1、高考数学,专题八立体几何8.4直线、平面垂直的判定和性质,考点一直线与平面垂直的判定和性质,1.(多选)(2023届南京学情调研,9)已知l,m是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列选项中,lm的充分条件有()A.,l,mB.,l,mC.,l,mD.,l,m答案BC,2.(2022浙江杭州二中、温州中学、金华一中三校模考,6),在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,若PBAB,BA=BP=BC=2DC=2,则下列结论可能成立的是()A.PD=PCB.PD=C.PDBCD.PCAD答案D,3.(多选)(2021新高考,10,5分)如图,下列各正方体中,O为下底面的中心,M,N为正方
2、体的顶点,P为所在棱的中点,则满足MNOP的是(),答案BC,4.(2016课标,14,5分),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)答案,5.(2019课标文,17,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.,解析(1)证明:由已知得B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,
3、故B1C1BE.又BEEC1,B1C1EC1=C1,所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=A1EB1=45,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EFBB1,垂足为F,则EF平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=363=18.,6.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,19)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PAPD,PA=PD,AD=4,E为AB的中点,DE=AE,侧面PAD底面ABCD.(1)证明:PA平面PBD;(2)若AB=4,求点C到平面PDE的距离
4、.,解析(1)证明:取AD的中点O,连接OP,OE,EA=ED,且O是AD的中点,EOAD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,EO平面ABCD,EO平面PAD,PA平面PAD,EOPA,又EOBD,PABD,又PAPD,BDPD=D,PD,BD平面PBD,PA平面PBD.,(2)EOAD,BDEO,BDAD.在RtABD中,AB=4,AD=4,BD=4,DE=2.连接PE.PA=PD,O是AD的中点,POAD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,PO平面ABCD,OE平面ABCD,POOE.在RtPOE中,PO=OE=2,PE=2.在PDE
5、中,PD=PE=DE=2,SPDE=22=2.设点C到平面PDE的距离为h,DEAB,ABCD,DECD,SCDE=42=8,PO底面ABCD,三棱锥P-CDE的高为PO=2,由等体积法得2h=82,解得h=.故点C到平面PDE的距离为,.,考点二平面与平面垂直的判定和性质,1.(2022全国乙,理7,文9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则()A.平面B1EF平面BDD1B.平面B1EF平面A1BDC.平面B1EF平面A1ACD.平面B1EF平面A1C1D答案A,2.(2022浙江宁波专题练,5)下列命题中错误的是()A.如果平面平面,那么平面内一定
6、存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面答案D,3.(2019课标,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线答案B,4.(多选)(2023届浙南名校联盟联考,11)如图,AC是圆O的直径,PA与圆O所在的平面垂直且PA=AC=2,B为
7、圆周上不与点A、C重合的动点,M,N分别为点A在线段PC、PB上的投影,则下列结论正确的是()A.平面AMN平面PBCB.点N在圆上运动C.当AMN的面积最大时,二面角A-PC-B的平面角为D.PA与MN所成的角可能为答案ABC,5.(2021新高考,20,12分)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:OACD;(2)若OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45,求三棱锥A-BCD的体积.,解析(1)证明:在ABD中,AB=AD,O为BD的中点,AOBD,又平面ABD平面BCD,平面ABD平面
8、BCD=BD,AO平面ABD,AO平面BCD,又CD平面BCD,AOCD.(2)在ABD中,过E作ENAO交BD于N,则由AO平面BCD得EN平面BCD,ENBC,OB=OD=OC=1,BCD=90,即DCBC.在BCD中,过N作NMCD交BC于M,则NMBC.,连接EM,BCEN,BCNM,ENNM=N,BC平面EMN,EMBC,EMN为二面角E-BC-D的平面角,又二面角E-BC-D的大小为45,EMN=45,EMN为等腰直角三角形,又由DE=2EA得DN=2NO,MN=CD=EN=ND,AO=OD=1,VA-BCD=SBCDAO=11=.故三棱锥A-BCD的体积为.,考法一判定或证明直线
9、与平面垂直的方法,1.(2021浙江,6,4分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则()A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN平面BDD1B1答案A,2.(多选)(2023届广东三校联考,11)下列四个正方体图形中,l是正方体的一条体对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出l平面MNP的是()AB C D,答案ACD,3.(2022湖北部分重点中学联考,19)如图,在几何体PABCD
10、Q中,四边形ABCD是边长为4的正方形,PD平面ABCD,PD=4,点E为PD的中点,四棱锥Q-ABCD是高为4的正四棱锥.(1)求证:QB平面EAC;(2)求平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值.,解析(1)证明:连接BD,与AC交于点O,因为四边形ABCD是正方形,所以ACBD.连接OQ,因为四棱锥Q-ABCD是正四棱锥,所以OQ平面ABCD,因为AC平面ABCD,所以OQAC,因为OQBD=O,所以AC平面QBD,因为BQ平面QBD,所以ACBQ.延长QO与PB交于点F,因为PD平面ABCD,DQ平面ABCD,所以PDQO,因为O为BD的中点,所以F为PB的中点,则OF=PD=2,
11、又OQ=4,OB=2,所以QF=6,BF2=OF2+OB2=22+=12,QB2=OQ2+OB2=42+=24,所以BF2+QB2=QF2,所以QBBF.连接OE,因为点E为PD的中点,点O为BD的中点,所以OEBF,所以QBOE,因为OEAC=O,所以QB平面EAC.(2)以D为原点,DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(4,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),B(4,4,0),Q(2,2,-4),所以=(-4,4,0),=(-4,0,4),=(0,4,0),=(-2,2,-4).设平面PAC的法向量为n=(x1,y1,z1),则得取z1
12、=1,得n=(1,1,1).设平面QAB的法向量为m=(x2,y2,z2),则得,取z2=1,得m=(-2,0,1).设平面PAC与平面QAB所成锐二面角的大小为,则cos=,所以平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值为.,4.(2022辽宁大连一中期中,20)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAD是正三角形,侧面PAD底面ABCD,M是PD的中点.(1)证明:AM平面PCD;(2)若AD=2,且二面角M-BC-D的大小为30,求四棱锥P-ABCD的体积.,解析(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以CDAD.因为侧面PAD底面ABCD,侧面PAD底面ABCD=AD
13、,CD平面ABCD,所以CD平面PAD,因为AM平面PAD,所以CDAM.又PAD是正三角形,M是PD的中点,所以PDAM,又PDCD=D,PD,CD平面PCD,所以AM平面PCD.(2)取AD的中点O,过点O作AB的平行线ON交BC于N,连接OP,易证OP平面ABCD.以O为原点,OA,ON,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,),M,A(1,0,0),设AB=a,a0,则B(1,a,0),C(-1,a,0),设平面MBC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1,n1,从而则可得n1=(0,2a),因为OP平面ABCD,所
14、以平面ABCD的法向量与共线,可取n2=(0,0,1),因为二面角M-BC-D的大小为30,所以cos 30=|cos|=,解得a=,所以四棱锥P-ABCD的体积为V=2=.,考法二判定或证明平面与平面垂直的方法,1.(多选)(2022长沙月考,11)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,N为底面ABCD的中心,P为棱A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则下列结论正确的是(),A.CM与PN是异面直线B.|C.过P,A,C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形D.平面PAN平面BDD1B1答案BD,2.(2023届重庆南开中学质检,19)如图,在三棱锥P-ABC中,底面ABC是
15、边长为6的等边三角形,且满足=2,M,N分别为BC,AB的中点,=,PD平面ABC.(1)证明:平面PDF平面PMN;(2)若二面角P-MN-D的余弦值为,求PM与平面PDF所成角的正切值.,解析(1)证明:因为=2,AC=6,所以AD=4,CD=2,因为M,N分别为BC,AB的中点,所以MNAC,MN=AC=3,因为=,所以MF=,在ABC内,取AC的中点K,连接BK交MN于H,则BKAC,KD=1,MH=MN=,则FH=1,所以FHKD,所以四边形FDKH为平行四边形,所以DFBK,所以DFAC,所以DFMN.,又PD平面ABC,MN平面ABC,所以PDMN,因为PDDF=D,PD,DF平
16、面PDF,所以MN平面PDF,因为MN平面PMN,所以平面PDF平面PMN.(2)由(1)可得PFD即是二面角P-MN-D的平面角,所以cosPFD=,又PDDF,所以=.又ABC是边长为6的等边三角形,所以DF=,则PD=,PF=3.由MN平面PDF可得MPF即是PM与平面PDF所成角,在RtPFM中,tanMPF=,即PM与平面PDF所成角的正切值为.,3.(2020课标文,20,12分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1MN,且平面A
17、1AMN平面EB1C1F;(2)设O为A1B1C1的中心.若AO=AB=6,AO平面EB1C1F,且MPN=,求四棱锥B-EB1C1F的体积.,解析(1)证明:因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MNCC1.又由已知得AA1CC1,故AA1MN.,因为A1B1C1是正三角形,N为B1C1的中点,所以B1C1A1N.又B1C1MN,A1NMN=N,故B1C1平面A1AMN.因为B1C1平面EB1C1F,所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)AO平面EB1C1F,AO平面A1AMN,平面A1AMN平面EB1C1F=PN,所以AOPN.又APON,所以四边形APNO是平行四边形,所以PN=
18、AO=6,AP=ON=AM=,PM=AM=2,EF=BC=2.易证BC平面EB1C1F,所以四棱锥B-EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离.作MTPN,垂足为T,则由(1)知,MT平面EB1C1F,故MT=PMsinMPN=3.,底面EB1C1F的面积为(B1C1+EF)PN=(6+2)6=24.所以四棱锥B-EB1C1F的体积为243=24.,4.(2022全国乙文,18,12分)如图,四面体ABCD中,ADCD,AD=CD,ADB=BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED平面ACD;(2)设AB=BD=2,ACB=60,点F在BD上,当AFC的
19、面积最小时,求三棱锥F-ABC的体积.,解析(1)证明:AD=CD,ADB=BDC,BD=BD,ADBCDB,AB=BC,又E为AC的中点,BEAC,在ADC中,AD=CD,E为AC的中点,DEAC,又DE平面BED,BE平面BED,DEBE=E,AC平面BED,AC平面ACD,平面BED平面ACD.(2)由(1)可知AB=BC且ACB=60,ABC为等边三角形,AC=AB=2.又AD=DC,ADCD,AD=DC=,连接EF,由(1)知AC平面BED,EF平面BED,ACEF,SACF=ACEF=EF,在RtADC中,可得DE=1,在ABC中,可得BE=,又BD=2,BD2=DE2+BE2,B
20、ED为直角三角形,且EBD=30,EF的最小值为RtBED斜边上的高h,且h=BEsinEBD=,AC平面BEF,VF-ABC=SBEFAC=AC=AC,考法三翻折问题的处理方法,1.(2022湖南衡阳一中月考,6)如图所示,在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使得平面ABD平面BCD,构成四面体ABCD,则下列说法正确的是()A.平面ABD平面ABC B.平面ACD平面BCDC.平面ABC平面BCD D.平面ACD平面ABC,答案D,2.(2023届福建泉州质量监测一,7)已知矩形ABCD中,AB=2,BC=1,将CBD沿BD折起至CBD,当CB与AD所成角最大时,三棱锥C-ABD的体积等于()A.B.C.D.答案C,3.(2018课标理,18,12分)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.,
