1、 第2课时验证勾股定理及其简单计算教师备课素材示例复习导入(1)勾股定理的内容是_直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方_(2)上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索，发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法了，这节课我们也将验证勾股定理【教学与建议】教学：复习勾股定理内容；回顾上节课的探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证；介绍世界上有数百种验证方法，激发学生的兴趣建议：引导学生回顾勾股定理的内容，教师强调还需进行验证置疑导入伽菲尔德是美国的第二十任总统，同时他也是一
2、名卓越的数学家，1876年4月1日，他在新英格兰教育日志上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法问题：如图，伽菲尔德是这样验证勾股定理的，你能写出验证理由吗？【教学与建议】教学：本节课巧妙引用“总统”证法引出如何验证勾股定理，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲建议：利用梯形的面积等于三个直角三角形的面积和来证明命题角度1勾股定理的验证拼图验证其思路就是利用两种方法表示组成的图形的面积，根据“大的图形的面积等于各个组成部分的面积的和”得出关系式【例1】如图是由4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的直角边长分别为a，b，
3、斜边长为c，你能利用这个图形验证勾股定理吗？解：假设ba，该图形的面积有两种求法：一种为正方形的面积两个直角三角形的面积，一种为两个正方形的面积两个直角三角形的面积根据两种求法的面积相等可得c22abb2a22ab，化简得c2b2a2.命题角度2勾股定理与折叠问题图形的折叠问题实际上是对称问题，解决的关键是抓住对称的性质利用勾股定理来列方程，灵活运用数形结合、方程等数学思想，对线段长度、图形面积等问题进行求解【例2】(1)如图，AD是ABC的中线，ADC45，把ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置，如果BC6，那么线段BE的长度为(D)A6 B6 C2 D3(2)如图，在长方形ABCD中
4、，BC6，CD3，将BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C处，BC交AD于点E，则线段DE的长为_命题角度3运用勾股定理解决实际问题针对实际问题中的长度求解时，需要注意在直角三角形中，线段间的数量关系及位置关系【例3】(1)为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5 m的木梯，准备把梯子架到2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为(A)A0.7 m B0.8 m C0.9 m D1.0 m(2)交警在限速70 km/h的某城区路段观测点查超速某一时刻小汽车刚好行驶到路边车速检测仪A正前方60 m的B处，过了4 s后，测得该小汽车的位置C与车速检测仪A
5、之间的距离为100 m，则这辆小汽车_超_速(选填“超”或“没超”)高效课堂教学设计1掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题2经历勾股定理观察、猜想、验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想3通过勾股定理解决实际问题，培养学生的探究意识和合作交流习惯重点熟练应用拼图法验证勾股定理难点用勾股定理解决问题活动1创设情境导入新课(课件)伽菲尔德是美国的第二十任总统，同时他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在新英格兰教育日志上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法问题：伽菲尔德是利用上图“总统”证法验证勾股定理的，
6、你能利用它验证勾股定理吗？活动2实践探究交流新知【探究1】拼图验证勾股定理如下课件中图是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形，对勾股定理进行验证问题1：图中正方形ABCD的边长是_ab_，正方形ABCD的面积可表示为_(ab)2_问题2：图中正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，因此正方形ABCD的面积还可以表示为_4abc2_问题3：观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形的面积，所以结果应_相等_问题4：现在，你能验证勾股定理吗？问题5：利用图如何验证勾股定理？【探究2】自主探究：深入了解勾股定理的证法先阅读教材第4页下
7、面的内容和第5页“做一做”的内容，然后完成下面的问题(投影P4图14、P5图15和图16)问题1：画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流合作探究问题2：为了计算教材P4图14中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P5图15、图16.(1)将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；(2)教材图15、图16中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式，与同伴进行交流(3)你能分别利用教材图15、图16验证勾股定理吗？解：(3)图15：(ab)24c2，化简得：a2b2
8、c2；图16：4(ba)2c2，化简得：a2b2c2.问题3：你能利用“总统”证法(如课件图)验证勾股定理吗？解：a2b22ab2abc2，a2b2c2.【归纳】勾股定理的证明方法有300多种，必须是直角三角形的三边才能满足a2b2c2.同学们可以阅读教材P78其他证明勾股定理的方法活动3开放训练应用举例【例1】(教材P5例题)我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？【方法指导】(1)根据题意画出简单的示意图如图所示：(2)在直角三角形中已知
9、什么边？要求什么边？在直角三角形中已知斜边和一条直角边，要求另一条直角边(3)如何计算敌方汽车的速度？由题意，得AC_400_m_，AB_500_m_，由勾股定理，得BC_300_m_，所以汽车的速度为_3001030(m/s)_【例2】(教材P6随堂练习)如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？【方法指导】利用勾股定理求出斜边OM，OQ的长，再计算造价预计解：在RtMON中，由勾股定理，得OM2MN2NO2，即OM23024022 500，OM50 km
10、.在RtOPQ中，由勾股定理，得OQ2OP2PQ2，即OQ2502120216 900，OQ130 km，5 000(50130)900 000(万元).答：该沿江高速公路的造价预计是900 000万元活动4随堂练习1放学以后，小红和小颖分别沿着东北方向和西北方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40 m/min，小红用15 min到家，小颖用20 min到家，小红和小颖家的距离为(C)A600 m B800 mC1 000 m D不能确定2如图，在四边形ABCD中，BAD90，CBD90，AD4，AB3，BC12，则以DC为边的正方形DCEF的面积是_169_3如图，一架云梯长10 m，斜靠在
11、一面墙上，梯子顶端离地面6 m，要使梯子顶端离地面8 m，则梯子的底部在水平方向要向左滑动_2_m.4如图，受某次台风的影响，一棵高18 m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部12 m处，这棵树断裂后有多高？解：设这棵树断裂后高x m.根据题意，得x2122(18x)2，解得x5.答：这棵树断裂后高5 m活动5课堂小结与作业学生活动：谈谈本节课的收获与体会教学说明：学生先独立完成小结，在学生回答的过程中，老师引导学生将本节课的知识系统化作业：课本P6习题1.2中的T1、T3.勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积入手，师生共同探究得到方法1，最后由学生独立探究得到方法2，这样使学生较容易地突破了本节课的难点
