1、课堂导学三点剖析一、避免重复与遗漏的方法之一正确区别有序还是无序【例1】 将9份不同的礼品，平均分成3份，有多少种不同的分法？错解:分三步：第一步，从9件不同的礼品中，选出3件有种；第二步，从剩下的6件中选3件有种；第三步，从余下的3件中选3件有种，由乘法原理有=1 680种不同的分法.剖析:实质上，本题属于平均分组问题，造成错误的原因在于分步的本身就在排序，而平均分成的3份，其份与份之间不存在排序的关系，因而出现了重复.如（为了方便起见，以数字19代表9份不同的礼品）先取1，2，3，再取4，5，6，最后取7，8，9和先取4，5，6再取1，2，3，最后取7，8，9以及先取7，8，9，再取4，5
2、，6，最后取1，2，3等这些相同的分法被重复计算了，因而正确的解法为：=280种不同的取法.温馨提示 该用排列的问题，用组合去做，容易导致“遗漏”；该用组合做的却用了排列，会导致“重复”.因此，在解题时要正确区分问题是否与顺序有关.另外，在使用乘法原理时，分步本身有时是在排序，在解题时要特别小心.二、避免重复和遗漏的措施之二恰当地使用两个原理进行分类或分步【例2】 用0，1，2，3，4，5，6，7，8这九个数字组成九位数，要求1不能排在个位，问这样的不重复的九位数有多少个？错解1:九个数字排在九个位置上，共有种排法，从中扣去0在首位的有种排法，再除去1在个位的排法，故所求的有-（个）.错解2:
3、0不能排在首位，1不能排在个位，那么0，1就排在中间七个位置，有种排法.0，1排定后，其余七个数排在留下的七个位置上，有种排法，故所求九位数有个.剖析:解法1的错误在于减“重”了，当分别减去0在首位或1在个位时，重复减去了0在首位且1在个位两次，故应再补上一次，即所求九位数应是：-+（个）.解法2的错误在于遗漏了1在首位或0在个位的情况.1在首位的情况有种，0在个位的情况有种，但这里又重复了1在首位且同时0在个位的情况两次，应再扣一次，故所求九位数应是：+2-（个）.温馨提示 对符合或不符合条件的分类情况考虑不全时，会出现“遗漏”；另外，把符合条件和不符合条件的相混容易造成错误.三、避免重复遗
4、漏的措施之三认真审题，缜密考虑特殊情形以及题目的隐含条件【例3】 将10个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子里，每个盒子中的球数不小于盒子的编号数，则有_种不同的放法.错解：先在编号为1，2，3的盒子里分别放入1，2，3个小球，则剩余的小球可以任意放.有34种放法.剖析：解题过程中，先把盒子里放上小球是可以的，这是注意到小球都是相同的这一特点，但是接下来则忽视了这一特点，从而导致错误.正确解法是：先在编号为1，2，3的盒子里分别放入1，2，3个小球，则：余下的4个球放入同一个盒子里，有种放法；余下的4个球分为两组，一组3个、一组1个，放入两个盒子里，有种放法；余下的4个球分两组，每组均为2个
5、，有种放法；余下的4个球分三组，一组2个、另两组各一个，有种放法.综上可以知道，共有15种放法.下列解法更妙：首先在2号盒子里放1个球，3号盒子里放2个球，余下的7个球可以用“隔板法”分为3组，每组至少1个球，然后把三组依次放入3个盒子里即可.因此一共有15种放法.各个击破【类题演练1】把n+1本不同的书分给n个人，每人至少一本，有多少不同的分法？错解：如果我们把解决这个问题的方案设计为：先把多余的一本书给n个人中的一个，然后再把剩下的n本书分给n个人，这样，计算的结果为=n(n+1)!.剖析：其错误的原因在于拿到2本书的人选这两本书有了先后顺序，而实际上先拿A书后拿B书与先拿B书后拿A书是同
6、一种方法.于是，出现了重复.这是一道较典型的排列组合综合题，题设虽然简单，但思路却不可以从简.正确的切入点应该是：从n个人中选出一个人拿到2本书的分法有种，而剩下的n-1本书分给剩下的n-1个人有种不同的分法，根据乘法原理有=(n+1)!.【变式提升1】有100个学生，站成前后两排，每排50人，问有多少种不同的排法.错解：先从100个学生中任选50个学生，有种选法.选出的50个学生站在前排，有种排法.留下的50名学生站在后排，有种排法.前后两排再交换一下，有种排法，所以共有种不同的排法.剖析：错在哪里？我们先把问题特殊化：有两个学生，一个站前、一个站后，共有=2种不同站法，而不可能有=4种不同
7、的站法.通过特殊到一般的类比，原问题的正确答案应是种，如果再乘以就排“重”了.事实上，在中，已含着前、后两排交换的思想，因此没有必要乘以.【类题演练2】已知l1,l2是两条异面直线，在l1上有A1，A2，A3三点，在l2上有B1,B2,B3,B4,B5五点，求这八个点可以确定不同的平面的个数.错解：分成两类：一类是从A1，A2，A3三点中取一个点，在B1，B2，B3，B4，B5五点中取两个点，根据不共线的三点确定一个平面，有个不同平面；同理，另一类是从A1，A2，A3三点中任取两个点，在B1，B2，B3，B4，B5五点中取一个点，有个不同平面，由加法原理有+=45个不同的平面.剖析：上述解法的
8、错误在于分类重复.因为在l1上任取两点与l2上任取一点确定的平面，实际上就是直线l1分别与B1,B2,B3，B4，B5确定的平面，这样的平面共有5个；同理，在l2上任取两点与l1上任取一点确定的平面，就是直线l2分别与点A1，A2，A3确定的平面，这样的平面共有三个，于是，由这八个点可以确定八个平面.【变式提升2】从8名男生7名女生中选出4人分别参加4个不同的课外活动小组，在选出的4人中至少有2男1女的选法有多少种？错解：先从8名男生中选取2人，有种选法；再从7名女生中选取1人，有种选法；最后从余下的男、女生（共12人）中选出1人，有种选法.然后，将选出的4人分别分配到四个不同的课外活动小组，
9、所以，符合题意的选法共有（）=56 448种不同的选法.分析：错解在于选元时有重复.把8名男生记为，7名女生记为a,b,c,d,e,f,g.那么，比如对于任何一种一女三男的选法，假如选“a,”都重复计算了三次：（1）先选a,再选,最后选;(2)先选a,再选,最后选;(3)先选a,再选,最后选.同理，在选出的2女2男的每一种选法，在原解法中都被重复计算了二次.因此，正确的解法是：依题意分两步完成，第一步先选出符合条件的4人，第二步是选出的4人分别参加4个不同的课外活动小组，而第一步中又分两类：第一类是选出1女3男有种；第二类是选出2女2男有种，故符合条件的选法有(+)=23 520(种).【类题
10、演练3】数学、语文、外语、物理、化学、体育六门科目，安排在一天的六节课内，要求体育不在第一节，数学不在第六节，问共有多少种不同的排法？错解：六门科目排六节课，有种排法，再减去体育在第一节的排法种和数学在第六节的排法，种，因此共有=480种.剖析：上述解法产生了遗漏.因为减去的第一个种，其中包括体育在第一节，数学在第六节的种；减去的第二个种也包含体育在第一节，数学在第六节的种.上述解法中显然减去了两个.正确答案应是：共有+=504种排法.【变式提升3】在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中共有多少对异面直线？错解：一个正方体中有12条棱、12条面对角线和4条体对角线，这些棱、面对角线和体对角线共可组成对直线.又一个正方体中有底面和侧面共6个，对角面6个，每个面都有6条直线，底面、侧面和对角面共12个面的每一个面中任两条直线不能构成异面直线.正方体共有-12=198对异面直线.分析：以上解答只考虑了正方体中底面、侧面、对角面中的直线不能构成异面直线，而忽视了一些虽不是同在上述各面上但共点的直线也不能构成异面直线的特殊情况，即8个顶点中过每个顶点的三条面对角线不能构成异面直线，故共有-12-8=174对异面直线.
