1、高考数学,专题十一概率与统计11.3二项分布与正态分布,考点一条件概率、相互独立事件及二项分布、全概率公式,考向一相互独立事件、二项分布,1.(2018课标,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案B,2.(2015课标,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36
2、D.0.312答案A,3.(2023届江苏常州一中检测,7)袋子里装有形状、大小完全相同的4个小球,球上分别标有数字1,2,3,4,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,A表示事件“第一次取出的球上数字是1”,B表示事件“第二次取出的球上数字是2”,C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”,D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”,通过计算,则可以得出()A.B与D相互独立B.A与D相互独立C.B与C相互独立D.C与D相互独立答案C,4.(多选)(2023届哈尔滨七十三中月考,9)一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次,记事件A为“第一次向下的数字为偶数”,
3、事件B为“两次向下的数字之和为奇数”,则下列说法正确的是()A.P(A)=B.事件A和事件B互为对立事件C.P(B|A)=D.事件A和事件B相互独立答案CD,5.(多选)(2023届浙江“山水联盟”联考,9)若P(A)=,P(B)=,则()A.若A,B为互斥事件,则P(A+B)=B.P(A+B)C.若A,B相互独立,则P()=D.若P(B|A)=,则A,B相互独立答案AD,6.(多选)(2022山东质量检测,11)拋掷一枚质地均匀的骰子,观察向上的面出现的点数,在下列事件中与事件“出现的点数为偶数”相互独立的事件为()A.“出现的点数为奇数”B.“出现的点数大于2”C.“出现的点数小于4”D.
4、“出现的点数小于3”答案BD,7.(2021新高考,8,5分)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立答案B,8.(2022全国乙理,10,5分)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3p2p10.记该棋手连胜两盘的概率为
5、p,则()A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大答案D,9.(2022山东济宁一中开学考试,14)已知随机变量B,则P(=4)=,D()=.(用数字作答)答案,10.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.答案,11.(2020天津,13,5分)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.答案,12.(2020课标,19,12分)
6、甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.,解析(1)甲连胜四场的概率为.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为;乙连胜四场的概率为;丙上场后连胜三场的概率为.所
7、以需要进行第五场比赛的概率为1-=.,(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为;比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,.因此丙最终获胜的概率为+=.,13.(2023届江苏百校联考,19)近年来,师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿(第一个院校专业组的第一个专业)填报情况,经统计,首选志愿填报与性别情况如表:(单位:人),(1)根据小概率值=0.05的独立性检验,能否认为首选志愿为师范专业与性别有关?(2)用样本估计总体
8、,用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率,从2022年全国文科考生中随机抽取3人,设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X,求X的分布列、数学期望E(X)和方差D(X).附:2=,n=a+b+c+d.,解析(1)零假设为H0:首选志愿为师范专业与性别无关.根据题表中数据可得2=5.6253.841=x0.05,根据小概率值=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为首选志愿为师范专业与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.05.(2)某个考生首选志愿为师范专业的概率P=,X的所有可能取值为0,1,2,3,XB.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,X的
9、分布列为,E(X)=3=1,D(X)=3=.,考向二条件概率、全概率公式,1.(2023届广东普宁华美实验学校月考,3)从5名男生2名女生中任选3人参加学校组织的“喜迎二十大,奋进新征程”的演讲比赛,则在男生甲被选中的条件下,男生乙和女生丙至少一人被选中的概率是()A.B.C.D.答案C,2.(2022广东清远阳山中学月考,5)根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为,下雨的概率为,既吹东风又下雨的概率为,则在吹东风的条件下下雨的概率为()A.B.C.D.答案A,3.(2022长沙市明德中学二模,4)学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人,承担本次模拟考试数学阅卷任务,则在选
10、派的4人中至少有2名男老师的条件下,有2名女老师的概率为()A.B.C.D.答案B,4.(2023届湖北应城第一高级中学热身考试,14)两批同种规格的产品,第一批占30%,次品率为5%;第二批占70%,次品率为4%,将两批产品混合,从混合产品中任取1件,则取到这件产品是合格品的概率为.答案0.957,5.(2023届辽宁鞍山质量监测,15)根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下的效果:若以A表示事件“试验反应为阳性”,以C表示事件“被诊断者患有癌症”,则有P(A|C)=0.9,P(|)=0.9.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.01,即P(C)=0.01,则P(C
11、|A)=.答案,6.(2023届辽宁渤海大学附中月考,14)某考生回答一道四选一的考题,假设他知道正确答案的概率为0.5,知道正确答案时,答对的概率为100%,而不知道正确答案时猜对的概率为0.25,那么他答对题目的概率为.答案0.625,7.(2023届福建漳州质检,20)漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间,甲、乙、丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎,假设水仙花球茎损坏后便不能使用,无损坏的全部使用.已知甲、乙、丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的25%,35%,40%,甲、乙、丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别为0.8,0.6,0.7
12、5水仙花球茎的使用率=.(1)从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次,每次抽取一颗,记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为,求随机变量的分布列及期望;(2)已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用,求它是由丙工作队所采摘的概率.,解析(1)在采摘的水仙花球茎中,任取一颗是由甲工作队采摘的概率是.依题意,的所有取值为0,1,2,3,且B,所以P(=k)=,k=0,1,2,3,即P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,所以的分布列为,所以E()=3=.(2)用A1,A2,A3分别表示水仙花球茎由甲,乙,丙工作队采摘,B表示采摘的水仙花球茎经雕刻后能使用,则P(A1)=0.25,
13、P(A2)=0.35,P(A3)=0.4,且P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.75,故P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.250.8+0.350.6+0.40.75=0.71,所以P(A3|B)=.即采摘出的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用,它是由丙工作队所采摘的概率为.,考点二正态分布,1.(2023届广东东莞四中月考,4)某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20 000名学生参赛,统计得考试成绩X(满分150分)服从正态分布N(110,100).考试成绩140分及以
14、上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为()附:P(-X+)=0.682 7,P(-2X+2)=0.954 5,P(-3X+3)=0.997 3A.27B.52C.456D.13答案A,2.(2011湖北,5,5分)已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=0.8,则P(02)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2答案C,3.(2021新高考,7,5分)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,2),则下列结论中不正确的是()A.越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果大于10.
15、01的概率与小于9.99的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等答案D,4.(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案B,5.(2022新高考,13,5分)已知随机变量X服从正态分布N(2,2),且P(22.5)=.答案0.14,考法一条件概率的求法,1.(2023届
16、湖北应城第一高级中学热身考试,6)将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往,三个村庄进行义诊,每个村庄至少派1名医生,A表示事件“医生甲派往村庄”;B表示事件“医生乙派往村庄”;C表示事件“医生乙派往村庄”,则()A.事件A与B相互独立B.事件A与C相互独立C.P(B|A)=D.P(C|A)=答案D,2.(2023届广州仲元中学月考,7)为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校一篮球运动员进行投篮练习.如果他前一球投进则后一球投进的概率为;如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第2球投进的概率为()A.B.C.D.答案B,3.(多选)(2022湖北开学考,10
17、)已知P(A)=,P(A)=,P(|)=,则下列结论正确的是()A.P(|A)=B.P()=C.P()=D.P(|B)=答案AD,4.(多选)(2022广东阶段练,10)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件A、B存在如下关系:P(A|B)=.某高校有甲、乙两家餐厅,王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.6;如果第一天去乙餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.5,则王同学()A.第二天去甲餐厅的概率为0.54B.第二天去乙餐厅的概率为0.44C.第二天去了甲餐厅,则第一天去乙餐厅的概率为D.
18、第二天去了乙餐厅,则第一天去甲餐厅的概率为,答案AC,5.(2023届安徽十校联考,15)现有5名同学站成一排拍毕业照留念,在“甲不站最左边,乙不站最右边”的前提下,丙站最左边的概率为.答案,6.(2022新高考,20,12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:,(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.(i)证明:R=;(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.附:K2=,解析(1)由题中数据可知K2=246.635,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(i)证明:因为R=,且=,所以R=.(ii)由题表中数据可知P(A|B)=,P(A|)=,P(|B)=,P(|)=,
