1、机械制造宋孝宗等基于改进牛顿迭代法的混联机构正解分析基金项目:国家自然科学基金资助项目()第一作者简介:宋孝宗()男甘肃会宁人副教授硕士研究生导师博士研究方向为超精密加工工艺及装备、混联机床研究等.:./.基于改进牛顿迭代法的混联机构正解分析宋孝宗王笑荣付海涛赵慧龙(兰州理工大学 机电工程学院甘肃 兰州)摘 要:为解决 混联机构运动学正解求解困难、求解效率低等问题提出一种利用 神经网络改进牛顿迭代的算法 运用闭环矢量法建立混联机构的正向运动学方程 在混联机构的运动学逆解中选取适量的训练样本通过 神经网络进行训练将训练后的样本估计值作为迭代初值进行运动学正解的迭代 与牛顿迭代算法的结果相对比该算
2、法具有更高的精度和更快的迭代速度关键词:混联机构正向运动学 神经网络牛顿迭代法中图分类号:文献标志码:文章编号:()():.:引言混联机床在射流抛光的过程中要实时对喷嘴的位姿变化进行精确控制否则将会破坏自由曲面影响其表面粗糙度 因此混联机构的位置正解分析变得尤为重要 目前国内外对并联机器人机构位置正解主要有解析法和数值法 解析法通过消元得到一个一元多项式求解过程比较繁琐数值法一般是通过牛顿迭代法进行求解通过给定特定的迭代初值将非线性方程组逐步转化成线性方程进行求解但是比较依赖于初值的选取如果初值选取得不合适会造成迭代结果的不收敛近年来随着智能算法的发展越来越多的智能算法应用在求解机构的运动学上
3、 宋伟刚等利用 神经网络算法求解了 机构的运动学正解 朱齐丹等利用 神经网络混合算法求解了 机构的运动学正解 但是神经网络算法的精度往往受限于训练样本的个数数量越多精度越高运算速度却会下降为了弥补上述算法的不足本文在结合 神经网络和牛顿迭代两种算法的基础上提出了一种利用神经网络改进的牛顿迭代算法 利用神经网络对混联机构的运动学逆解进行训练将预测的估计值作为牛顿迭代初值进行迭代求解计算与普通的牛顿迭代法相比有更高的精度和更快的迭代速度 混联抛光机构运动学分析.混联抛光机构介绍 纳米胶体射流抛光混联机器人的总体设计是根据纳米胶体射流抛光小型复杂曲面所需技术指标来确定的 其整体结构呈上下分布串联平台
4、在上并联平台在下并联部分的静平台与串联平台的下底板相连三维模型如图 所示 串联平台为十字滑台可实现沿、轴两个方向的平移并联平台采用 结构由伺服电机带动 个电动缸进行伸缩运动最终复合成绕、轴的转动和 轴的升降运动 在动平台上安装多种射流抛光喷头即可对自由曲面进行抛光机械制造宋孝宗等基于改进牛顿迭代法的混联机构正解分析图 混联抛光机器人三维模型图.混联抛光机构运动学正解数学模型图 为 混联抛光机构的结构简图My0C0z0 x0A3A2L3P3L2A1L1P1P2C1y1z1x1j3CxyzzMzNN图 混联机构结构简图如图 所示在 平台质心处建立绝对坐标系 坐标原点 与 平台质心 点重合 平台质心
5、点 与点 的垂直距离为 定平台 和动平台是两个相似的等边三角形其各自的几何中心分别为点 和点 且都在同一条轴线上其中点 与点 的垂直距离为 根据右手定则分别在定、动平台的几何中心处建坐标系 条支链简化为伸缩杆分别用、表示定、动平台的外接圆半径分别为 和 因此每条支链都可以写成图 中红线所表示的封闭矢量环(本刊黑白印刷相关疑问请咨询作者)()式中动坐标系原点 在绝对坐标系下的位置矢量为 用、分别表示在定平台坐标系下的向量 和 表示在动坐标系下的向量 表示各旋转副轴线在定平台坐标系下的单位向量 上式可改写为()式中的、还有轴线向量 可由几何关系得出而为动坐标系在定平台坐标系下的旋转矩阵可由欧拉角表
6、示即()式中:以此类推由于每条支链都会受到转动副的约束且转动副轴线单位向量 始终与支链垂直所以可得支链的约束方程()()由上式可得到、关于、的表达式为()()()由于 阶矩阵只能表示纯旋转运动为了表示混联机构的平移运动所以需要将其广义化为 阶的齐次坐标即()分析图 可知定平台坐标系相对于绝对坐标系只有、的平移而 并联平台是整体随 平台移动所以动平台相对于定平台没有相对运动因此动平台坐标系相对于绝对坐标系的变换矩阵为()式中为定平台坐标系相对于绝对坐标系的平移变换矩阵 因此在绝对坐标系下混联机构驱动杆长为:()()()()式中、分别为点、在绝对坐标系下的坐标向量混联机器人的正解问题即为已知串联平
7、台的驱动位移、和并联驱动杆位移 求解混联机构末端平台中心的位姿、由式()可得 混联机构的正运动学方程为()()()()神经网络改进牛顿迭代算法.神经网络算法如图 所示 神经网络由输入层、输出层和隐含层构成其中隐含层的径向基函数为高斯函数输入层于隐含层的连接权值为 输入参数为通过逆解求出的驱动杆的杆长值输出参数为动平台的位姿参数由于径向基函数为高斯函数输入值与输出值必须在的区间内因此必须要对输入输出的样本参数进行归一化处理机械制造宋孝宗等基于改进牛顿迭代法的混联机构正解分析x1x2xnh1h2hm w1w2wmymi j 图 神经网络结构图()式中、分别为输入与输出样本参数的最小值和最大值 样本
8、训练完后对于输出的结果需要进行反归一化处理:()()通过最近邻聚类学习算法选取适当的高斯函数的中心 和宽度 以及隐含层到输出层的权值 ()为 网络的输入信号可得径向基函数:()因此 神经网络的输出为 ().神经网络改进牛顿迭代算法运用 神经网络改进的牛顿迭代算法求 混联机构的运动学正解时首先采用 神经网络算法根据运动学的逆解结果在规定的运动范围内随机选取 个采样点作为神经网络的训练数据其中 个采样点作为训练样本其余的 个采样点作为测试样本 通过对运动学逆解的训练可以实现混联机构的驱动关节和动平台位姿的非线性映射 然后根据式()结合牛顿迭代法可以得出混联机构运动学正解的牛顿迭代公式:()()()
9、式中:为迭代初值 为混联机构的雅克比矩阵根据运动学正解的牛顿迭代公式首先将神经网络训练得到的测试样本的结果作为迭代初值 进行迭代计算其次将杆长值代入到正运动学方程中然后计算混联机构的雅克比矩阵并按照牛顿迭代公式进行计算记录每一个迭代点和迭代的误差值最后判断误差值是否满足精度要求如果满足精度要求输出迭代值如果不满足则继续迭代直到精度满足输出结果 神经网络改进的牛顿迭代算法的流程图如图 所示J0 D/0K!-KME$B1!h+DE3EDDE?83.3443Ah41!JLi图 神经网络改进的牛顿迭代算法流程框图 算法实例设 混联机构的参数如下:定平台半径 动 平 台 半 径 运 动 范 围 根据混联
10、机构运动控制的需要在实际射流抛光加工的过程中动平台位姿的绝对误差不超过即可视为满足要求所以求解的误差阈值为 在运动范围内取动平台的位姿运动函数为 ()()根据 神经网络改进的牛顿迭代法的流程图可对混联机构进行正向运动学仿真运算图 分别表示使用 神经网络改进前后的牛顿迭代算法求得的混联机构 个采样点的运动学正解位姿、与采样点对应的位姿初始函数的误差图4A3 S BEEEfUBU4x+A3A3 S B E4EEfUCU4y+A34z N NzDPA3EEfUDU!z+4A3图 改进前后牛顿迭代算法的误差曲线机械制造宋孝宗等基于改进牛顿迭代法的混联机构正解分析 从图 中可以看出利用神经网络改进后的算
11、法求得的绕、轴转动的角度最大绝对误差分别为.、.沿 轴移动的最大绝对误差为.使用牛顿迭代算法求得混联机构绕、轴转动的角度最大绝对误差为.、.沿 轴移动的最大绝对误差为.表 为利用 神经网络改进前后的牛顿迭代算法的均方误差 由表 可以得到改进后的算法与牛顿迭代法相比在相同的误差精度要求的情况下均方误差的精度降低了量级表 两种算法运动学正解的均方误差参数牛顿迭代法改进牛顿迭代算法/././.图 为改进前后牛顿迭代算法的每个采样点的迭代次数曲线图 为改进前后牛顿迭代算法的每个采样点的迭代时间曲线表 为改进前后牛顿迭代算法求得 个采样点所需的总迭代次数和总时间 由图、图 和表 可得改进后的牛顿迭代算法
12、要比改进前的迭代次数少减少了.耗时更短缩短了.平均迭代时间缩短了.由此可以验证利用 神经网络改进的牛顿迭代算法要比改进前的牛顿迭代算法精度更高运算速度更快效率更高4 EE图 改进前后牛顿迭代法的迭代次数曲线4EEt T图 改进前后牛顿迭代法的迭代时间曲线表 改进前后牛顿迭代法的迭代次数和迭代时间参数改进前改进后迭代次数/次 迭代时间/.平均迭代时间/.结语本文建立了 混联抛光机构的正向运动学数学模型提出了一种利用 神经网络改进的牛顿迭代算法用来计算混联机构的运动学正解 该算法利用 神经网络训练的预测值作为牛顿迭代的迭代初值进行迭代求解既可以避免 神经网络因训练样本数量不够而导致的精度不足又可以
13、避免牛顿迭代法对迭代初值的依赖性 通过对改进前后的牛顿迭代算法计算分析可知改进后算法的均方误差比改进前的均方误差低量级 改进后算法的迭代次数比改进前的迭代次数减少.迭代时间缩短了.平均迭代时间缩短了.证实了利用 神经网络改进的牛顿迭代算法求解 混联抛光机构的正向运动学具有更高的误差精度和更高的迭代效率为后续开展混联机构射流抛光时的位置标定和运动控制等工作提供了理论基础参考文献:张强秦东晨朱强等.基于神经网络牛顿混合算法的盾构机掘进位姿求解研究.机械传动():./.:.韩方元赵丁选李天宇.并联机构正解快速数值算法.农业机械学报():.毛冰滟谢志江吴小勇等.基于引导人工蜂群算法的 并联机构正解优化.农业机械学报():.谢志江梁欢宋代平.基于连续蚁群算法的 并联机构正解.中国机械工程():.郭峰谢立中周成等.基于 神经网络的自行高炮车体姿态预测方法研究.机械制造与自动化():.宋伟刚张国伟.基于径向基函数神经网络的并联机器人运动学正问题.东北大学学报():.朱齐丹 张铮 纪 勋.平 台实时 位置 正解通 用 方法.哈尔滨工程大学学报():.收稿日期:
