大大简化了对结构的动力响应分析促进了人们对地震动模型的研究此后日本学者 和 认为白噪声过程能量在频域内的均匀分布并不符合实际情况因此提出了一种过滤的白噪声模型即 模型该模型考虑了场地频率和阻尼比对频域能量分布的影响弥补了白噪声模型未能考虑场地动力特征对于地震动影响的缺陷更符合工程实际应用对于理论研究有着深远的意义该模型在地震工
4、程界至今仍被广泛使用为了减缓地震对建筑物造成的影响一味地依靠增加结构的刚度并不能取得良好的效果因此工程技术人员常在结构中加入合适的阻尼器来耗散地震输入的能量如调谐质量阻尼器、调频液体阻尼器和粘弹性阻尼器等 而作为耗能减振装置的粘弹性阻尼器由于其减振效果好和造价低廉等特点且其相较于其他类型阻尼器而言安装方便且需要的空间较小故受到广大工程技术人员与研究者的重视应用越来越广泛为了方便研究国内外学者对于粘弹性阻尼器提出了各种力学模型如 模型、模型、广义模型和分数导数模型等等 其中:广义 模型能够通过调整参数更好地描述该类型阻尼器的粘弹性行为有更广的适用范围基础隔震结构自被提出以来就受到了广大工程技术人
5、员的青睐其主要原理是在上部结构与基础间加入隔震装置削弱地震向上部结构传递能量其中橡胶隔震支座被广泛应用 实践证明:与抗震结构相比基础隔震结构表现出其独特的优越性在数次大地震中上部结构都得到了很好的保护如美国北岭地震和中国台湾海峡地震美国北岭地震中有记录表明:采用了隔震技术的南加州医院顶层加速度峰值仅为基础的一半院内设备设施得到了良好的保护 因此众多的国内外学者对抗震、隔震结构进行了深入的研究并且取得了极大的进展促进了各国建筑设计规范的完善 然而地震动属于随机激励因此基于随机振动理论分析基础隔震结构的响应仍有重要的研究价值针对使用传统方法分析隔震耗能结构在随机地震激励下计算复杂和耗时较长等问题本
6、文提出了一种简明解法 联立广义 阻尼器本构方程与原结构运动方程重构结构运动方程再利用复模态法将重构所得的结构运动方程解耦获得响应的统一表达式 其次计算激励功率谱与响应功率谱的二次正交式最后根据随机振动理论获得了结构响应 阶谱矩及方差 该求解过程为解析求解且无假设和近似解的形式相较于传统形式更加简洁为隔震耗能结构在随机地震动激励下的响应分析在工程中的应用打下良好基础耗能结构的地震动方程.结构运动方程设 层结构的质量、阻尼和刚度的矩阵分别为、和 各层均设置广义 阻尼器上部结构的阻尼力及其位置矩阵分别为()和 结构计算简图如图 所示在地震激励()作用下的运动方程为:()()()()()()式中:为结
7、构底板的质量和 分别为隔震装置提供的刚度和阻尼()为隔震层阻尼器提供的阻尼力 是结构各质点相对于结构底板的位移向量为元素均为 的向量()()()()“”表示矩阵转置世 界 地 震 工 程第 卷图 结构计算简图.令 将式()和式()改写为:()()式中:()()().广义 阻尼器本构关系广义 模型阻尼器是由一个线性弹簧和一系列的 模型单元并联而成广义 模型阻尼器计算简图如图 所示 模型阻尼器计算简图如图 所示 图 广义 阻尼器计算简图 图 阻尼器计算简图 .广义 阻尼器本构关系为:()()()()()()式中:()和()分别为隔震层和第 层阻尼器的总阻尼力 为阻尼器平衡刚度 和 为每个单元的阻尼
8、力 其中:为楼层数目 为广义 阻尼器中标准 阻尼器单元的个数将式()写成矩阵形式有:第 期邹万杰等:基础隔震耗能结构基于 谱的随机响应简明解法研究()()()()式中:为元素均为 的 阶向量 将式()简写为:()()式中:为()阶向量 各分支 阻尼器的微分关系为:()()()()()()()式中:和 分别为第 个标准 阻尼器单元的刚度和阻尼将式()写成矩阵形式有:()式中:为 阶 对 角 矩 阵 /为 阶 向 量 将式()简写为:()式中:为()()阶对角阵 为()()阶矩阵.重构结构运动方程联立式()和式()重构结构的运动方程:()()引入状态变量:()联立式()和式()写成状态方程:()其
9、中:式中:为元素均为 的()()阶矩阵 为元素均为 的()()阶矩阵 为元素均为 的()阶向量 为元素均为 的()阶向量 为 阶单位矩阵 为 阶单位矩阵 为状态方程中矩阵 和 的阶数世 界 地 震 工 程第 卷结构响应统一表达式由于式()为非经典系统故引入复模态变换进行计算 存在左和右特征向量 使 和 对角化特征值矩阵 满足关系如下:()引入复模态变换:()式中:为广义复模态向量联立式()、式()和式()化为复模态响应方程:()式中:将式()写成分量形式:()式中:、和 分别为、和 的分量根据虚拟激励法式()的频域解为:()()()式中:()为地震动加速度 的功率谱密度函数结合复模态法和虚拟激
10、励法联立式()、式()和式()求得基础耗能隔震系统响应的频域解如下上部结构第 层相对于隔震层的位移频域解()和速度频域解():()()()()()()()()隔震层相对于地面的位移频域解()和速度频域解():()()()()()()()()第 层的层间位移频域解():()()()()()()()()()()()由式()隔震层阻尼力频域解()为:()()()()比较系统各响应式()式()均为()的函数故在频域内将系统响应写为统一表达式:()()()式中:为第 个广义模态变量()的模态参与系数第 期邹万杰等:基础隔震耗能结构基于 谱的随机响应简明解法研究二次正交化求解.频率响应函数的二次正交化根据
11、虚拟激励法和式()系统各响应()的功率谱可表示为:()()()()式中:()为()的共轭项()()联立式()和式()得:()()()()()()式中:由频率响应函数式()的对称性重写为:()()将频响函数式()最终简写为:()().谱的二次正交化本文采用 谱随机地震动模型该模型功率谱传统表达式如下:()()()式中:和 分别代表场地土的卓越频率和阻尼比 为地震动强度常数鉴于 谱的传统表达式复杂且难以通过积分运算获得结构响应故使用留数定理得到谱的二次正交式如下:()()式中:()().响应功率谱的二次正交化将式()和式()代入式()得到系统响应功率谱:()()()()()式中:()()由于频响函
12、数和 谱都是二次正交的形式因此响应功率谱也是二次正交的形式响应谱矩和方差根据随机振动理论系统响应的 阶谱矩定义为:()()将式()代入式()得系统响应谱矩:世 界 地 震 工 程第 卷 ()()式中:()可获得 和 如下:()()()将式()代入式()可得系统响应 阶谱矩:()()将式()代入式()可得系统响应 阶谱矩:()()根据随机振动理论系统响应变化率的 阶谱矩等于响应的 阶谱矩即:()式中:系统响应位移的方差等于其 阶谱矩系统响应速度的方差等于其 阶谱矩即:()()算例某中学教学楼地上 层每层楼高度皆为.即.教学楼总高 隔震支座设置于基础底部为橡胶隔震支座 地震烈度为 度 类场地 上部
13、结构为全现浇钢筋混凝土框架结构每层质量为抗侧刚度为/结构阻尼比.隔震层质量 隔震层刚度为/隔震层阻尼比 .隔震层与上部结构每层均设置相同的广义 阻尼器其参数为:分支一标准 阻尼单元的刚度./松弛时间.分支二标准 阻尼单元的刚度./松弛时间.阻尼器平衡刚度./根据文献功率谱参数为:场地卓越频率./场地阻尼比.功率谱强度因子./.功率谱二次正交式验证图()()分别绘制了地面加速度功率谱、隔震层绝对位移功率谱、隔震层绝对速度功率谱和隔震层阻尼力功率谱 可以看出:二次正交化 功率谱、响应功率谱与传统 功率谱、虚拟激励法(公式推导见附录)计算的功率谱均重合验证了本文研究的简明解法的正确性.谱矩计算精度和
14、效率图()()分别绘制了结构位移 阶谱矩和层间位移 阶谱矩 虚拟激励法积分区间均为取积分步长分别为./、./和./与本文计算结果对比由图像可知:响应谱矩应用虚拟激励法计算时随着积分步长的减小所得图像逐渐与本文简明解法的图像重合验证了本文方法计算谱矩的正确性第 期邹万杰等:基础隔震耗能结构基于 谱的随机响应简明解法研究图 功率谱对比图.图 谱矩对比图.由于虚拟激励法计算谱矩时采用数值积分因此其计算精度与积分步长和积分区间的选择有密切关系世 界 地 震 工 程第 卷表 为本文方法与虚拟激励法计算的隔震层位移 阶谱矩计算精度与计算效率其中积分步长取为./可以看出:虚拟激励法随着积分区间的逐渐增大计算
15、得到的谱矩与本文二次正交化法所得结果误差值减小验证了本文方法的正确性且本文方法计算 阶谱矩耗时更短表 隔震层位移 阶谱矩计算精度和效率 计算方法/()/(/)/(/)计算效率/虚拟激励法与本文方法误差值/()/(/)/(/)本文方法.注:、分别代表虚拟激励法积分区间取、“”表示无结论本文针对基础隔震结构设置广义 阻尼器基于 谱下的地震动响应进行了研究结论如下:)本文利用复模态法、二次正交化法成功获得了结构响应谱矩及方差的简明表达式该表达式因无需进行数值积分运算故具有更高的计算效率)在最后的算例中当虚拟激励法积分步长取值足够大、积分间距取值足够小各响应功率谱图像与虚拟激励法所算结果均吻合验证了本
16、文的正确性且本文方法具有更好的计算精度)由于其他平稳随机地震谱均是在 谱基础上的延伸故本文方法可以推广至结构在各类平稳随机地震谱下随机响应解法的研究具有良好的实用性附录:广义 阻尼器耗能结构的虚拟激励法根据虚拟激励法文中的式()可表示为:()()()()()式中:为虚数单位 ()()()()在式()中需要求的未知数为()和()将文中的式()用频域形式表示:()()()()将文中的式()用频域形式表示:()()()()将式()代入式()可得:()()()联立式()和()可得()的频域解:()()()上部结构第 层的层间位移频域解()为:()()()()()()()将频域解()和()用统一符号()
17、表示则系统响应()的功率谱可表示为:()()()()第 期邹万杰等:基础隔震耗能结构基于 谱的随机响应简明解法研究式中:()是()的共轭项则系统响应()的功率谱可表示为:()()()将式()代入式()可得系统响应的 阶谱矩:()()参考文献:姜丙瑞 金波 高永武 等.考虑重力水箱影响的核电安全壳厂房地震反应分析.世界地震工程 ():.():.()黄勇 李国昌 宋光有 等.年日本福岛.级地震铁路系统震害与启示.世界地震工程 ():.():.()王想 周依 陈婷 等.年 月 日唐山.级地震分析.地震工程学报 ():.():.()周港圣 周游 周正华 等.山脊地形效应的强震动观测研究.地震工程学报
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