1、绝密启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1.不等式的解集是 。
2、 2.若复数（为虚数单位），则 。解析：考查复数基本运算3. 动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。4.行列式的值是 。5. 圆的圆心到直线l:的距离 。 6. 随机变量的概率分布率由下图给出：则随机变量的均值是 7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)=的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是 9从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃
3、”，则概率P（AB）= （结果用最简分数表示）10在行n列矩阵中，记位于第行第列的数为。当时， 。11. 将直线、（，）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为，则 。 12如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为 13。如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是 14.以集合U=的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）a、b都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有，那么共有 种不同的选法。二选
4、择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15“”是“”成立的 答（ ）（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件. 16.直线l的参数方程是，则l的方向向量是可以是 【答】（ ）(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2) 17.若是方程的解，则属于区间 【答】（ ）(A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,) 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能 【答】（ ）（A）
5、不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形（C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19.（本题满分12分）已知，化简：. 20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。已知数列的前项和为，且，（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。 （2）= n=15取得最小值 21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个
6、全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） 22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。若实数、满足，则称比远离.（1）若比1远离0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离
7、0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）. 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）.（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；（3）对于椭圆上的点Q（a cos，b sin）（0），如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的的取值范围. 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必
8、须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1.不等式的解集是 （-4,2） 。解析：考查分式不等式的解法等价于（x-2）(x+4)0,所以-4x22.若复数（为虚数单位），则 6-2i 。解析：考查复数基本运算3. 动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。解析：考查抛物线定义及标准方程定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x4.行列式的值是 0 。解析：考查行列式运算法则=5. 圆的圆心到直线l:的距离 3 。解析：考查点到直线距离公式圆心（1,2）到直线距离为6. 随机变量的概率分布率由下图给出：则随机变量的均值是 8.2
9、解析：考查期望定义式E=70.3+80.35+90.2+100.15=8.27. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 S S+a 。8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)=的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是 （0，-2） 解析：f(x)=的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2）9从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（AB）=（结果用最简分数表示）解析：
10、考查互斥事件概率公式 P（AB）= 10在行n列矩阵中，记位于第行第列的数为。当时， 45 。解析：1+3+5+7+9+2+4+6+8=4511. 将直线、（，）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为，则 1 。解析：B 所以BOAC，= 所以12如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为13。如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是 4a
11、b=1 解析：=，点P在双曲线上，化简得4ab=114.以集合U=的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）a、b都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有，那么共有 36 种不同的选法。解析：列举法 共有36种二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15“”是“”成立的 答（ A ）（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.解析：，所以充分；但反之不成立，如，所以不必要16.直线l的参数方程是，则l的方向向量是
12、可以是 【答】（C）(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)解析：直线l的一般方程是，所以C正确17.若是方程的解，则属于区间 【答】（C）(A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,)解析：结合图形，属于区间(,)18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能 【答】（D）（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形（C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知由余弦定理得，所以角A为钝角三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
13、定区域内写出必要的步骤。19.（本题满分12分）已知，化简：.=020. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。已知数列的前项和为，且，（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。 （2）= n=15取得最小值解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(nN*)；解不等式SnSn+1，得，当n15时，数列Sn单调递增；同理可得，当n15时，数列Sn单调递减；故当n=15时
14、，Sn取得最小值21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0r0，即，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则，由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，又因为，所以，故E为CD的中点；(3) 求作点P1、P2的步骤：1求出PQ的中点，2求出直线OE的斜率，3由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率，4从而得直线CD的方程：，5将直线CD与椭圆的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以，化简得，又0q p，即，所以，故q 的取值范围是
