1、教 案教学基本信息课题函数的解析式学科数学学段： 初中年级初二教材书名：数学（八年级下）出版社：人民教育出版社 出版日期：2018 年1月教学设计参与人员姓名单位设计者白月欣北京师范大学亚太实验学校实施者白月欣北京师范大学亚太实验学校指导者雷文虹北京市西城区教育研究中心课件制作者白月欣北京师范大学亚太实验学校教学目标及教学重点、难点教学目标：1. 结合实例，理解函数的解析式的概念，并能列出合适的函数解析式. 2. 能在具体情境中确定自变量的取值范围，求出符合条件的函数值解决实际问题.3. 探索实际问题中的变量之间的关系，经历“确定自变量，列出函数解析式，解决实际问题”的过程，体会函数思想，用函
2、数视角解决问题.4. 在分析问题解决问题的过程中，渗透数学语言的转化方法，体会函数建模的思想，提高数学阅读能力，领略数学知识背后的人文素养.教学重点：根据情境列出函数解析式，确定自变量的取值范围.教学难点：确定自变量的取值范围.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入同学们好，我是北京师范大学亚太实验学校的白月欣老师.上节课我们学习了函数的概念，函数产生于某些实际问题和数学问题中的变化过程.复习旧知引入能更好衔接新知知识概要这节课我们继续学习函数的表示方法中的一种：解析式法，我们通过列出函数解析式，确定自变量的取值范围，求某些符合条件的函数值来解决一些问题.了解本节课的知识的地位关
3、键内容1.根据具体实例，列出函数解析式；2.确定自变量的取值范围.确定重点学习内容概念理解我们来看看什么是函数的解析式.先来看一个问题：在不考虑空气阻力等因素的影响，一斤棉花和一斤铁同时从同样的高度落下来，哪个先落地？高度用h来表示，时间用t来表示，根据物理中的自由落体运动公式： (其中g 是一个常数)，由于，可得，如果同时让它们掉下来，由公式可知时间t只跟高度h有关，所以在真空中两个物体从同样的高度落下是同时落地.反过来，对于公式： (其中g 是一个常数)，高度h是时间t的函数吗？为了更好地回答这个问题，我们先来回顾一下函数的概念在一个变化过程中，关键点一：有两个变量；关键点二：确定自变量；
4、关键点三：对于自变量的每一个确定的值， 函数都有唯一确定的值与其对应.(其中g 是一个常数，通常取来计算）t/s1234h/m4.919.644.178.4可知h是t的函数.像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.上述表达式中要求，指的是自变量的取值范围.趣味引入，引起思考，同时感受函数的解析式的意义巩固应用从以上问题中可以看出函数解析式能更清晰表达变量间的关系，方便解决问题.1.下列y关于x的函数解析式中，自变量x的取值范围是什么？（1） （2） （3） （4）从以上题目中，我们需要关注：1.先观察解析式的结构特征，常见的自变
5、量的表达式有整式、分式、二次根式；2.对于整式，一般情况下整式中对x取值没有特定要求，所以x常常取任意实数；3. 对于分式，分式中分母不能为0；4. 对于二次根式，二次根式中被开方数为非负数.继而得到自变量取值范围.下面我们看几个情境问题2. 购买一些铅笔，单价为0.2元/支，总价y元随铅笔数x变化.思考：（1）在这个变化过程中，自变量是_, _是这个自变量的函数；（2）写出函数解析式；（3）指出自变量的取值范围.通过“总价y元随铅笔数x变化”这句可知自变量是铅笔数x，总价y是这个自变量的取值范围；总价y与铅笔数x间的数量关系是y=0.2x，即函数解析式.首先，从解析式中可以看出x可取任意实数
6、，再关注题目本身，x代表铅笔数，只能取正整数.在求自变量取值范围时既要关注解析式本身，还要关注实际意义.3. 等腰三角形中，顶角的度数y随着底角的度数x变化.思考：（1）在这个变化过程中，自变量是_, _是这个自变量的函数；（2）写出函数解析式；（3）指出自变量的取值范围.同样，根据“顶角的度数y随着底角的度数x变化”这句可知自变量时底角的度数，顶角的度数是这个自变量的函数.根据等腰三角形“两个底角相等”的性质和三角形内角和定理可列出等式2x+y=180，整理得，在写函数解析式时根据我们以往建立方程的经验找到等量关系建立等式，最后经过整理，习惯写成用含自变量x的代数式表示函数y的形式.在三角形
7、中，x，y都是正数，可推出自变量的取值范围0x90.4. 等腰三角形的周长为18.思考：（1）写出底边长y与腰长x的函数表达式；（2）写出自变量x 的取值范围；（3）当腰长为7时，底边长为多少？（4）当底边长为8时，腰长为多少？根据等腰三角形“两边相等”的性质和三角形的周长可得：2x+y=18，整理得，y=18-2x三角形得边长都是正数，可得自变量的取值范围0xy，最终我们得到x的取值范围为 这道题启发我们在求自变量取值范围时要关注一些隐含的条件：这个题目要关注隐含的数学定理，公式等.（3）腰长为7即x=7，代入解析式中可求底边y=4（4）底边长为8即y=8，解析式中令y=8，解一元一次方程得
8、，腰长x=55. 在一面5 m长的墙处有一个底面为正方形的花池，且底面边长为2 m ，如下图所示.若底面的边长增加x m，则花池的底面积增加y .思考：（1）写出花池增加的底面积y与底面增加的边长x的函数解析式；（2）写出自变量x 的取值范围. 根据题意可知边长增加之后的正方形的边长是x+2，得到新正方形面积是，则底面积增加的量为新正方形的面积减去原来正方形的面积22，即（2）对于自变量x的取值范围除了要关注x，y都是正数，还要关注题目中提到的“5m长的墙”这个关键句，说明正方形的边长不能超过5m，因此2+x5，最终通过不等式组解得自变量得取值范围：0x3.对比第4题，这个小题中，关注的隐含条
9、件是材料中涉及的隐含条件：正方形边长不能超过墙的长度。因此，求自变量取值范围的时候，一定注意关注隐含条件，这个隐含条件有可能是数学中的某些定理，公式等，也有可能是题目的背景材料中涉及的隐含条件。6. 为了便于计算，假设汽车油箱加油的总量y(L)随油枪加油的时间t(min)而变化的情况如下图所示：思考：（1）根据图象得出，汽车油箱总油量为_；加满油箱需要时间_. （2）写出油的总量y(L)关于时间t(min)的函数解析式；t/min（3）写出自变量的取值范围.观察图象，要明晰横轴表示的是时间，纵轴表示的是油箱中的油量。因此可以看出油箱总油量是60L，加满油箱需要时间6 min.有枪加油的平均速度
10、可求出： ，则y=10t7.汽车油箱中有汽油50 L.如果不再加油，那么邮箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位： km)的增加而减少，耗油量为0.1 L / km . 思考：（1）在这个变化过程中，自变量是_，_是这个自变量的函数；（2）写出函数解析式；（3）指出自变量的取值范围.（4）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？根据“油量y随路程x变化”可知自变量是路程x，油量y是这个自变量的函数.随着行驶耗油量为0.1x，那么邮箱中剩余油量为，可得解析式：在耗完油时，汽车停止行驶.因此根据求出x的取值范围：（4）汽车行驶200km，即x=200，代入解析式可求得y=308. 某市的出
11、租车行驶路程x (km)与收费y(元)的关系如下表(不足1 km按1 km计算)：x/ km1234510y/元5556.5815.5思考：（1）在这个变化过程中，自变量是_， _是这个自变量的函数；（2）写出函数解析式；（3）如果一顾客到目的地的路程为18公里，他应付的车费是多少元？这个变化过程中，自变量是路程x，收费y是x的函数.由表格可以看出3千米以内收费都是5元，值得注意的是不足1km按1km计算写出式子：y=5，再观察表格，发现从3千米以后每多行驶1km增加费用1.5元.可列式得：， ；值得注意的是：表示超过3公里以上每千米增加1.5元，不是用x直接乘1.5(3)路程为9公里，即x=
12、9时，说明超过了3公里，代入解析式2中可得这两道题启发我们要善于把文字语言转化成符号语言，从表格中分挖掘隐含条件.关注并练习解析式本身的取值范围情境中又要关注实际意义注意隐含条件：包括数学定理，文中信息等从简单图象写出解析式分析表格中的数据规律，再次加深对函数概念以及函数解析式的理解和应用总结经过以上实例的分析，函数解析式求解过程主要有1.分析阅读材料，确定自变量与函数；2.列出函数解析式；3.确定自变量的取值范围，在确定自变量取值范围时既要关注解析式本身，也要关注实际意义；最后要关注题目中的隐含条件.提升思维作业数学活动1：(1) 根据下表的数据，在平面直角坐标系中描点.(2) 选择一个近似
13、于人口增长曲线的直线，观察数据规律写出它的解析式.(3) 按照这样的增长趋势，估计2020年的世界人口数.年份x19601974198719992010人口数y/亿3040506069数学活动2：水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，可进行以下的试验与研究：（1）在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5 min记录一次容器中的水量，并填写下表.时间t/ min051015202530水量（2）建立直角坐标系，以横轴表示时间t，纵轴表示水量w，并描点. (3) 观察数据规律，试写出w关于t的函数解析式，并由它估算这种漏水状态下一天的漏水量.用身边的活动探究提高探究兴趣，综合运用函数知识解决问题，提升思维，并且体会函数角度解决问题的重要性
