1、1关注“花生十三”公众号，每日速算练习、争议题讲解2.3不定方程问题解析2.3不定方程问题解析不定方程，不定方程，即未知数的个数多于方程个数，可利用奇偶性、整除性、个位分析法、枚举法确定符合题目要求的解。【例题 11】【例题 11】（2019 年河北）集贸市场销售苹果 5 元/个和火龙果 3 元/个，花光 61 元最多可购买这两种水果共多少个？A13B16C18D19【参考答案】D【例题 12】【例题 12】（2020 广东）某部门正在准备会议材料，共有 153 份相同的文件，需要装到大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装 24 份文件，小的每个能装 15 份文件。如果要使每个文件袋都正好装满
2、，则需要大文件袋（）个。A2B3C5D7【参考答案】A【例题 13】【例题 13】（2022 江苏）某企业年终评选了 30 名优秀员工，分三个等级，分别按每人 10 万元、5万元、1 万元给与奖励。若共发放奖金 89 万元，则获得 1 万元奖金的员工有：A14 人B19 人C20 人D21 人【参考答案】B【例题 14】【例题 14】（2020 下半年四川）某人花 400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为 28 元/盒、32 元/盒和 33 元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃：A3B4C5D6【参考答案】B设苹果 x，火龙果 y5x+3y=61因为苹果贵，而又要
3、尽多的买，即苹果要少，火龙果要多，可以考虑从一个苹果开始带入。一个苹果剩 56 元，不能被三整除，所以不行两个苹果剩 51 元，可以买 17 个火龙果整，所以最多可以买 19 个水果批注dundun1:设大袋子 x，小袋子 y24x+15y=153 化简后可得 8x+5y=51可以考虑直接带入选项，也可以用奇偶性因为 51 是奇数，8x 是偶数，所以 5y 一定是奇数，可以把y=1、3、5、7、9、11.依次代入可以发现当 y=7 的时候可以整除，可以得出 x=2，所以需要 2 个文件袋批注dundun2:一、10 x+5y+z=89二、x+y+z=30三、5x+5y+5z=150一和三做差：
4、4z-5x=61因为 61 是奇数，4z 是偶数，所以 5x 一定是奇数可以把 x=1、3、5、7、9、11.依次代入可以发现当 x=3 时，z 可以得到整数解为 19对应到 b 选项批注dundun3:28x+32y+33z=400因为 28、32、400 都是 4 的倍数，所以 33z 也应是 4 的倍数，33z 的 4 由 z 来提供，对应到 b 选项批注dundun4:2关注“花生十三”公众号，每日速算练习、争议题讲解【例题【例题 1515】（2018 江苏）小李为办公室购买了红、黄、蓝三种颜色的笔若干支，共花费 40.6 元。已知红色笔单价为 1.7 元、黄色笔为 3 元、蓝色笔为
5、4 元，则小李买的笔总数最多是：A19 支B20 支C21 支D22 支【参考答案】C【例题【例题 1616】（2020 浙江）某会务组租了 20 多辆车将 2220 名参会者从酒店接到活动现场。大车每次能送 50 人，小车每次能送 36 人，所有车辆送 2 趟，且所有车辆均满员，正好送完，则大车比小车：A多 5 辆B多 2 辆C少 2 辆D少 5 辆【参考答案】A【例题【例题 1717】（2019 联考）某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得 9 分，二等奖得 5 分，三等奖得 2 分。甲队共有 10 位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为 61分，问该队最多
6、有几位选手获得一等奖？A3B4C5D6【参考答案】C【例题【例题 1818】（2020 国考）某种产品每箱 48 个。小李制作这种产品，第 1 天制作了 1 个，以后每天都比前一天多制作 1 个。X 天后总共制作了整数箱产品。问 X 的最小值在以下哪个范围内？A在 4160 之间B超过 60C不到 20D在 2040 之间【参考答案】D1.7x+3y+4z=40.6可以通过尾数法确定答案，40.6 的.6 一定是 1.7x 中来的则x 可以为 8、18，因为红笔最便宜且题目要求总数最多，所以优先验证 x=1830.6+3y+4z=40.63y+4z=10 可以求出唯一一组整数解 y=2z=1，
7、即最多买 18+2+1=21 支。批注dundun5:50 x+36y=1110 可化简为 25x+18y=555555 是 5 的倍数，50 x 也是 5 的倍数，所以 18y 也应该是 5的倍数可以把=5、10、15.依次代入验证可以发现当 Y=10 时，可以 x 求出整数解为 15，A 选项正确当选批注dundun6:一、9x+5y+2z=61二、x+y+z=10一减 2*二：7x+3y=41求 x 最大，可以考虑代入法将选项从大到小带入，可以得知当 x=5 时，y 与 z 均为整数解，符合题意，C 当选。批注dundun7:总共生产的产品数量：1+（x+1）*（x+1）/2=48n即（
8、x+2）*（x+1）=96n（x+2）和（x+1）是连续的两个数，所以必定为一奇一偶96n 又可以拆为 32*3*n，因为 32 是 2 的五次方，如果其中任何一个 2 被拿走和 3*n 组成一个数，那么就是 96n 被拆成了两个偶数相乘，不存在一奇一偶的形式，等式就无法成立，所以 32 一定是一个整体 96n=32*（3n）=（x+2）*（x+1）进而可知 n=11，x=31。对应到 D 选项批注dundun8:3关注“花生十三”公众号，每日速算练习、争议题讲解第第三三章章“溶质不变溶质不变”的浓度问题与便捷的十字相乘法的浓度问题与便捷的十字相乘法3.13.1浓度问题概述浓度问题概述问题介绍
9、：问题介绍：我们知道，一杯盐水由盐和水组成，若将一杯盐水称为一杯盐溶液，那么盐为溶质，水为溶剂。溶质占溶液的分量我们可称之为浓度（可是质量比、体积比等）。核心公式：浓度核心公式：浓度=溶质溶质溶液、溶液溶质溶液、溶液溶质+溶剂溶剂推荐解题方法推荐解题方法溶质不变法溶质不变法：无论溶液如何改变（稀释、蒸发、混合），溶质质量不会凭空发生改变，可抓住溶质不变解题，溶质常常可以设定为一个特殊值。3.23.2浓度问题题目解析浓度问题题目解析【例题【例题 1 1】（2019 吉林）：将浓度分别为 4%和 8%的酒精溶液各 100 毫升混合在一个容器里，要想使混合后酒精溶液的浓度达到 5%，需要加水：A40
10、 毫升B50 毫升C60 毫升D70 毫升【参考答案】A【例题【例题 2 2】（2020 浙江大学生）实验室内有浓度分别为 10%和 25%的盐酸各 500 毫升，从两种溶液中分别倒出一部分配成浓度为 15%的盐酸 600 毫升。如果将剩余的盐酸混合，则该溶液的浓度为：A16.5%B18.6%C20%D21.25%【参考答案】D抓住溶质不变浓度=溶质/溶液5%=12/200+XX=40对应到 A 选项批注dundun9:将三 R 带入十字公式10%1015%25%5可求出体积比为 2/1，一共 600ml，则 10%的为 400,25%的为 200则剩余混合浓度为（100*10%+300*25
11、%）/（100+300）=21.25%批注dundun10:4关注“花生十三”公众号，每日速算练习、争议题讲解【例题【例题 3 3】（2019 联考）酒师调配鸡尾酒，先在调酒杯中倒入 120 毫升柠檬汁，再用伏特加补满，摇匀后倒出 80 毫升混合液备用，再往杯中加满番茄汁并摇匀，一杯鸡尾酒就调好了。若此时鸡尾酒中伏特加的比例是 24%，问调酒杯的容量是多少毫升？A160B180C200D220【参考答案】C【例题【例题 4 4】（2019 重庆公检法）有两个容器 A 和 B，容器中原有不等量的水。分别放入葡萄糖后，容器 A 葡萄糖液体质量 270 克，浓度为 10%；容器 B 葡萄糖液体质量
12、150 克，浓度为 12%。若往两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的葡萄糖浓度相同，那么需要分别倒入多少克水？A30B50C70D90【参考答案】D【例题【例题 5 5】（2018 江苏）某化学实验室有 A、B、C 三个试管分别盛有 10 克、20 克、30 克水，将某种盐溶液 10 克倒入试管 A 中，充分混合均匀后，取出 10 克溶液倒入 B 试管，充分混合均匀后，取出 10 克溶液倒入 C 试管，充分混合均匀后，这时 C 试管中溶液浓度为 1%，则倒入 A 试管中的盐溶液浓度是：A40%B36%C30%D24%【参考答案】D3.33.3十字相乘法介绍十字相乘法介绍方法介绍：方法介绍：十
13、字相乘法实质上是一种简化方程的形式，跳过列式直接根据图形去计算结果，十分高效快捷，考生应熟练掌握。计算公式：计算公式：溶液 A 浓度溶液 B 浓度混合溶液浓度 RR BA R=溶液 A 质量溶液 B 质量秒杀思路：溶质/杯子容量=24%=6/25，所以杯子容量是 25 的倍数，只有 C 是 25 的倍数也可以带入选项验证，带入 C 选项柠檬汁伏特加最初12080倒出 804832剩余7248再加满番茄汁总体积为 20048/200=24%符合题干条件，正确 C 当选批注dundun11:根据浓度相等可以列出方程：27/（270+x）=18/（150+x），可以解得 X=90，D 选项当选批注d
14、undun12:从后往前逆推C 溶质：40*1%=0.4B原来有 30，倒走 10 是三分之一是 0.4则原来有 1.2A原来有 20，倒走 10 是二分之一是 1.2则原来有 2.4所有原来 A 中有 2.4，浓度为：2.4/10=24%对应 D 选项批注dundun13:5关注“花生十三”公众号，每日速算练习、争议题讲解特别提示特别提示：凡是能表示成 A=B/C 形式的比例关系，均可看成是类浓度问题，即 A 为浓度，B 为溶质，C 为溶液，推荐利用“十字相乘法”解题，将不同变量巧妙的转化为溶液解题。方法难点方法难点：很多同学会使用十字相乘法，但求出了比例关系，却不知道求得的是什么的比例关系
15、，无法进行下一步解题。我们通过“浓度=溶质/溶液”可知，求出的为溶液质量之比，那么拓展到所有 A=B/C形式的比例关系，利用十字相乘求出的比例关系一定是利用十字相乘求出的比例关系一定是 C C（即分母）之比（即分母）之比。3.43.4类浓度问题解析与十字相乘法练习类浓度问题解析与十字相乘法练习【例题【例题 6 6】（2019 年河北）：将 300 克浓度 95%的酒精与若干浓度 60%的酒精，混合成浓度 75%的酒精，需要浓度 60%的酒精多少克？A225B240C380D400【参考答案】D【例题【例题 7 7】（2019 联考）某饮料厂生产的 A、B 两种饮料均需加入某添加剂，A 饮料每瓶
16、需加该添加剂4 克，B 饮料每瓶需加 3 克，已知 370 克该添加剂恰好生产了这两种饮料共计 100 瓶，则 A、B 两种饮料各生产了多少瓶？A30、70B40、60C50、50D70、30【参考答案】D【例题【例题 8 8】（2020 浙江大学生）王先生花 30000 元买入 A、B 两只股票若干，两个交易日后，A 股票上涨 8%，B 股票下跌 3%。王先生将股票卖出，共盈利 1300 元，那么王先生在买入 A、B 两只股票时的投资比例为：A54B43C32D21【参考答案】D将三 R 带入十字公式95%1575%=3/4=300/40060%20所以需要 400g 酒精，D 选项正确批注
17、dundun14:总体的：370/100=3.7将三 R 带入十字公式40.73.7=7/330.3所以 A 和 B 的量之比为 7/3一共 100 瓶，所以 A70 瓶，B30 瓶，对应 D 选项批注dundun15:总盈利：1300/3000=13/300将三 R 带入十字公式A 8/1002213/100=2/1B-3/10011对应到 D 选项批注dundun16:6关注“花生十三”公众号，每日速算练习、争议题讲解【例题 9】【例题 9】（2020 山东）由于改良了种植技术，农场 2017 年种植的 A 和 B 两种作物，产量分别增加了 10%和 25%。已知 2017 年两种作物总产
18、量增加了 18%，问 2017 年 A 和 B 两种作物的产量比为：A78B87C176175D77100【参考答案】D【例题 10】【例题 10】（2018 江苏）某高校组织省大学生运动会预选赛，报名选手中男女人数之比为 4：3，赛后有 91 人入选，其中男女之比为 8：5。已知落选选手中男女之比为 3：4，则报名选手共有：A98 人B105 人C119 人D126 人【参考答案】C【例题 11】【例题 11】（2016 年联考）某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的 30%，且音乐系男女生人数之比为 1：3，美术系男女生人数之比为 2：3，问音乐系和美术系的总人
19、数之比为多少？A52B51C31D21【参考答案】D将三 R 带入十字公式A 10%718%=7/8B 25%8但是咱们求出的是前期量之比，所以我们要用 2016 的比求出 2017 的比7*1.1/8*1.25=77/100，对应到 D 选项批注dundun17:报名=入选+落选男占比=男/总人数带入十字公式入选：8/13134/7=91/28落选：3/74所以原来有 91+28=119 人，对应到 C 选项批注dundun18:艺术学院=音乐系+美术系音乐系男生占比 25%1030%=2/1美术系男生占比 40%5对应到 D 选项批注dundun19:7关注“花生十三”公众号，每日速算练习
20、、争议题讲解第第四四章章古老的古老的“牛吃草牛吃草”与不变的容斥问题与不变的容斥问题4.14.1基础概念与公式基础概念与公式牛吃草问题又称为消长问题（草在长、牛在吃）或牛顿问题，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。牛吃草问题的花生原创方法牛吃草问题的花生原创方法：白吃牛白吃牛、原有草原有草，问中数字少不了问中数字少不了。4.24.2牛吃草典型问题解析牛吃草典型问题解析【例题【例题 1 1
21、】（2018 浙江事业编）某工地有一定数量的砖，且每天供应量相等，若每天消耗 27 万块砖，则 6 天全部用完，若每天消耗 24 万块，则 9 天全部用完，若每天消耗 20 万块，问工地上的砖可以用多少天：A12B15C24D27【参考答案】D【例题【例题 2 2】（2020 浙江）火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放 3 个窗口，需耗时 90 分钟，若开放 5 个窗口，则需耗时 45 分钟。问如果开放 6 个窗口，需耗时多少分钟：A36B38C40D42【参考答案】A白吃牛（每天的供用量）：（24*9-27*
22、6）/（9-6）=18原有草（原来有多少砖）：（24-18）*9=54问中数字少不了：54/（20-18）=27，对应到 D 选项批注dundun20:白吃牛：（3+90-45*6）/（90-45）=1原有草：2*90=180问中数字少不了：180/（6-1）=36，对应到 A 选项批注dundun21:8关注“花生十三”公众号，每日速算练习、争议题讲解【例题 3】【例题 3】（2019 联考）某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用 1 台挖沙机 300 天可完成清淤工作，使用 2 台挖沙机 100天可完成清淤工作。为了尽
23、快让河道恢复使用，上级部门要求工程队 25 天内完成河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？A4B5C6D7【参考答案】D【例题 4】【例题 4】（2020 广东）某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等候领取证书，且每分钟新增的人数一样多。从开始办理业务到排队等候的人全部领到证书，若同时开5 个发证窗口就需要 1个小时，若同时开 6 个发证窗口就需要 40 分钟。按照每个窗口给每个人发证书需要 1 分钟计算，如果想要在 20 分钟内将排队等候的人的证书全部发完，则需同时开（）个发证窗口。A7B8C9D10【参考答案】C4.3容斥问题基础概念4.3容斥问题基础概念
24、容斥原理概念及公式容斥原理：容斥原理概念及公式容斥原理：一种计数方式。先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。容斥问题的花生原创方法：总人数圈外人数圈内总人数总人次重复部分。容斥问题的花生原创方法：总人数圈外人数圈内总人数总人次重复部分。列式思路为先全部计数，再将重复部分减去，保证每人被计数一次。4.4容斥问题题型解析4.4容斥问题题型解析【例题 5】【例题 5】（2019 年河北）某班参加学科竞赛人数 40 人，其中参加数学竞赛的有 22 人，参加物理竞赛的有 27 人，参加化学竞赛的有 25 人，
25、只参加两科竞赛的有 24 人，参加三科竞赛的有多少人？A2B3C5D7【参考答案】C白吃牛：（300-2*100）/（300-100）=0.5原有草：（2-0.5）*100=150问中数字少不了：150/25=6 台干活牛，还需要 0.5 台抵消白吃牛，所以共 6.5 台，向上取整需要 7 台对应到 D 选项批注dundun22:白吃牛：300-240/（60-40）=3原有草：（5-3）*60=120问中数字少不了：120/20=6 个干活牛，还需要三个抵消白吃牛，所以一共需要 9 个，对应到 C 选项批注dundun23:三科的是 X带入公式：40=22+27+25-24（两科的多数了一遍
26、）-2X（三科的多数了两遍）解的 X=5批注dundun24:9关注“花生十三”公众号，每日速算练习、争议题讲解【例题 6】【例题 6】（2019 新疆）某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场讲座。该机关共有139 人，有 42 人报名参加第一场讲座，51 人报名参加第二场讲座，88 人报名参加第三场讲座，三场讲座都报名的有 12 人，只报名参加两场讲座的有 30 人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人？A12B14C24D28【参考答案】A【例题 7】【例题 7】（2020 联考）学校有 300 个学生选择参加地理兴趣小组、生物兴趣小组或者两个小组同时参加，如果 80%学生
27、参加地理兴趣小组，50%学生参加生物兴趣小组。问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少：A240B150C90D60【参考答案】C【例题 8】【例题 8】（2020 新疆）某单位共有 240 名员工，其中订阅 A 期刊的有 125 人，订阅 B 期刊的有 126人，订阅 C 期刊的有 135 人，订阅 A、B 期刊的有 57 人，订阅 A、C 期刊的有 73 人，订阅 3 种期刊的有 31人，此外，还有 17 人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅 B、C 期刊的有多少人：A57B64C69D78【参考答案】B【例题 9】【例题 9】（2019 下半年四川）某单位乒乓球、羽毛球、篮球三个
28、兴趣小组共有 72 人参加。已知同时参加 3 个小组的人数为 0，只参加羽毛球小组的人数是只参加乒乓球小组人数的 4 倍，只参加篮球小组的有 11 人，同时参加两个小组的人数与只参加 1 个小组的人数相同，参加乒乓球小组但未参加篮球小组的人中有一半参加羽毛球小组。问参加包括篮球在内的两个小组的有：A32 人B31 人C25 人D24 人【参考答案】B139-X=42+51+88-2*12(三场的多数了二遍)-30（两场的多数了一遍）解得 x=12对应到 A 选项批注dundun25:直接带入公式：300=240+150-XX=90，对应到 C 选项批注dundun26:直接代入公式：240-1
29、7=125+126+135-57-73-X+31（刚开始数了三次，又被减了三次，所以要加上一次保证每个都被数一遍）X=64，对应到 B 选项批注dundun27:批注dundun28:10关注“花生十三”公众号，每日速算练习、争议题讲解【例题【例题 1010】（2020 浙江事业编）从 100 人中调查对 A、B 两种治理污水方案的意见，结果对 A 方案满意的人数占 60%；对 B 方案满意的人数比 A 方案多 6 人；对两个方案都不满意的人数比对两个方案都满意的人数 1/5 多 2 人。问对两个方案都不满意的人数有多少：A8 人B9 人C30 人D35 人【参考答案】B【例题【例题 1111
30、】（2019 山东）某单位所有员工都参加艺术、科学、人文三类书籍的阅读活动，每名员工至多阅读 2 种书籍，阅读 1 种书籍员工人数比阅读 2 种书籍的人数多一半，阅读艺术类书籍的人数是阅读科学类书籍人数的 2/3，阅读科学类书籍人数是阅读人文类书籍人数的 4/5，问该单位至少有多少人？A20B25C30D50【参考答案】B根据图示信息，将数据代入公式100-（x/5+2）=60+66-x解得 x=35则两个方案都不满意人有 35/5+2=9 人，对应到 B 选项批注dundun29:阅读两种的 2x，则阅读一种的 3x，总人数为 5x艺术是科学的 2/3，科学是人文的 4/5，所以科学人数应该是 3 的倍数，人文是 15 的倍数，题干问最小可以把人文是15 直接带入求解，则科学是 12 艺术是 8将数据带入公式：5x=35-2x，解的 x=5，则该单位有 5*5=25人，对应到 B 选项。批注dundun30:
