1、3.1.3 空间向量的数量积【使用说明及学法指导】1先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2小组合作，动手实践。【学习目标】1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题3. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；4. 掌握空间向量的坐标运算的规律；【重点】利用两个向量的数量积解决立体几何中的问题【难点】空间向量的坐标运算的规律一、自主学习1预习教材P90 P92, 解决下列问题复习1：什么是平面向量与的数量积？ 复习2：在边长为1的正三角形ABC中，求.2. 导学提纲1) 两个向量的夹角的定义
2、：已知两非零向量，在空间 ，作，则叫做向量与的夹角，记作 . 范围: =0时, ;=时, 成立吗？ ，则称与互相垂直，记作 .2) 向量的数量积：已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 . 两个向量的数量积是数量还是向量？ （选0还是） 你能说出的几何意义吗？3) 空间向量数量积的性质： （1）设单位向量，则（2） （3） .（4）=_4)空间向量数量积满足哪些运算律：_ 吗？举例说明. 若，则吗？为什么? 若，则吗？为什么？5)对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要_个向量？这几个向量有何位置关系？ 空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、，使. 如果两两 ，这种分
3、解叫空间向量的_.(2) 空间向量基本定理：如果三个向量 ，对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底都叫做_.空间任意一个向量的基底有 个.一个基底可以表示_个空间向量？(3) 如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用_表示.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 .设A，B，则 .向量的直角坐标运算：设a，b，则ab_；ab_；a_;；ab_.6) 试用向量方法证明直线与平面垂直的判断定理二、典型例题例1
4、.1. 下列命题中：若，则，中至少一个为若且，则正确有个数为（ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个2. 已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ）A. B. C. D. 3. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）A. B. C. D. 4. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是 5.已知中，所对的边为，且,则= 6.在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示 7. 已知，且和不共线，当 与的夹角是锐角时，的取值范围是 .8. 正方体的棱长为2，以A为坐标原
5、点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是 .9. 已知向量满足，则_10. 已知关于x的方程有两个实根，且，当t 时，的模取得最大值.例2 如图，在空间四边形中，求与的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,则AB与CB所成的角为（ ）A. 60 B. 90 C. 105 D. 75 例3 如图所示，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D间的距离例4 在平行六面体ABCDABCD中，*6a，b，c，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q是CA上的点，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量： （1） ； (2)；(3) ； (4).三、变式训练：课本第92页练习1-3，94页练习1-3题四、课堂小结1知识：2数学思想、方法：3能力：五、课后巩固1.课本第98页A组3、4题2.已知空间四边形中，求证：.3. 已知是空间的一个正交基底，向量是另一组基底，若在的坐标是，求在的坐标.4
