1、北京曲一线图书策划有限公司 2024版5年高考3年模拟A版7.2等差数列考点一等差数列及其前n项和1.(2021北京,6,4分)已知an和bn是两个等差数列,且akbk(1k5)是常数,若a1=288,a5=96,b1=192,则b3的值为()A.64B.100C.128D.132答案C命题意图:本题以定义新运算为出题背景,考查等差数列的性质,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理及数学运算,落实了应用性、综合性和创新性的考查要求.解题思路:解法一:因为an是等差数列,所以2a3=a1+a5=288+96,所以a3=192,又因为当1k5时,akbk是常值,所以a3b3=a1b1,即
2、192b3=288192,从而b3=128.解法二:由题意可知a1b1=a5b5,则b5=64,又bn是等差数列,所以b3=b1+b52=192+642=128.2.(2022新高考,3,5分)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA,BB,CC,DD是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=(
3、)图1图2A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9答案D令OD1=DC1=CB1=BA1=a,则CC1=k1a,BB1=k2a,AA1=k3a,DD1=0.5a,所以A的坐标为(4a,k1a+k2a+k3a+0.5a),所以kOA=k1a+k2a+k3a+0.5a4a=k1+k2+k3+0.54=0.725,所以k1+k2+k3+0.5=2.9.因为k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,所以k1+k2+k3+0.5=3k3-0.3+0.5=2.9,所以k3=0.9,故选D.3.(2020课标理,4,5分)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天
4、心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案C由题意可设每层有n个环,则三层共有3n个环,每一环扇面形石板的块数构成以a1=9为首项,9为公差的等差数列an,且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1,中层总数为S2,下层总数为S3,S3-S2=9(2n+1)n+n(n1)299(n+1)n+n(n1)29=9n2=729,解得n=9(负值舍去).则三层共有扇
5、面形石板(不含天心石)279+272629=279+27139=27149=3 402(块).故选C.4.(2015课标文,5,5分)设Sn是等差数列an的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11答案Aan为等差数列,a1+a5=2a3,得3a3=3,则a3=1,S5=5(a1+a5)2=5a3=5,故选A.5.(2015课标文,7,5分)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.172B.192C.10D.12答案B由S8=4S4得8a1+8721=44a1+4321,解得a1=12,a10=a1+9d=192,故选
6、B.评析本题主要考查等差数列的前n项和,计算准确是解题关键,属容易题.6.(2015浙江理,3,5分)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d0答案B由a42=a3a8,得(a1+2d)(a1+7d)=(a1+3d)2,整理得d(5d+3a1)=0,又d0,a1=-53d,则a1d=-53d20,又S4=4a1+6d=-23d,dS4=-23d20,故选B.7.(2013课标理,7,5分)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C
7、.5D.6答案C解法一:Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,公差d=am+1-am=1,由Sn=na1+n(n1)2d=na1+n(n1)2,得ma1+m(m1)2=0,(m1)a1+(m1)(m2)2=2.由得a1=1m2,代入可得m=5.解法二:数列an为等差数列,且前n项和为Sn,数列Snn也为等差数列.Sm1m1+Sm+1m+1=2Smm,即2m1+3m+1=0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.8.(2016课标,3,5分)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97
8、答案C设an的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得S9=9a1+982d=27,a10=a1+9d=8,解得a1=1,d=1,an=a1+(n-1)d=n-2,a100=100-2=98.故选C.思路分析用a1,d表示S9,a10,列方程组求出a1,d,从而可求得a100.9.(2022全国乙文,13,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=.答案 2解析2S3=3S2+6,2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,即6d=3d+6,解得d=2.10.(2014天津理,11,5分)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,
9、S4成等比数列,则a1的值为.答案-12解析S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6.故(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-12.11.(2013课标理,16,5分)等差数列an的前n项和为Sn.已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为.答案-49解析由Sn=na1+n(n1)2d得10a1+45d=0,15a1+105d=25,解得a1=-3,d=23,则Sn=-3n+n(n1)223=13(n2-10n),所以nSn=13(n3-10n2),令f(x)=13(x3-10x2),则 f (x)=x2-203x=xx203,当x1,203时, f(x)递减,当x20
10、3,+时, f(x)递增,又62031.记an的前n项和为Sn(nN*).(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;(2)若对于每个nN*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.解析 (1)an为等差数列,an=(n-1)d-1,S4-2a2a3+6=6d-4-2(d-1)(2d-1)+6=0,解得d=3或d=0,又d1,d=3,则an=3n-4,nN*,Sn=(1+3n4)n2=n(3n5)2,nN*.(2)an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,(an+1+4cn)2=(an+cn)(an+2+15cn),an+12
11、+16cn2+8an+1cn=anan+2+15cn2+(an+2+15an)cn=an+12d2+15cn2+(an+2+15an)cn,cn2+(8an+1-an+2-15an)cn+d2=0,由(1)知an=(n-1)d-1,8an+1-an+2-15an=8+(14-8n)d,则有cn2+8+(14-8n)dcn+d2=0对每个nN*都成立,=8+(14-8n)d2-4d2=8+(16-8n)d8+(12-8n)d0对每个nN*都成立,即n1d2n1d320对每个nN*都成立,由于n为正整数,d1,1d+2和1d+32只能同处于相邻的整数之间,又21d+23,21d+323,23d2,
12、故10,a2=3a1,且数列Sn是等差数列.证明:an是等差数列.解题指导:根据已知条件Sn为等差数列,求出数列Sn的通项公式,利用an=Sn-Sn-1(n2,nN*)即可求出an的通项公式,根据等差数列的定义可证明其为等差数列.解析设等差数列Sn的公差为d,因为a2=3a1,S1=a1,S2=a1+a2=4a1=2a1,所以d=S2S1=2a1a1=a1,所以Sn=a1+(n-1)a1=na1,所以Sn=n2a1.当n2时,Sn-1=(n-1)2a1,所以an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,经检验,当n=1时,也满足题意,所以an=(2n-1)a1,nN*,当
13、n2时,an-an-1=(2n-1)a1-(2n-3)a1=2a1(常数),an是等差数列.易错警示应用an=S1(n=1),SnSn1(n2)时,不要忽略n=1时的情况.16.(2021全国甲理,18,12分)已知数列an的各项均为正数,记Sn为an的前n项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.数列an是等差数列;数列Sn是等差数列;a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解题指导:先选两个作为条件,余下一个作为结论,然后进行证明.如果是证明,利用等差中项法,即只需2S2=S1+S3,通过化简即可得证;如果是证明或,可先求数列的通项公式,再利用等差数列的定义
14、证明即可.解析选作为条件,证明.证明:设等差数列an的公差为d,因为Sn是等差数列,所以2S2=S1+S3,即22a1+d=a1+3a1+3d,两边平方,得4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2a1(3a1+3d),整理得4a1+d=2a1(3a1+3d),两边平方,得16a12+8a1d+d2=4(3a12+3a1d),化简得4a12-4a1d+d2=0,即(2a1d)2=0,所以d=2a1,则a2=a1+d=3a1.选作为条件,证明.证明:设等差数列an的公差为d.因为a2=3a1,即a1+d=3a1,所以d=2a1.所以等差数列an的前n项和Sn=na1+n(n1)2d=na1+n(n
15、1)22a1=n2a1.又a10,所以Sn=na1.则Sn+1Sn=(n+1)a1na1=a1,所以数列Sn是公差为a1的等差数列.选作为条件,证明.证明:设等差数列Sn的公差为d,因为S1=a1,S2=a1+a2=a1+3a1=2a1,所以d=S2S1=2a1a1=a1,则等差数列Sn的通项公式为Sn=a1+(n-1)a1=na1,所以Sn=n2a1,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,且当n=1时,上式也成立,所以数列an的通项公式为an=(2n-1)a1,则an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以数列an是公差为2a1的等
16、差数列.方法总结:证明数列an是等差数列的方法:(1)定义法:证明an-an-1=d(n2,nN*),或an+1-an=d(nN*);(2)等差中项法:证明2an=an-1+an+1(n2,nN*).17.(2013课标文,17,12分)已知等差数列an的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)求a1+a4+a7+a3n-2.解析(1)设an的公差为d.由题意,得a112=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4
17、+a7+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故a3n-2是首项为25,公差为-6的等差数列.从而Sn=n2(a1+a3n-2)=n2(-6n+56)=-3n2+28n.18.(2012湖北,理18,文20,12分)已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和.解析(1)设等差数列an的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得3a1+3d=3,a1(a1+d)(a1+2d)=8,解得a1=2,d=3或a1=4,d=3.所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n
18、+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5或an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|=3n+7,n=1,2,3n7,n3.记数列|an|的前n项和为Sn.当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+|an|=5+(33-7)+(34-7)+(3n-7)=5+(n2)2+(3n7)2=32n2-112n+10.当n=2时,满足此式,综上,Sn=4,n
19、=1,32n2112n+10,n1.评析本题考查等差、等比数列的基础知识,考查运算求解能力.19.(2014大纲全国文,17,10分)数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.解析(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得,an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.(5分)(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.(8分)于是k=1n(ak+1ak)=k=1n(2k1),所以an+1-a
20、1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.(10分)评析本题着重考查等差数列的定义、前n项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识,同时考查运算变形的能力.20.(2014课标理,17,12分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数,(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.解析(1)证明:由题设anan+1=Sn-1,知an+1an+2=Sn+1-1.两式相减得,an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=.(2)存在.由a1=1,a1a
21、2=a1-1,可得a2=-1,由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4,由此可得,a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)4=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)4=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得an为等差数列.评析本题主要考查an与Sn的关系及等差数列的定义,考查学生的逻辑思维能力及分析解决问题的能力.考点二等差数列的性质1.(2015广东理,10,5分)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.答案10解析利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以a2+a8=2a5=10.2.(2015陕西文,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.答案5解析设该数列的首项为a1,根据等差数列的性质可得a1+2 015=21 010,从而a1=5.3.(2014北京理,12,5分)若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,即a80.又a8+a9=a7+a100,a90,当n=8时,an的前n项和最大.第 9 页 共 9 页
