1、2016年山东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.1（5分）设集合U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B=3，4，5，则U（AB）=（）A2，6B3，6C1，3，4，5D1，2，4，62（5分）若复数z=，其中i为虚数单位，则=（）A1+iB1iC1+iD1i3（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5，25），25，27.5），27.5，30根据直方图，
2、这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A56B60C120D1404（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A4B9C10D125（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（）A+B+C+D1+6（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）已知圆M：x2+y22ay=0（a0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x1）2+（y1）2=1的位置关系是（）A内切B相交C外切D相离8（5分）AB
3、C中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1sinA），则A=（）ABCD9（5分）已知函数f（x）的定义域为R当x0时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x）；当x时，f（x+）=f（x）则f（6）=（）A2B1C0D210（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质下列函数中具有T性质的是（）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy=x3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（5分）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为 12（5分）观察下列等式：（sin）
4、2+（sin）2=12；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=23；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=34；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=45；照此规律，（sin）2+（sin）2+（sin）2+（sin）2= 13（5分）已知向量=（1，1），=（6，4），若（t+），则实数t的值为 14（5分）已知双曲线E：=1（a0，b0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 15（5分）已知函数f（x）=，其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同
5、的根，则m的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共75分16（12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数记两次记录的数分别为x，y奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动（）求小亮获得玩具的概率；（）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由17（12分）设f（x）=2sin（x）sinx（sinxcosx）2（）求f（x）的单调递增区间；（）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸
6、长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值18（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB（）已知AB=BC，AE=EC，求证：ACFB；（）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH平面ABC19（12分）已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1（）求数列bn的通项公式；（）令cn=，求数列cn的前n项和Tn20（13分）设f（x）=xln xax2+（2a1）x，aR（1）令g（x）=f（x），求g（x）的单调区间；（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围21
7、（14分）已知椭圆 的长轴长为4，焦距为（）求椭圆C的方程；（）过动点M（0，m）（m0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B（）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值；（）求直线AB的斜率的最小值2016年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.1（5分）设集合U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B=3，4，5，则U（AB）=（）A2，6B3，6C1，3，4，5D1，2，4，6【分
8、析】求出A与B的并集，然后求解补集即可【解答】解：集合U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B=3，4，5，则AB=1，3，4，5U（AB）=2，6故选：A【点评】本题考查集合的交、并、补的运算，考查计算能力2（5分）若复数z=，其中i为虚数单位，则=（）A1+iB1iC1+iD1i【分析】根据复数的四则运算先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可【解答】解：z=1+i，=1i，故选：B【点评】本题主要考查复数的计算，根据复数的四则运算以及共轭复数的定义是解决本题的关键比较基础3（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间
9、的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5，25），25，27.5），27.5，30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A56B60C120D140【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7200=140，故选：D【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目4（5分）若变量x，y满足，则
10、x2+y2的最大值是（）A4B9C10D12【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），C（0，2），|OA|OC|，联立，解得B（3，1），x2+y2的最大值是10故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题5（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（）A+B+C+D1+【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：
11、该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=故R=，故半球的体积为：=，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键6（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”“平面和平面相交”，反之不成立【解答】解：直线a，b分别在两
12、个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”“平面和平面相交”，反之不成立“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题7（5分）已知圆M：x2+y22ay=0（a0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x1）2+（y1）2=1的位置关系是（）A内切B相交C外切D相离【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（ya）2=a2 （a0），则圆心为（0，a），半径R=a，圆心到直线x+y=0的距离d=，圆M：x2+y
13、22ay=0（a0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，2=2=2=2，即=，即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2），半径R=2，圆N：（x1）2+（y1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，则MN=，R+r=3，Rr=1，RrMNR+r，即两个圆相交故选：B【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键8（5分）ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1sinA），则A=（）ABCD【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1cosA=1sinA，即sinA=cosA，进行求解即可【解答】解：b=c
14、，a2=b2+c22bccosA=2b22b2cosA=2b2（1cosA），a2=2b2（1sinA），1cosA=1sinA，则sinA=cosA，即tanA=1，即A=，故选：C【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键9（5分）已知函数f（x）的定义域为R当x0时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x）；当x时，f（x+）=f（x）则f（6）=（）A2B1C0D2【分析】求得函数的周期为1，再利用当1x1时，f（x）=f（x），得到f（1）=f（1），当x0时，f（x）=x31，得到f（1）=2，即可得出结论【解答】解：当x时，f（x+）=f
15、（x），当x时，f（x+1）=f（x），即周期为1f（6）=f（1），当1x1时，f（x）=f（x），f（1）=f（1），当x0时，f（x）=x31，f（1）=2，f（1）=f（1）=2，f（6）=2故选：D【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题10（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质下列函数中具有T性质的是（）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy=x3【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这
16、点的导函数值乘积为1，进而可得答案【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，当y=sinx时，y=cosx，满足条件；当y=lnx时，y=0恒成立，不满足条件；当y=ex时，y=ex0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y=3x20恒成立，不满足条件；故选：A【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（5分）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为1【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【解
17、答】解：若输入n的值为3，则第一次循环，S=0+1=1，13不成立，第二次循环，S=1+=1，23不成立，第三次循环，S=1+=1=21=1，33成立，程序终止，输出S=1，故答案为：1【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，进行模拟运算是解决本题的关键12（5分）观察下列等式：（sin）2+（sin）2=12；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=23；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=34；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=45；照此规律，（sin）2+（sin）2+（sin）2+（sin）2=n（n+1）【分析】由题意可以直
18、接得到答案【解答】解：观察下列等式：（sin）2+（sin）2=12；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=23；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=34；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=45；照此规律（sin）2+（sin）2+（sin）2+（sin）2=n（n+1），故答案为：n（n+1）【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题13（5分）已知向量=（1，1），=（6，4），若（t+），则实数t的值为5【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可【解答】解：向量=（1，1），=（6，4），t+=（
19、t+6，t4），（t+），（t+）=t+6+t+4=0，解得t=5，故答案为：5【点评】本题考查了向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题14（5分）已知双曲线E：=1（a0，b0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=b=，由题意可设A（c，），B（c，），C（c，），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得
20、2=32c，即为2b2=3ac，由b2=c2a2，e=，可得2e23e2=0，解得e=2（负的舍去）故答案为：2【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题15（5分）已知函数f（x）=，其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+）【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4mm2m（m0），解之即可【解答】解：当m0时，函数f（x）=的图象如下：xm时，f（x）=x22mx+4m=（xm）2+4mm24mm2，y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必
21、须4mm2m（m0），即m23m（m0），解得m3，m的取值范围是（3，+），故答案为：（3，+）【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4mm2m是难点，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分16（12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数记两次记录的数分别为x，y奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动（）求小亮获得玩具的概率；（）请比较小亮获得水
22、杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由【分析】（）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；（）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论【解答】解：（）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16个，满足xy3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个，小亮获得玩具的概率为；（）满足xy8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，小亮获得
23、水杯的概率为；小亮获得饮料的概率为1=，小亮获得水杯大于获得饮料的概率【点评】本题考查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键17（12分）设f（x）=2sin（x）sinx（sinxcosx）2（）求f（x）的单调递增区间；（）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值【分析】（）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间（）利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（）的值【解答】解：（）f（x）=2sin（x）si
24、nx（sinxcosx）2 =2sin2x1+sin2x=21+sin2x=sin2xcos2x+1=2sin（2x）+1，令2k2x2k+，求得kxk+，可得函数的增区间为k，k+，kZ（）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x）+1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+1的图象，g（）=2sin+1=【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题18（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB（）已知AB=BC，AE=EC，求证
25、：ACFB；（）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH平面ABC【分析】（）由条件利用等腰三角形的性质，证得BDAC，EDAC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC平面EFBD，从而证得ACFB（）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG平面ABC，OH平面ABC，可得平面OGH平面ABC，从而证得GH平面ABC【解答】（）证明：如图所示，D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，BAC、EAC都是等腰三角形，BDAC，EDACEFDB，E、F、B、D四点共面，这样，AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，AC平面EFBD显然，FB平面EFBD，ACFB（）已知
26、G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，则OGEF，又EFDB，故有OGBD，而BD平面ABC，OG平面ABC同理，OHBC，而BC平面ABC，OH平面ABCOGOH=O，平面OGH平面ABC，GH平面ABC【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题19（12分）已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1（）求数列bn的通项公式；（）令cn=，求数列cn的前n项和Tn【分析】（）求出数列an的通项公式，再求数列bn的通项公式；（）求出数列cn的通项，利用错位相减法求数列cn的前n项和Tn【解答】解：（）S
27、n=3n2+8n，n2时，an=SnSn1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，an=6n+5；an=bn+bn+1，an1=bn1+bn，anan1=bn+1bn12d=6，d=3，a1=b1+b2，11=2b1+3，b1=4，bn=4+3（n1）=3n+1；（）cn=6（n+1）2n，Tn=622+322+（n+1）2n，2Tn=6222+323+n2n+（n+1）2n+1，可得Tn=622+22+23+2n（n+1）2n+1=12+66（n+1）2n+1=（6n）2n+1=3n2n+2，Tn=3n2n+2【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分
28、析与运算能力，属于中档题20（13分）设f（x）=xln xax2+（2a1）x，aR（1）令g（x）=f（x），求g（x）的单调区间；（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数g（x）的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调区间，结合函数的极大值，求出a的范围即可【解答】解：（1）由f（x）=ln x2ax+2a，可得g（x）=ln x2ax+2a，x（0，+），所以g（x）=2a=，当a0，x（0，+）时，g（x）0，函数g（x）单调递增；当a0，x（0，）时，g（x）0，函数g（x）单调递增，
29、x（，+）时，g（x）0，函数g（x）单调递减所以当a0时，g（x）的单调增区间为（0，+）；当a0时，g（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+）（6分）（2）由（1）知，f（1）=0当0a时，1，由（1）知f（x）在（0，）内单调递增，可得当x（0，1）时，f（x）0，当x（1，）时，f（x）0所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意当a=时，=1，f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+）内单调递减，所以当x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递减，不合题意当a时，01，当x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，
30、当x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递减所以f（x）在x=1处取极大值，符合题意综上可知，正实数a的取值范围为（，+）（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题21（14分）已知椭圆 的长轴长为4，焦距为（）求椭圆C的方程；（）过动点M（0，m）（m0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B（）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值；（）求直线AB的斜率的最小值【分析】（）结合题意分别求出a，c的值，再求出b的值，求出椭圆方程即
31、可；（）（i）设出P的坐标，表示出直线PM，QM的斜率，作比即可；（ii）设出A，B的坐标，分别求出PA，QB的方程，联立方程组，求出直线AB的斜率的解析式，根据不等式的性质计算即可【解答】解：（）设椭圆的半焦距为c由题意知，所以所以椭圆C的方程为（）证明：（）设P（x0，y0）（x00，y00），由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，2m）所以直线PM的斜率k1=，直线QM的斜率k2=，此时=3所以为定值3（）设A（x1，y1），B（x2，y2）直线PA的方程为y=kx+m，直线QB的方程为y=3kx+m联立 整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m24=0由，可得，所以同理所以，所以由m0，x00，可知k0，所以，等号当且仅当时取得，此时，即，所以直线AB 的斜率的最小值为【点评】本题考查了椭圆的方程问题，考查直线的斜率以及椭圆的性质，考查函数求最值问题，是一道综合题第24页（共24页）
