1、2023 年 2 月第 1 期城市勘测Urban Geotechnical Investigation SurveyingFeb2023No1引文格式:李贤忠，张龙，张向波等 坐标系分带与抵偿投影对长直线路影响分析 J 城市勘测，2023(1):133135+139文章编号:16728262(2023)0113304中图分类号:P226，P258文献标识码:A坐标系分带与抵偿投影对长直线路影响分析李贤忠1*，张龙1，张向波2，徐宁1*收稿日期:20220221作者简介:李贤忠(1983)，男，高级工程师，注册测绘师，主要从事工程测量方面的应用与研究工作。Email:lixianzhong si
2、dricom(1.上海勘测设计研究院有限公司，上海200434;2.大连市勘察测绘研究院集团有限公司，辽宁 大连116021)摘要:建立工程坐标系的方法包括分带投影、抵偿投影以及两者的综合，线路工程测量中的长直段在投影后进行平移拼接时会发生偏折。本文根据坐标投影基本理论结合具体算例，说明长直线投影后发生偏折的根本原因在于子午线收敛角。关键词:分带投影;抵偿投影;长直线路;子午线收敛角1引言在公路、铁路等线路工程的勘测过程中，采用的工程坐标系应满足实地测量的距离与坐标反算的距离应尽量一致而不需现场进行投影和归化改正，即长度的投影变形值应符合规范的要求。公路勘测规范规定，采用 的 工 程 坐 标
3、系 投 影 变 形 值 全 线 不 大 于25 cm/km，大 型 构 造 物 处 的 投 影 变 形 值 不 大 于10 cm/km1;高速铁路工程测量规范规定，由高斯投影和高程归化两方面引起的长度变形值应小于10 cm/km2。根据坐标系投影理论，投影变形有如下特点:高斯投影总会使地面距离变长、归化改正总会使地面距离缩短，两者存在一定程度的抵消作用3，所以通过合理设置分带投影中央子午线和抵偿投影面可以使长度投影变形值符合规范要求。但当采用多分带、多抵偿面投影时会对线路的总体走向产生影响，尤其是投影后平移拼接的长直线路会变成折线而不再是直线，产生角度畸变4。研究分带和抵偿投影对长直线路的影响
4、和应对措施，对完善规范对长直线路角度变形的有关规定和对线路运行平顺性有较高要求的高铁工程勘测有重要意义。2工程坐标系投影变形分析根据投影变形理论，投影变形值的估算可按下式进行:S=y2m22mHmm()S(1)式中:S 为长度投影变形残值，当 S=1 km 时即为每公里投影变形值;S 为椭球面两点大地线长度;ym为大地线投影后始末两点横坐标绝对值的平均值(不含带号及加常数);m为参考椭球曲率半径，CGCS2000 国家大地坐标系 m取 6 378 137 m;Hm为大地线两端平均高程(或大地高)与抵偿投影面高差。通过投影变形的估算公式(1)可以看出，为控制长度投影变形S 可以通过移动投影中央子
5、午线(分带投影)改变 ym的值，或者变换抵偿投影面改变 Hm的值，又或者同时改变投影中央子午线和抵偿投影面，可以使长度投影变形S 符合规范要求。因而，工程坐标系的建立基本方法包括以下三种:(1)抵偿投影:不改变投影中央子午线，通过将投影面从参考椭球面改为某一大地高程面(一般为测区平均高程面或设计线路纵坡的平均高程面)，使得投影变形值和归化改正数之间的抵消结果满足规范对投影变形值的要求。(2)任意带投影:不改变投影高程面(仍为参考椭球面)，通过移动投影中央子午线至某一经线位置，使得投影变形和归化改正数之间的抵消结果满足规范对投影变形值的要求。(3)任意带抵偿投影:通过既移动投影中央子午线、又改变
6、抵偿投影面的方式，使得投影变形和归化改正数之间的抵消结果满足规范对投影变形值的要求。在高海拔和地形条件复杂地区为有效控制投影变形，一个线路工程测量坐标系同时采用多个投影分带、多个投影抵偿面的情况比较常见。城市勘测2023 年 2 月3投影引起的长直线路的角度变形分析3.1分带投影原投影中央子午线为 L，平面直角坐标系为 XOY;新投影中央子午线为 L，平面直角坐标系为 XOY。在坐标系 XOY 中，地面任意一点 P 的真子午线方向与坐标北方向之间的夹角，称为子午线收敛角，如图1 所示。图 1换带投影的坐标系关系由投影基本理论可知，中央子午线上任一点子午线收敛角皆为 0，非中央子午线上的任一点
7、P 处的子午线收敛角皆不为 0，其近似估算公式为5:=LsinB(2)式中:为子午线收敛角;L 为经差;B 为测区平均纬度。由于子午线收敛角的存在，分带投影将导致新坐标系 XOY的轴向相对于原坐标系发生旋转，同时由于高斯投影属于正形投影具有保角性质，也即同一条直线段在不同中央子午线投影坐标系中的方位角也发生了相应偏折，偏折角等于 P 点处的子午线收敛角。因此，分带投影后对坐标系进行平移拼接将导致长直线变折线，产生角度畸变。3.2抵偿投影假设原坐标系的投影面为 H0，新抵偿投影面为H，P0(X0，Y0)为新老坐标系抵偿计算原点，P(X，Y)为原坐标系下的任一点坐标，P(X，Y)为 P 点在新抵偿
8、坐标系下的坐标6，如图 2 所示。图 2抵偿投影计算示意图因为:XX0+H=XX0+H0X=X0+(XX0)+H+H0所以:X=X0+XX0()1+HH0+H0()(3)同理:Y=Y0+YY0()1+HH0+H0()(4)根据方位角计算公式，在原坐标系中 PP0 的方位角为:PP0=arctanYY0XX0(5)根据式(3)、式(4)及方位角计算公式，在新坐标系中 PP0 的方位角为:PP0=arctanYY0XX0=arctanYY0XX0=PP0(6)由此可以看出，抵偿投影只是相对于原坐标系的缩放，对方位角本身没有影响，长直线经抵偿投影后仍为直线而不会发生偏折，故而抵偿投影不是长直线偏折的
9、影响因素。4案例分析现假定某高速铁路勘测项目的一个长直段概况如下:测区中心位于 10500E、3534N 附近，该长直段全长 51 km(设计桩号 K0K51)，总体走向为西北东南。以该长直段在 CGCS2000 大地坐标系中央子午线105的坐标为基础(暂不考虑投影变形结果能否满足规范要求)，划分为 K0 K18、K18 K33、K33 K51 三个设计段落，在每段起终点和段落中间附近对应设置P1P3、P3P5、P5P7 共 7 个控制点，其中 P3 和 P5为段落公共点，如图 3 所示。图 3高铁设计线路走向示意图(1)分带投影:以 10为基本经差，K0 K18 采用10450、K18K33
10、 采用 10500、K33 K51 采用 10510三个中央子午线进行分带投影;431第 1 期李贤忠，张龙，张向波等.坐标系分带与抵偿投影对长直线路影响分析(2)抵偿投影:测区大地高 2 000 m 2 600 m，抵偿投影时按 300 m高差划分 3 个抵偿面，K0 K18 采用 2 000 m、K18 K33 采用 2 300 m、K33 K51 采用2 600 m分别进行抵偿计算。分带、抵偿投影计算过程采用 SurveyTools4.06 软件，并根据分带和抵偿投影后的控制点坐标计算三个段落中各直线段的方位角，然后进行对比分析。4.1分带投影各分带控制点投影坐标成果表如表 1 所示，各
11、分带长直段方位角如表 2 所示。表 1分带投影控制点坐标成果表分带 1:中央子午线 10450分带 2:中央子午线 10500分带 3:中央子午线 10510点号X/mY/m点号X/mY/m点号X/mY/mP13 949 796466492 115370P33 942 128410493 299817P53 935 717726491 748329P23 945 963164500 258164P43 938 281293501 436136P63 931 856870499 878127P33 942 129850508 400985P53 935 716549506 860349P73 9
12、27 996026508 007899表 2各分带长直段方位角分带 1:中央子午线 10450分带 2:中央子午线 10500分带 3:中央子午线 10510直线边方位角()直线边方位角()直线边方位角()P1P2 115123205 P3P4 115182271 P5P6115241127P2P3 115123305 P4P5 115182271 P6P7115241127P1P3 115123305 P3P5 115182271 P5P7115241127通过表 1、表 2 数据可以看出:(1)长直段在各投影分带内仍保持直线，但相邻投影带长直段的方位角发生明显偏折;以分带 2 为基准，分带
13、 1 偏折角为549.66、分带 3 的偏折角为 548.56。(2)以分带 2 为基准，根据式(2)计算得到分带 1的测区中心子午线收敛角为549.66、分带 3 的测区中心子午线收敛角为 548.56，说明长直段在分带投影后的偏折角等于子午线收敛角。(3)受平均纬度 B 影响，线路自身的走向也是长直线分带投影角度变形的重要影响因素，在正南北方向影响最大、在正东西方向最小2，7，限于篇幅不再拓展。4.2抵偿投影抵偿投影按膨胀椭球法计算，各控制点抵偿投影坐标成果如表 3 所示，各抵偿面长直段方位角如表 4所示。表 3抵偿投影控制点坐标成果表抵偿面 1:大地高 2 000 m抵偿面 2:大地高
14、2 300 m抵偿面 3:大地高 2 600 m点号X/mY/m点号X/mY/m点号X/mY/mP13 951 068904477 019983P33 943 558828493 297404P53 937 330921506 863142P23 947 220578485 158850P43 939 710321501 436654P63 933 482233515 002776P33 943 372251493 297719P53 937 144649506 862821P73 929 633544523 142409表 4各抵偿面长直段方位角抵偿面 1:大地高 2 000 m抵偿面 2:
15、大地高 2 300 m抵偿面 3:大地高 2 600 m直线边方位角()直线边方位角()直线边方位角()P1P2 115182281 P3P4 115182281 P5P6115182281P2P3 115182281 P4P5 115182281 P6P7115182281P1P3 115182281 P3P5 115182281 P5P7115182281通过表 3、表 4 数据可以看出:抵偿投影的实质是坐标系的相似变换，长直线在进行抵偿投影后仍为直线且方位角不发生变化。5结论对于高速公路、高速铁路等测区跨度大的线路工程测量，在建立工程坐标系时采用适当的分带和抵偿投影，除使得长度投影的变形
16、值符合规范要求之外，采用多份带投影时还应考虑子午线收敛角引起的角度变形，可采取的措施包括:(1)在条件允许的情况下，尽量采用多抵偿面分层投影方式建立工程坐标系。(2)采用多分带投影时应尽量减少分带数并缩小带宽，分带投影的衔接处尽可能安排在正东西走向的段落，或者坐标系拼接时进行角度改正。(3)采用 GPS 方式建立的工程控制网，数据处理可考虑采用分区定向序贯平差方法8，即在标准分带投影基础上划分若干次级投影分区，各分区平差时引入长直线方位角作为约束元素，由起始分区逐个进行顺序平差，从而达到控制分带投影后角度变形的目的。(下转第 139 页)531第 1 期乔相飞，王智.基于移动激光扫描点云的地铁隧道限界测量及应用研究 6琚俏俏，程效军，徐工 基于椭圆拟合的隧道点云去噪方法 J 工程勘察，2014，42(9):6972+81 7刘云峰，董燕，柳志云 基于移动三维激光扫描仪的地铁限界测量分析 J 软件，2019，40(2):116120 8赵亚波，王智 基于三维激光点云的钢结构变形分析 J 测绘通报，2021(5):155158 9王敏，冯晶，谢志海 利用三维激光扫描仪进行地铁隧道限界测量
