1、高考数学,专题九平面解析几何9.1直线和圆,考点一直线的方程1.直线的倾斜角1)倾斜角:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定l的倾斜角为0.3)范围:直线的倾斜角的取值范围是0180.,2.直线的斜率1)定义:当直线l的倾斜角时,其倾斜角的正切值tan 叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,则k=tan.2)范围:全体实数R.3)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为=,.,3.直线方程的形式,4.两直线的位置关系,常见的直线系方程1)
2、过定点M(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(不包含直线x=x0).2)和直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C=0(CC).3)和直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C=0.4)经过两相交直线A1x+B1y+C1=0(+0)和A2x+B2y+C2=0(+0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).,5.距离公式1)平面上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)间的距离公式:|P1P2|=.特别地,点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=.2)点P0(x0,y0)到
3、直线l:Ax+By+C=0(A2+B20)的距离d=.,3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(A2+B20,C1C2)间的距离d=.,考点二圆的方程1.标准方程圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.2.一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)表示圆心为,半径为 的圆.1)圆的一般方程的形式特点:x2和y2的系数相等且大于0.没有含xy的二次项.A=C0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要不充分条件.,2)已知P(x1,y1),Q(x2,y2),则以PQ为直径的圆的方程为(x-x
4、1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.,考点三直线与圆的位置关系1.设直线l:Ax+By+C=0(A2+B20),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到一元二次方程根的判别式.,2.与圆的切线有关的结论1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0 x+y0y=r2.2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.3.直线与圆相交直线与圆相交时,若l为弦长,d为弦心距,r为半径,则有r2=d2+,即l=2,求弦长或已
5、知弦长求其他量时,一般用此公式.,考点四圆与圆的位置关系1.设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(Rr),则,知识拓展：圆系方程1.同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中a,b是定值,r是参数;2.过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R);3.过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满
6、足题意,以防漏解).2.两圆相交时,公共弦所在直线的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交,则有一条公共弦,由-,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.方程表示圆C1与,C2的公共弦所在直线的方程.,考法一对称问题1.中心对称1)若点M(x1,y1)与N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得2)直线关于点的对称问题可以转化为点关于点的对称问题来解决.2.轴对称1)点关于直线对称求P1(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0(B0)对称的点P2(x2,y2),由线段P1P2的中点在对称轴l上,而
7、且过点P1,P2的直线垂直于对称轴l,得方程组可得到点P2的坐标(x2,y2)(其中A0,x1x2).,2)直线关于直线的对称问题可以转化为点关于直线的对称问题来解决.特别地,点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点为P1(2a-x0,y0).点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点为P2(x0,2b-y0).点P(x0,y0)关于直线y=x+c的对称点为P3(y0-c,x0+c).点P(x0,y0)关于直线y=-x+c的对称点为P4(c-y0,c-x0).,例1已知ABC的一个顶点A(2,-4),且B,C的平分线所在直线的方程分别为x+y-2=0,x-3y-6=0,则BC边所在直线的方程为.
8、,解析由角平分线的性质知点A关于B,C的平分线所在直线的对称点均在直线BC上,设点A关于直线x-3y-6=0的对称点为A1(x1,y1),则有解得即A1,同理,点A(2,-4)关于直线x+y-2=0的对称点A2的坐标为(6,0).直线A1A2的方程为y=(x-6),即x+7y-6=0.BC边所在直线的方程为x+7y-6=0.,答案x+7y-6=0,考法二与圆的切线相关的问题1.求过圆上一点(x0,y0)的切线若切线斜率存在且不为零,则先求切点和圆心连线的斜率k,由垂直关系知切线斜率为-,由点斜式可求切线方程;若切线斜率不存在或为零,则可直接写出切线的方程为x=x0或y=y0.2.求过圆外一点(
9、x0,y0)的切线1)几何法:当切线斜率存在时,设斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0,由圆心到切线的距离等于半径长列出关于k的方程,解方程即可得到k的值,从而可得切线方程;当切线斜率不存在时,可直接写出切线的方程为x=x0,检验该直线是不是切线.2)代数法:当切线斜率存在时,设斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx,-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由=0求得k的值,从而得到切线方程;当切线斜率不存在时,可直接写出切线的方程为x=x0,检验该直线是不是切线.,例2已知点P(3,+2),Q(4,3),圆M:(
10、x-1)2+(y-2)2=9.(1)求过点P的圆M的切线方程;(2)求过点Q的圆M的切线方程以及切线长.,解析易知圆M的圆心为M(1,2),半径r=3.(1)(3-1)2+(+2-2)2=9,点P在圆M上,又kPM=,切线的斜率k=-=-.过点P的圆M的切线方程为y-(+2)=-(x-3),即2x+y-11-2=0.(2)(4-1)2+(3-2)2=9+1=109,点Q在圆M的外部.当过点Q的直线的斜率不存在时,直线的方程为x=4,又知点M(1,2)到该直线的距离d=4-1=3=r,直线x=4符合题意.,当过点Q的直线的斜率存在时,设直线方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,则
11、圆心M到直线的距离d=3,即|1-3k|=3,解得k=-,切线方程为-x-y-4+3=0,即4x+3y-25=0.综上可知,过点Q的圆M的,切线方程为x=4或4x+3y-25=0.|QM|=,过点Q的圆M的切线长为=1.,考法三与圆有关的最值问题 1.与圆有关的长度或距离的最值问题的常见解法:一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线的距离或点到圆心的距离.2.与圆上点(x,y)有关的最值的常见类型及解法如下:1)形如u=型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题.2)形如t=ax+by型的
12、最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题.3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题,可转化为动点到定点(a,b)的距离平方的最值问题.,3.与距离最值有关的常见的结论1)圆外一点A到圆C上的最近距离为|AC|-r,最远距离为|AC|+r(r为圆的半径).2)过圆内一点的弦最长的是圆的直径,最短的是以该点为中点的弦.3)直线与圆相离,则圆上点到直线的距离最大为d+r,最小为d-r.(其中d为圆心到直线的距离,r为圆的半径)4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.5)直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离.6)两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点
13、间的最短距离为两条平行线间的距离.,例3(2021山东日照二模,4)若实数x、y满足条件x2+y2=1,则的取值范围是()A.0,B.-3,5C.(-,-1D.,解析的几何意义是圆上的点(x,y)与定点(-1,2)的斜率,由图知,斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间,其中直线AC的斜率不存在,设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x+1)+2,即kx-y+k+2=0,由直线AB与圆相切得=1,解得k=-,故的取值范围为,故选D.,答案D,例4(2022湖南岳阳三模,5)已知圆(x-a)2+(y-b)2=1经过原点,则圆上的点到直线y=x+2距离的最大值为()A.2B.+2C.+1D.,
14、解析因为圆(x-a)2+(y-b)2=1经过原点,所以a2+b2=1,则圆心(a,b)在单位圆x2+y2=1上,问题转化为与单位圆上的点到直线y=x+2的最大距离问题.原点(0,0)到直线y=x+2的距离为|OB|=.延长BO交圆x2+y2=1于点C,以C为圆心,OC长为半径作圆C,BC的延长线交圆C于点D,当圆心(a,b)在C处时,点(a,b)到直线y=x+2的距离最大,为|OB|+1=+1,此时,圆(x-a)2+(y-b)2=1上的点D到直线y=x+2的距离最大,为|OB|+1+1=+2.,答案B,例5(2022福建宁德质检,6)已知点M(2,4).若过点N(4,0)的直线l与圆C:(x-6)2+y2=9交于A,B两点,则|+|的最大值为()A.12B.8C.10D.6,解析由已知圆的方程可得:圆心C(6,0),半径r=3,设线段AB的中点为P(x,y),则由垂径定理可知:NPCP,即=0,而=(x-4,y),=(x-6,y),所以(x-4)(x-6)+y2=0,即点P的轨迹方程为(x-5)2+y2=1,即点P的轨迹是以线段CN为直径的圆,设E为NC的中点,则E(5,0),所以|MP|的最大值为|ME|+1=+1=5+1=6,又|+|=2|,所以|+|的最大值为12.故选A.,答案A,
