1、 鞍 山 师 范 学 院 学 报 ，（）：初中生二次函数认知诊断研究张 冰，张玉娟，王雪梅（鞍山师范学院 数学与信息科学学院，辽宁 鞍山；大连市甘井子区实验小学，辽宁 大连）摘 要 基于 认知诊断模型，对初中生二次函数的认知情况进行诊断研究先确定二次函数认知属性及属性层级关系，再根据 矩阵编制二次函数认知诊断测试卷，最后对认知属性掌握概率和掌握模式进行分析关键词 模型；二次函数；认知诊断中图分类号 文献标识码 文章编号（）问题的提出 通过测试可以了解学生表面的学习情况，但是测试分数背后所隐藏的知识结构、认知策略、加工技能、心理内部加工过程都无法体现出来，而认知诊断可以提供较为详细的信息并通过认
2、知诊断模型实现认知诊断功能 等于 年开发出一种简便且形式灵活的认知诊断模型（模型），其具有很高的模型拟合度近年来，模型被广泛用于认知诊断研究如，王施媛等利用 模型对小学生乘法计算能力进行认知诊断研究；郝赛娟利用 模型对初中生概率学习进行认知诊断研究；弥琦利用 模型对高中生集合内容的学习情况进行认知诊断研究等二次函数是初中数学教学的重点和难点，目前，关于二次函数的研究主要集中在教学策略、解题能力等方面，对其进行认知诊断的研究相对较少对学生二次函数的学习情况进行认知诊断研究，可以了解学生分数背后所隐藏的信息，有助于教师进行补救教学 研究对象 本研究选择 市不同地区 所学校的学生作为研究对象这 所学
3、校分别位于城市中心地区的 校、城市一般地区的 校和乡镇地区的 校，每所学校九年级随机选取 个班级进行测试，共发放测试卷 份，回收有效测试卷 份，试卷有效回收率为 确定二次函数的认知属性及其层级关系 不同的研究者对认知属性的定义不同，但总的来说，它是指个体在完成一项工作时必须具备的全部知识、技能和策略等要素通过对义务教育数学课程标准（年版）和初中数学教材中二次函数的收稿日期 基金项目 辽宁省教育厅 年度基础教育课题“基于新课程标准的初中数学课堂教学评价研究”；辽宁省教育科学“十四五”规划 年度一般课题（）作者简介 张冰（），女，辽宁铁岭人，鞍山师范学院数学与信息科学学院硕士研究生通讯作者简介 张
4、玉娟（），女，吉林长春人，鞍山师范学院数学与信息科学学院教授，博士内容进行分析，结合一线教师的意见，初步确定二次函数具有 个认知属性，如表 所示，再根据属性间的逻辑和顺序关系对这 个属性的层级关系进行划分，如图 所示表 二次函数认知属性及编码认知属性编码内容说明二次函数概念理解二次函数的定义二次函数解析式的形式根据题目选择恰当的二次函数的解析式形式；用待定系数法确定解析式；对二次函数 种形式的解析式进行灵活的转化二次函数图象和性质会用描点法画图象；掌握图象的平移规律；用图象确定性质：顶点、开口方向、对称轴、增减性等；理解不同二次函数解析式中各系数对二次函数图象和性质的影响，体会解析式中字母系数
5、的意义二次函数与一元二次 方程的关系掌握二次函数与一元二次方程之间的联系：二次函数图象与 轴交点个数与一元二次方程根的个数之间的关系；会用二次函数图象求一元二次方程的近似解实际问题解决用二次函数的相关知识解决实际问题图 二次函数认知属性层级关系图 下面选择追述性口语报告的方法研究二次函数的认知属性及属性层级关系划分是否合理选取 市 校基础较好的 名学生，对他们测试 道比较典型、难度适中并且都包含了二次函数 个认知属性的试题研究发现，学生解答二次函数题目的前提是能够理解二次函数的概念，然后能够对二次函数的 种解析式形式进行灵活转换，并能根据函数图象了解其性质，最后能够熟练运用二次函数的解析式、图
6、象和性质解决与一元二次方程有关的问题因此，通过学生口语报告可以确定二次函数的认知属性和属性层级关系的划分基本合理表 属性层级关系的邻接矩阵 接下来，根据二次函数认知属性及属性层级关系确定二次函数理想掌握模式理想掌握模式是指在属性及属性层级之间遵循逻辑顺序的掌握模式，是一个行数和列数均为 且元素为 或 的矩阵假如掌握了该属性，则用“”表示，未掌握则用“”表示若二次函数的 个认知属性之间没有关联，则理论上二次函数的属性掌握模式共有 种，但其中部分属性层级间存在顺序或逻辑关系因此，不符合逻辑顺序的掌握模式需要舍弃以二次函数 个认知属性层级关系为依据，得到属性层级关系的邻接矩阵 ，如表 所示通过邻接矩
7、阵 ，根据涂冬波认知诊断数据分析平台，基于 认知诊断模型得到 种理想掌握模式，分别为（）、（）、（）、（）、（）、（）、（）二次函数认知诊断试卷编制表 道测试题对应的 矩阵试题编号属性 二次函数预测试卷的编制 建立 矩阵 矩阵是反映测验项目与属性之间关系的矩阵，由 （指测验项目个数）行 （指属性个数）列 组成的矩阵 矩阵是编制认知诊断测试卷的理论基础 矩阵建立之前，必须先确定二次函数认知属性的典型项目考核模式测验题目不能 个认知属性都不考察，所以要排除（）这种理想掌握模式，因此，二次函数的典型项目考核模式共有 种，分别为（）、（）、（）、（）、（）、（）将上述 种典型项目考核模式作为 矩阵的设
8、计基础，并确保每个认知属性考查次数达到 次以上，建立 矩阵，如表 所示 编制预测试卷 按照 矩阵，参考近年来二次函数的典型习题和中考真题编制测试卷，并邀请 位有经验的一线教师，共同评定所编试题是否严格考察 矩阵中所规定的认知属性，淘汰不符合要求第 期张 冰，等：初中生二次函数认知诊断研究的试题，最终形成二次函数认知诊断的预测试卷该套试卷由 道试题组成，包括选择题、填空题和解答题 种题型 二次函数终测试卷的编制 实施预测试 选取 市 校九年级 名学生为预测试卷的发放对象，测试时间为 因为 模型适用于二元计分项目，所以 道测试题的得分均采用 方式进行编码，即被试答对得“”分，答错或未作答得“”分由
9、于第、题均为解答题，包含多个小问题，则全部回答正确记为“”分，否则记为“”分 测试结果的层级关系检验 测量结构效度可以反映认知诊断的效度，而结构效度可以通过属性层级关系的合理性来检验一致性指标 值可以用来验证属性层级关系是否恰当，值介于与 之间，越接近于，属性层级关系越合理；越接近于，则属性间的层级关系越不合理当 值大于 时，属性层级关系界定良好利用所有被试的 均值验证属性层级关系是否合理通过涂冬波认知诊断数据分析平台得到 均值为 ，因此，二次函数的属性层级关系划分合理，预测试卷具有良好的效度，可以在正式测试时直接使用 数据分析 模型参数估计与拟合表 测试项目诊断参数项目猜测参数失误参数 值
10、平均值 猜测参数和失误参数的大小可以反映 模型认知诊断结果的有效程度当猜测参数、失误参数均小于，且二者之和不大于 时，表明认知诊断结果良好利用涂冬波认知诊断数据分析平台进行诊断参数的估计，得到的具体结果如表 所示由表 可以看出，个测验项目的猜测参数和失误参数的平均值均远远小于，并且二者之和均小于，所以本次认知诊断猜测参数和失误参数均符合模型要求，测试题与 认知诊断模型的拟合度较好因此，编制的认知诊断测试卷的内部效度良好，认知诊断模型的选取和认知诊断的测试结果都比较合理 学生认知属性掌握概率分析利用涂冬波认知诊断数据分析平台，基于 模型，对 名被试学生的测试数据进行诊断，可以得到每位被试学生二次
11、函数 个认知属性的掌握概率，计算 所学校被试学生每个认知属性的平均掌握概率，可以从整体上了解学生对二次函数 个认知属性的掌握情况，如表 所示由文献可知，掌握概率大于 表示被试已经掌握了该属性；掌握概率小于 表示被试还没有掌握该属性；掌握概率大于 小于，无法确定表 所学校被试学生各认知属性的掌握概率认知属性学校 校 校 校整体被试 平均值 由表 可以看出，所学校学生各认知属性整体掌握概率均在 之上，说明对于二次函数的 个鞍山师范学院学报第 卷认知属性，被试的整体掌握情况较好其中，和 两个认知属性的掌握概率最高，分别为 和，说明学生 和 的掌握情况最好；的掌握概率为，说明学生 掌握得较好；的掌握概
12、率为 ，说明学生 掌握得一般，还有待提高；的掌握概率为 ，说明学生 掌握得最差，不能很好地理解二次函数与一元二次方程的关系对表 进行横向比较，可以看出、的掌握概率都是 校最高，其次是 校，校最差对 的掌握概率 校比 校略低，原因可能是：校学生对二次函数的图象和性质的相关知识有所遗忘，或者 校学生存在一定的猜测概率对表 进行纵向比较，可以看出 所学校、和 的认知属性掌握概率比较高，说明这 个认知属性掌握得较好；的掌握概率最低，说明 认知属性掌握最差，这表明 所学校被试对二次函数与一元二次方程关系掌握欠缺，需要进行补救教学；的掌握概率相对较差，说明学生解决实际问题的能力较弱，平时应该加强训练 学生
13、认知属性掌握模式分析利用涂冬波认知诊断数据分析平台，基于 模型以及 所学校被试的作答数据和 矩阵，采用极大似然估计法（）来识别被试的认知属性掌握模式，进而对这些认知属性掌握模式进行归属，可以得到不同掌握模式的归入率，即不同掌握模式的人数占各校被试人数的百分比，最终可以得到在 种理想掌握模式上被试人数比例的分布情况，如表 所示表 不同学校掌握模式归入率掌握模式学校 校 校 校平均归入率总归入率由表 可知 所学校被试理想掌握模式的平均归入率为，说明学生较好地掌握了二次函数知识，其中，掌握模式（）的归入率为，说明一半以上的学生能够全部掌握二次函数的 个认知属性；掌握模式（）、（）、（）、（）平均归入
14、率的和为，表明绝大多数学生对二次函数掌握得较好；（）、（）、（）的平均归入率分别为、，说明少数学生对二次函数与一元二次方程的关系或实际问题解决掌握得不好，教师在教学中应该加强学生对二次函数与一元二次方程关系的理解，培养学生的建模能力；掌握模式（）的归入率为，说明较少学生对二次函数的图象和性质掌握得不好，教师应该注重对他们数形结合思想的培养；掌握模式（）的归入率为，说明个别学生二次函数概念掌握得较差，教师在教学中应该加深学生对二次函数概念的理解，明确其成立的条件由表 还可以看出，校被试理想掌握模式总归入率为，其中，掌握模式（）的归入率为，表明 校大部分学生掌握了二次函数的全部认知属性 校被试理想
15、掌握模式总归入率为，其中，掌握模式（）的归入率为，表明 校一半以上的学生掌握了二次函数的全部认知属性 校被试理想掌握模式总归入率为，其中，掌握模式（）的归入率为，表明 校掌握了二次函数的全部认知属性的学生不到一半通过对理想掌握模式归入率和掌握模式（）归入率的分析，发现对二次函数掌握得最好的是 校，校次之，校最差，出现这种现象的原因是乡镇学校学生基础相对比较差第 期张 冰，等：初中生二次函数认知诊断研究 研究结论 初中生二次函数各认知属性的掌握概率不同通过对被试整体二次函数各个认知属性掌握概率的分析，得知初中生二次函数各个认知属性的整体掌握情况良好，其中，学生二次函数概念和二次函数解析式的形式两
16、个认知属性掌握得最好，二次函数的图象和性质掌握得较好，二次函数与一元二次方程的关系和解决实际问题两个认知属性掌握得较差说明学生二次函数基础知识的掌握比较牢固，而用二次函数的知识解决实际问题的能力还有待提高通过对不同学校被试认知属性掌握概率的分析，发现 校学生各个认知属性的掌握概率相较于其他两个学校来说是最高的，校次之，校的认知属性掌握概率最低表明整体上 校学生二次函数的掌握要好于 校，校好于 校 初中生二次函数掌握模式比较集中通过涂冬波认知诊断数据分析平台，基于 模型，对被试的认知属性掌握模式进行归属，得到 种理想掌握模式这 种掌握模式的平均归入率为，说明学生二次函数掌握得较好掌握模式（）、（）、（）、（）、（）、（）的平均归入率分别为、，表明有少数学生二次函数 个认知属性的学习还存在问题通过对理想掌握模式归入率和掌握模式（）归入率的分析，发现二次函数掌握最好的是 校，校次之，校最差，说明学生二次函数的掌握情况与学生的基础有关系，乡镇地区的学校教师在二次函数教学时应根据学生的情况及时进行补救教学参考文献 张潇，沙如雪认知诊断 模型研究进展中国考试，（）：，（）：王施媛，戴海琦小学生乘法
