1、书书书第 卷第 期 年 月计 量学报 ，：基于差分蜂群算法的空间直线度误差评定董紫燕，徐旭松，李梦园，汤丽媛（江苏理工学院 机械工程学院，江苏 常州 ）摘要：提出基于差分蜂群算法进行空间直线度误差评定。首先，基于产品技术几何规范（）公差标准，用最小二乘法拟合计算得到符合最小区域条件的空间直线度误差评定的数学模型；然后，对差分进化算法的缩放因子进行改进，将改进后的差分进化算法与人工蜂群算法混合迭代优化，测试函数仿真显示，差分蜂群算法在计算精度、收敛速度方面存在一定的优势；最后，通过两个评定实例进行研究与对比分析。结果表明：差分蜂群算法相对于粒子群算法、混合教与学算法、最小二乘与鱼群混合优化算法在
2、评定空间直线度上的计算精度分别提高了 、，相对于差分进化算法、人工蜂群算法的收敛速度有较明显提高。关键词：计量学；空间直线度；差分蜂群算法；最小二乘法；最小区域；误差评定中图分类号：文献标识码：文章编号：（），（，）：，（），：；收稿日期：；修回日期：基金项目：江苏高校“青蓝工程”资助 引言 直线度误差检测 规定了直线度的评定方法为最小包容区域法、最小二乘法和两端点连线法，给出了直线度评定时应该满足的条件，直线度基准轴线的位置应该满足最小区域条件 。在空间直线度误差评定方面存在非线性方程组求解困难、求解速度慢、评定结果不精确等问题，目前相关学者仍在不断探索。等 提出了一种基于几何逼近的搜索算法
3、，通过平行的正方形构造中心线，对二次曲线重复比较和重构，得到最小区域直线度误差；等 通过改进甲虫搜索算法的步长来求解目标函数，增加算法的多样性，提高算法精度；陈玉等 采用拉丁超立方抽样方法初始化种群，以非线性收敛因子取代线性收敛因子，并将非线性惯性权重引入到鲸鱼优化算法中，有效提高了算法的精度以及稳定性；叶明等 基于最小二乘法与人工鱼群的混合算法，对轴线参数应用旋转逼近策略，在人工鱼群算法中引入变异和淘汰机制，有效提高了其优化效率和稳定性；陈君宝等 将变步长天牛须搜索算法应用到空间直线度误差评定上，验证了该算法的可行性与优越性；杨洋等 将混合蛙跳算法的种群分组策略、洗牌策略、局部更新策略等算法
4、思想引入到教与学算法中，在评定直线度时算法的寻优能力较强、收敛速度较快；温银萍 利用动态步长细菌觅食法评定直线度误差，通过调整算法步长，加入动态变化机制，提高了算法的求解精度。智能优化算法在空间直线度误差评定中的应用逐渐广泛，其中差分进化（，）算法和人工蜂群（，）算法在求解最优化问题上表现出良好的性能 ，但是易陷入局部最优、收敛速度慢，从而影响找到最优解的概率。为了提高两种算法在求解多维问题时的性能，本文将差分蜂群（，）算法引入空间直线度误差评定中，并基于产品技术几何规范（，）按照 标准 中 要 素 操 作 规 范 来 研 究 空 间 直 线 度 的误差评定。空间直线度误差评定数学模型新一代
5、标准体系提出了操作的概念，是指为了体现要素、获取规范值和特征值对表面模型或实际工件所进行的特定处理方法。操作包括要素操作和评估操作 。要素操作要素操作分类及步骤如表 所示；其示意图见图 。为了得到空间直线度评定的基准轴线，需要经过分离、提取、拟合、构建、拟合一系列操作。表 中要素操作的拟合分为提取截面圆和被测实际轴线的拟合。表 要素操作分类及步骤 操作具体步骤分离从整个模型中或者从整个要素中把需要研究的部分分离出来，并将其置于空间直角坐标系 中，见图 （）。提取采用圆周法得到各提取截面圆，见图 （）。提取截面圆的拟合随机选取测量过程中第 个提取截面圆（）为研究对象，见图 （），采用最小二乘法进
6、行拟合，得到提取截面圆的圆心。设提取截面圆上的某一采样点 （，），；，；为任意提取截面采样点的数目；为提取截面数。构建将各提取截面圆的圆心点进行连接，得到被测圆柱面的中心线即空间直线度被测的实际轴线，见图 （）。实际轴线的拟合对被测实际轴线进行拟合，获得符合评定基准轴线的最小区域拟合圆柱面，见图 （）。图 要素操作步骤示意图 提取截面圆的拟合设最小二乘法拟合圆圆心坐标（，）（为沿 轴向上升的距离），半径为 ，提取第 个截面圆与理想截面圆之间存在的误差为 。计量学报 年 月设最小二乘圆的拟合方程为（）（）（）由于测量点落在拟合圆的内外部会产生正、负误差，根据最小二乘法原理须满足误差 的平方和最小
7、 。（）（）（）（）（）（）（）（）（）式中：，（）（）。对 、求偏导，有：得到：（）（）（）利用 编程求解，可求出 、值。因此，得到第 个拟合圆的圆心坐标为 ，（，）。实际轴线的拟合假设评定基准轴线 在空间 ，上的方向向量为（，），评定基准轴线 过定点（，），基准轴线 的空间直线方程为 （）实际轴线上测点集合（，）（，）到基准轴线 上的距离 为 槡（）评估操作由任意方向空间直线度误差的定义，空间直线度误差为测点到基准轴线距离的 倍，如图 所示。待求变量为（，），并且要满足最小区域条件，即空间直线度误差评定为最大值最小化的问题，其数学模型为 （）（）图 空间直线度误差评定图 差分蜂群算法 算法
8、和 算法 算法 算法是由 和 于 年提出的一类基于群体的自适应全局优化算法 。基本思想是：先随机产生一个初始种群 ，每个解（，）（，）都是一个 维的向量。差分进化过程主要分为变异、交叉、选择个部分。变异操作：算法的变异策略中 和 最为常见，策略搜索全局能力强，此处选用 变异策略。，（，）（）式中：，（，）且 ，互不相等；表示缩放因子。将缩放因子 中引入自适应算子 ，自适应算子 为 （）式中：表示最大迭代次数；表示当前迭代次数。改进后的缩放因子 为（）式中：表示缩放因子的初始值。由式（）可知 在迭代初期较大，可以保证种群的多样性，迭代次数增大，迭代后期 的值减小，可以保存种群的优良信息，保证最优
9、解。交叉操作：一般选用二项式交叉。通过交叉概率，将变异操作中得到的个体 ，与父代个体 ，进行交叉操作，从而得到新个体 ，。，（，）（，），（，）（，）（）式中：，表示 中第 个解的 维向量；为交叉概率；（，）为 ，中的随机数；（，）为 ，中的随机数。第 卷第 期董紫燕等：基于差分蜂群算法的空间直线度误差评定选择操作：算法选用“贪婪”选择策略，通过式（）将变异、交叉之后得到的新个体 ，与父代个体 ，进行适应度值的比较，让适应度值最优的个体进入到下一代。，（，）（，），（）算法 算法是土耳其学者 在 年提出的一种群体智能仿生优化算法 ，蜂群个体可分为雇佣蜂、跟随蜂和侦察蜂 种，蜂群的采蜜行为与具体
10、优化问题有一一对应关系。首先随机生成 个解，每个解（，）都是一个 维向量，在求解目标函数时初始化后有以下 个阶段：通过式（）完成蜜源的初始化。，（）（）式中：、表示第 维向量的下限值和上限值；，是（，）的一个随机数。雇佣蜂阶段：利用式（）进行蜜源的搜索，并采用贪婪选择机制对蜜源进行更新。，（，）（，）（）式中：，（，）并且 ，（，）；（，）是 ，的一个随机数。跟随蜂阶段：由轮盘赌的方式选择部分优质蜜源进行邻域搜索。蜜源的适应度值越大，其被选择的概率越大。根据雇佣蜂传递的信息计算蜜源被选择的概率。（）式中：表示第 个蜜源的适应度值。侦察蜂阶段：当有蜜源连续没被更新的次数超过控制参数值时，该蜜源将
11、被重新初始化，雇佣蜂转化为侦察蜂，通过蜜源初始化产生新的蜜源。差分蜂群算法流程 算法信息参数较少，结构简单易于实现，但也存在着易陷入局部最优，进化后期收敛速度慢。为了提高寻优能力，基于文献 中两种算法融合和蛙跳算法（，）不断迭代进化的基础，将 算法和 算法混合对空间直线度误差评定的数学模型进行求解。蛙跳算法首先记录当前全局最优解，再将种群分为不同的族群执行局部搜索策略，其中每个个体都随着族群的进化而进化，当族群完成一轮进化后，再将族群中的个体重新进行排序和划分，记录下全局最优解，完成全局信息交换，实现族群间的混合运算，直到满足设置的限制条件。算法在 算法参数缩放因子 改进的前提下，将种群分成两
12、部分用 算法和 算法分别对各自种群进行迭代，将 算法和 算法一轮寻优中的解与初始位置的解进行比较，得到混合次数内的最优解。算法流程图如图 所示。图 空间直线度误差评定流程图 差分蜂群算法的函数仿真为了验证 算法的寻优性能，将 算法、算法、算法用所选定的 组函数进行函数性能的测试。函数类型如表 所示。表 测试函数类型 测试函数取值范围 （），（）槡()，（）（）（），（）（），为保证测试函数在相同环境中运行，设置算法的最大迭代次数为 ，解的维度为 ，种群规模计量学报 年 月为 ，算法中 为 ，算法中缩放因子初始值 为 ，交叉概率 为 ，其中 算法分别仿真了在 ，时，的不同组合情况下算法的性能比较
13、，当给定 时，验证 在不同取值下的算法性能，得到当 时，算法的计算精度最高，并且当 值增加到 时，计算精度增加，随着 值不断变大，寻优性能下降，因此，设置 算法中的参数 ，使算法寻优性能最佳。给出部分取值范围内的测试函数三维图见图，纵坐标为测试函数的目标函数值；并将各测试函数在 运行 次求均值及方差；平均收敛曲线图如图 所示，纵坐标为适应度值，是对函数值取对数；表 为测试函数的结果。图 测试函数三维图 表 测试函数结果 函数 测试值 均值 方差 均值 方差 均值 方差 均值 方差 由表 的测试结果、图 的函数图及图 的平均收敛曲线来验证 算法的计算精度、收敛速度。从均值和方差数据可以看出：函数
14、寻优中，算法相的寻优精度略高于 算法 算法，在 、函数中，算法的寻优结果表明其精度有了很大的提高，最接近其理论最优解 ；从函数图和平均收敛曲线图的结果来看，对于 、函数，种算法的收敛曲线呈不断下降趋势，算法和 算法前期随着迭代次数的增加，适应度值下降较快，表明其搜索能力较强，但 算法较早的找到全局最优解，收敛速度较快，在 、函数中，算法与 算法的曲线变化较为平缓，易陷入局部最优，且在规定迭代次数内都未收敛到最优解，而 算法早期收敛速度较快，尽快的达到了收敛状态，说明 算法可以跳出局部最优，找到最优解。因此，从上述函数测试结果分析中得到 算法的寻优能力和收敛精度相对于 和 算法都得到了提高，表明
15、了 算法在性能上具备一定的优势。第 卷第 期董紫燕等：基于差分蜂群算法的空间直线度误差评定图 测试函数平均收敛曲线 实例研究与分析 评定算例 为了验证 算法能正确的评定空间直线度，首先选取文献 中的算例数据对空间直线度的数学模型进行求解，坐标数据如表 所示。由表 坐标数据，设置 算法的主要参数，迭代次数为 ，种群规模为 ，由于待求变量为式（）中的基准轴线参数（，），因此维数 为 ，设置 算法中 为 ，算法中缩放因子初始值 为 ，交叉概率 为 。将该算法独立运行 次，取 次结果的平均值作为直线度误差，同时选取文献 中 、算法的评定结果与本文 算法结果进行对比，得到的直线度基准轴线参数和误差如表
16、所示。算法平均收敛曲线图如图 所示，纵坐标为适应度值，是对函数值取对数。表 评定算例 测点数据 测点序号测点序号 表 得到 算法满足最小区域的基准轴线参数 （，）（，），单位 ；以及直线度误差 ，算法直线度误差小于 算法、算法、算法 的 直 线 度 误 差，其 收 敛 精 度 分 别 提 高 了计量学报 年 月 、。从图 看出算法在迭代到 代时达到收敛状态。表 种算法的计算结果 变量 直线度误差 图 算法的直线度误差平均收敛曲线 评定算例 为了进一步验证 算法在直线度误差评定时的优势，选用文献 的数据对空间直线度误差评定的数学模型进行求解。坐标数据如表 所示。表 评定算例 测点数据 测点序号
17、算法的初始参数设置与评定算例 相同，各算法计算得到基准轴线参数及直线度误差如表 所示，直线度误差平均收敛曲线图如图 所示，由于纵坐标适应度值跨度较大，将纵坐标取对数。图 各算法的直线度误差平均收敛曲线 表 种算法的计算结果 变量 直线度误差 从表 得到 算法基准轴线参数 （，）（，），单位 ；直线度误差 ，算法的计算最高，相比 算法 和 算 法 的 精 度 分 别 提 高 了 、。从图 看出 的收敛速度明显优于 算法和 算法的收敛速度。结语基于新一代 标准规范研究了空间直线度误差评定的数学模型及其操作。通过在 算法中引入自适应算子并与 算法混合得到一种新的优化算法，经过 组测试函数仿真，验证了
18、算法的正确性和有效性。两组实例结果中，算法相较于第 卷第 期董紫燕等：基于差分蜂群算法的空间直线度误差评定 算法、算法、算法的计算精度分别提高了 、，收敛速度相较于 算法和 算法也明显提高，该算法可较好地运用到空间直线度误差评定中。参考文献 直线度误差检测 ，（）：，（）：陈玉，韩波，许高齐，等改进鲸鱼优化算法的空间直线 度 误 差 评 定 机 械 科 学 与 技 术，（）：，（）：叶明，唐敦兵最小二乘与鱼群混合优化方法评定直线度 误 差 的 研 究 机 械 科 学 与 技 术，（）：，（）：陈君宝，王宸，王生怀基于变步长天牛须搜索算法的空 间 直 线 度 误 差 评 定 工 具 技 术，（）
19、：，（）：杨洋，李明，顾京君，等混合教与学算法在空间直线度评定中的应用 计量学报，（）：，（）：温银萍动态步长细菌觅食法评定液压缸直线度误差研究 煤矿机械，（）：，（）：刘宏志人工蜂群与差分进化算法研究及其应用 沈阳：东北大学，产品几何技术规范（）几何精度的检测与验证第 部分：形状、方向、位置、跳动和轮廓度特征的检测与验证 张琳娜，赵风霞，郑鹏，等图解 几何公差规范及应用 北京：机械工业出版社 赵凤霞，张琳娜，郑玉花，等基于新一代 的空间直线度误差评定及其不确定度估计 机械强度，（）：，（）：于大国，宁磊，孟晓华基于最小二乘法深孔轴线直线度误差评定 组合机床与自动化加工技术，（）：，（）：，（）：，（），（）：林梅金，罗飞，苏彩红，等一种新的混合智能极限学习机 控制与决策，（）：，（）：第一作者：董紫燕（），女，安徽定远人，江苏理工学院硕士研究生，主要研究方向为计算机辅助公差设计（）。：通讯作者：徐旭松（），男，江苏金坛人，江苏理工学院教授，硕士生导师，主要从事计算机辅助公差设计、产品几何技术规范标准方面的研究。：计量学报 年 月
